PYTHON LESSON 030
真题精讲：质数与数位的套路
吃透两类 GESP 二级真题风格的题目：质数判断（枚举 + break）与数位处理（% 10 与 // 10）。
00 · 学习目标
这一课要解决什么？
学完后，你应该能够
- for i in range(2, n) 枚举可能的因子
- 找到因子立刻 break 收工
- % 10 取个位、// 10 去掉个位
01 · 核心概念
GESP 真题风格题的解题模板
GESP 真题风格题的解题模板：质数：除了 1 和自己，谁也除不尽。翻译过来：用 2 到 n-1 的每个数 i 去试除，n % i == 0 说明找到了因子，它就不是质数。先假设 is_prime = True（先信它是），找到因子再改成 False，这种“旗帜变量”是考级常客。
GESP Python 2 级 · 循环嵌套GESP Python 2 级 · 基本运算流程图是算法的表示方法，不是 Python 语法。
02 · 语法与规则
先记住这 3 条，再开始写程序
for i in range(2, n) 枚举可能的因子先准确读出这条写法的结构与作用。
找到因子立刻 break 收工换一组最小数据，手工推演一次结果。
% 10 取个位、// 10 去掉个位再用边界值或反例确认它的适用条件。
03 · 完整实例
代码、运行结果和解释放在一起看
# 真题套路一：判断质数（枚举因子 + 及时 break）
n = 97
is_prime = True
for i in range(2, n):
if n % i == 0:
is_prime = False
break
if n > 1 and is_prime:
print(n, "是质数")
else:
print(n, "不是质数")
# 真题套路二：数位求和（% 10 取个位，// 10 去掉个位）
m = 1234
total = 0
while m > 0:
total = total + m % 10
m = m // 10
print("1234 的数位和是", total)97 是质数 1234 的数位和是 10
直接运行即可。91 = 7 × 13，把 n 改成 91 程序会输出“不是质数”。
04 · 逐步理解
每一步只解决一个问题
- 01
真题在考什么
GESP 二级的编程题看似每年不同，其实高频套路就几个：判断质数、统计质数个数、数位拆分、分段计费、图案打印。今天把前两个“数学味”最浓的套路一次讲透，考场上见到同类题直接套模板。
- 02
质数定义翻译成代码
质数：除了 1 和自己，谁也除不尽。翻译过来：用 2 到 n-1 的每个数 i 去试除，n % i == 0 说明找到了因子，它就不是质数。先假设 is_prime = True（先信它是），找到因子再改成 False，这种“旗帜变量”是考级常客。
is_prime = True for i in range(2, n): if n % i == 0: is_prime = False - 03
break：找到就收工
一旦找到一个因子，后面再试也没意义了，break 立刻跳出循环。这不只是省时间——有的题目数据量大，不会 break 的程序会慢到超时。记住：循环里完成任务就 break，是编程题的基本功。
break - 04
别漏了 n > 1 的边界
1 不是质数，2 是最小的质数。range(2, 2) 是空循环，is_prime 会保持 True，所以最后要加上 n > 1 这个条件，否则输入 1 会被误判成质数。考级题的隐藏测试点最爱考这种边界。
if n > 1 and is_prime: - 05
数位处理的黄金两行
m % 10 取出个位（1234 % 10 得 4），m // 10 去掉个位（1234 // 10 得 123）。while 循环里反复“取个位、去个位”，就能把每一位拆出来。数位和、数位倒序、判断回文数……全是这两行变出来的。
total = total + m % 10 m = m // 10 - 06
套路迁移练习
学完套路要立刻迁移：把质数判断套进外层循环，就能统计 2 到 n 里有几个质数；把数位拆分稍作修改，就能求数位的乘积。课后两道题正好各对应一个套路，做完对比一下和今天模板哪里相同、哪里不同。
05 · 练习与检验
自己写出来，才算真正学会
- 1运行程序，确认 97 被鉴定为质数
- 2把 97 改成 91，看它如何被揪出来
- 3把 1234 改成自己的学号，算数位和
- 4默写出“取个位、去个位”两行代码
06 · 完整知识
继续理解定义、规则和适用边界
第一次学习先完成上面的六个步骤；需要查定义、核对规则、分析误区或理解“为什么”时，再展开对应知识章。
Python 基础条件、循环与程序流程准确理解 if、for、while、range、break、continue 和循环嵌套，而不是背代码模板。＋
正式定义
控制流决定下一条要执行的语句。分支依据布尔条件选择路径；循环在满足规则时重复执行代码块。Python 用冒号和缩进界定代码块。
必须掌握
- if/elif/else 从上到下判断，只执行第一个为真的分支；else 不写条件。
- for 依次取得可迭代对象中的元素；range(start, stop, step) 包含 start、不包含 stop，step 不能为 0。
- while 在每轮开始前检查条件；循环体必须让状态向终止条件推进。
- break 结束最内层循环，continue 跳过本轮剩余语句，循环的 else 仅在没有被 break 终止时执行。
- 嵌套循环的总执行次数通常需要把各层次数相乘；内层 break 不会结束外层循环。
- 边界测试至少覆盖空范围、单个元素、第一项命中、最后一项命中和始终不命中。
常见误区
- range 的右端点多算或少算一次
- while 忘记更新状态造成死循环
- 把两个互斥条件写成两个独立 if
- 误以为 break 会跳出所有嵌套循环
适用边界
- 流程图是算法的表示方法，不是 Python 语法。
- 递归也能表达重复，但有调用开销和递归深度限制，不能无条件代替循环。
算法方法算法、复杂度与解题验证把题意转成输入、状态、规则与输出，用正确性和复杂度共同评价解法。＋
正式定义
算法是解决一类问题的有限、明确步骤。正确性说明算法对所有满足前置条件的输入都得到规定结果；时间和空间复杂度描述输入规模增长时资源使用的增长量级。
必须掌握
- 先明确输入规模 n、数据范围、目标和允许误差，再选择数据结构与算法。
- O(1)、O(log n)、O(n)、O(n log n)、O(n²)、O(2ⁿ) 表示增长量级，不是精确运行秒数。
- 顺序代码复杂度取较大项，嵌套循环常相乘，二分每步把范围缩小一半。
- 正确性可用循环不变量、数学归纳、交换论证、反证或状态定义来说明。
- 样例只验证少量输入；必须自己设计边界、极端、重复、有序/逆序和无解数据。
- 优化前先得到正确基线并测量瓶颈，不为小数据盲目增加复杂实现。
常见误区
- 只看样例通过就宣称正确
- 不看数据范围使用 O(n²)
- 二分区间开闭混用
- 把 O(n) 当成永远比 O(log n) 慢固定倍数
适用边界
- 复杂度隐藏常数与硬件差异，但仍是比较规模增长的核心工具。
- 考场策略、课程完成度和算法能力是不同证据，任何单项都不能保证考级通过。
Python 基础程序执行、输入输出、变量与数据类型从一条语句怎样执行开始，系统掌握 print、input、变量、对象、类型与显式转换。＋
正式定义
Python 程序由语句和表达式组成，通常按从上到下的顺序执行。变量名通过赋值绑定到对象；对象有类型和值。input() 始终返回 str，是否转换成 int 或 float 必须由题意决定。
必须掌握
- print(*objects, sep=' ', end='\n') 可以控制对象之间的分隔符和末尾字符。
- input(prompt) 读取一行并去掉行末换行符，返回值一定是字符串。
- 赋值符号 = 建立或更新名字与对象的绑定；== 才是相等比较。
- 核心标量类型包括 int、float、bool、str 和 NoneType；bool 是 int 的子类，但语义上应当用于真假判断。
- int、float、str、bool 可做显式类型转换；转换可能失败，不能把任意文本直接当数字。
- 注释以 # 开始；规范的变量名应表达含义，不能使用关键字。
常见误区
- 把 input() 的结果直接与整数相加
- 混淆 = 与 ==
- 用 float 表示必须精确的十进制金额却不考虑误差
- 变量名覆盖 print、list 等内置名称
适用边界
- 课程先讲同步的文本输入输出；文件、网络、图形界面和异步输入分别在对应章节说明。
- Python 的变量没有固定类型，但对象有类型；这不等于程序可以随意混用类型。
Python 基础运算符、表达式与优先级完整区分算术、比较、逻辑、成员、身份和位运算，并用优先级表消除歧义。＋
正式定义
表达式求值得到一个值。运算符规定如何组合操作数；当一个表达式含多个运算符时，优先级和结合方向决定求值顺序，括号可以明确改变顺序。
必须掌握
- / 总是得到浮点结果；// 是向负无穷方向取整的整除；% 与 // 满足 a == (a // b) * b + a % b。
- 比较可以链式书写，如 0 <= x < 10；and/or 会短路并返回最后求值的操作数，不一定返回 bool。
- == 比较值是否相等，is 比较是否为同一个对象；判断 None 应写 is None。
- in/not in 做成员测试；对 dict 测试的是键。
- 位运算作用于整数的二进制位；负整数按无限长二进制补码语义理解。
- 复杂表达式即使能靠优先级正确运行，也应使用括号表达意图。
常见误区
- 把 // 当成简单截断
- 用 is 比较数字或字符串的值
- 忘记 and 的优先级高于 or
- 连续位移、比较和逻辑运算却不加括号
适用边界
- 浮点数比较受二进制表示误差影响，需要按问题选择容差。
- 运算符可由自定义类重载，因此相同符号对不同类型可能有不同语义。
完成检查