PYTHON LESSON 043
例题精练：二进制里有几个 1
学会考级解题四步法：读题找输入输出、设计算法、逐行编码、用样例和边界数据验证。
00 · 学习目标
这一课要解决什么？
学完后，你应该能够
- while t > 0 逐位剥离：t % 2 拿最低位
- count = count + 1 计数器模式
- bin(n) 验证手工统计结果
01 · 核心概念
典型考级题的分步拆解
典型考级题的分步拆解：题目：“输入一个正整数 n，输出它的二进制表示中 1 的个数。”圈出三个重点：输入是一个整数；输出是一个个数；核心词是“二进制表示”。读题不圈重点，就像出门不看地图——先花 30 秒想清楚，比写错再改快得多。
GESP Python 3 级 · 进制转换GESP Python 3 级 · 算法的概念与描述流程图是算法的表示方法，不是 Python 语法。
02 · 语法与规则
先记住这 3 条，再开始写程序
while t > 0 逐位剥离：t % 2 拿最低位先准确读出这条写法的结构与作用。
count = count + 1 计数器模式换一组最小数据，手工推演一次结果。
bin(n) 验证手工统计结果再用边界值或反例确认它的适用条件。
03 · 完整实例
代码、运行结果和解释放在一起看
# 例题精练：数一数二进制里有几个 1
n = int(input())
count = 0
t = n
while t > 0:
if t % 2 == 1:
count = count + 1
t = t // 2
print("二进制：", bin(n))
print("1 的个数：", count)二进制： 0b1101 1 的个数： 3
程序用 input() 读入一个正整数，本输出假设输入为 13。
04 · 逐步理解
每一步只解决一个问题
- 01
第一步：读题圈重点
题目：“输入一个正整数 n，输出它的二进制表示中 1 的个数。”圈出三个重点：输入是一个整数；输出是一个个数；核心词是“二进制表示”。读题不圈重点，就像出门不看地图——先花 30 秒想清楚，比写错再改快得多。
- 02
第二步：设计算法
怎么数 1？回忆短除法：不断除以 2，余数不是 0 就是 1——余数是 1 就说明这一位是 1！所以算法是：余数为 1 就 count 加一，再把 t 整除 2，直到 t 变成 0。先用自然语言把步骤说清楚，这就是“算法的描述”。
- 03
第三步：手工推演
别急着写代码，先拿 13 走一遍：13÷2 余 1（count=1）、6÷2 余 0、3÷2 余 1（count=2）、1÷2 余 1（count=3）。答案是 3。手工推演能提前暴露算法的漏洞，是竞赛选手的标准动作。
- 04
第四步：逐行编码
把算法翻译成代码：count 从 0 开始，while t > 0 循环，if t % 2 == 1 就加一，t = t // 2 去掉最低位。注意循环条件别写成 t >= 0——那会变成死循环，0 的二进制里可没有 1。
while t > 0: if t % 2 == 1: count = count + 1 t = t // 2 - 05
第五步：用工具验证
程序顺手打印 bin(n)，肉眼对照二进制里的 1 和统计结果是否一致。13 → 0b1101，三个 1，和 count 吻合。写完先自测再提交，是考级抢分的基本功。
print("二进制：", bin(n)) - 06
第六步：边界数据压测
再测两个极端：n = 1（只有一个 1）和 n = 1024（二进制 10000000000，也只有一个 1）。边界数据最容易让程序翻车：循环进不进得去？多一位少一位？都测过才算真正完成。
- 07
套路迁移
“逐位剥离”（% 2 拿最低位、// 2 去掉它）还能干很多事：翻转二进制、判断某位是不是 1、转成任意进制。一道题学会一类套路，这才是例题精练的意义。
05 · 练习与检验
自己写出来，才算真正学会
- 1读题：明确输入一个整数、输出 1 的个数
- 2手工推演 13 的二进制，数出 3 个 1
- 3运行程序（假设输入 13）核对结果
- 4换边界数据 1 和 1024 再测一次
06 · 完整知识
继续理解定义、规则和适用边界
第一次学习先完成上面的六个步骤；需要查定义、核对规则、分析误区或理解“为什么”时，再展开对应知识章。
Python 基础条件、循环与程序流程准确理解 if、for、while、range、break、continue 和循环嵌套，而不是背代码模板。＋
正式定义
控制流决定下一条要执行的语句。分支依据布尔条件选择路径；循环在满足规则时重复执行代码块。Python 用冒号和缩进界定代码块。
必须掌握
- if/elif/else 从上到下判断，只执行第一个为真的分支；else 不写条件。
- for 依次取得可迭代对象中的元素；range(start, stop, step) 包含 start、不包含 stop，step 不能为 0。
- while 在每轮开始前检查条件；循环体必须让状态向终止条件推进。
- break 结束最内层循环，continue 跳过本轮剩余语句，循环的 else 仅在没有被 break 终止时执行。
- 嵌套循环的总执行次数通常需要把各层次数相乘；内层 break 不会结束外层循环。
- 边界测试至少覆盖空范围、单个元素、第一项命中、最后一项命中和始终不命中。
常见误区
- range 的右端点多算或少算一次
- while 忘记更新状态造成死循环
- 把两个互斥条件写成两个独立 if
- 误以为 break 会跳出所有嵌套循环
适用边界
- 流程图是算法的表示方法，不是 Python 语法。
- 递归也能表达重复，但有调用开销和递归深度限制，不能无条件代替循环。
计算机基础进制、整数表示与位运算从位权理解二、八、十六进制，准确使用补码模型、移位、掩码和 Python 大整数。＋
正式定义
b 进制数按位权 b⁰、b¹…表示数值。进制只是同一个整数的书写方式；位运算直接处理整数的二进制位。Python 整数精度只受可用内存限制，负数位运算按无限长二进制补码语义定义。
必须掌握
- bin/oct/hex 生成带前缀字符串，int(text, base) 按指定进制解析；0b、0o、0x 是整数字面量前缀。
- 手工转十进制用位权展开，十进制转其他进制可连续除基取余并逆序。
- & 取共同为 1 的位，| 合并置位，^ 标记不同位，~x 等于 -x-1。
- x << k 相当于 x * 2**k；对非负整数 x >> k 相当于 x // 2**k。
- 掩码可检测、设置、清除或翻转特定位；位编号通常从最低位 0 开始。
- 固定字长语言的溢出和 Python 大整数行为不同，题目必须明确字长和有无符号。
常见误区
- 把进制字符串当成不同数值类型
- 忘记位编号从 0 开始
- 照搬固定 32 位溢出结论到 Python
- 对负数右移套用无符号模型
适用边界
- 浮点数遵循 IEEE 754 的实现细节，不使用本章的普通整数进制模型直接推导。
- 字符编码把字符映射到整数，但编码知识与整数进制书写是两个不同层次。
算法方法算法、复杂度与解题验证把题意转成输入、状态、规则与输出，用正确性和复杂度共同评价解法。＋
正式定义
算法是解决一类问题的有限、明确步骤。正确性说明算法对所有满足前置条件的输入都得到规定结果；时间和空间复杂度描述输入规模增长时资源使用的增长量级。
必须掌握
- 先明确输入规模 n、数据范围、目标和允许误差，再选择数据结构与算法。
- O(1)、O(log n)、O(n)、O(n log n)、O(n²)、O(2ⁿ) 表示增长量级，不是精确运行秒数。
- 顺序代码复杂度取较大项，嵌套循环常相乘，二分每步把范围缩小一半。
- 正确性可用循环不变量、数学归纳、交换论证、反证或状态定义来说明。
- 样例只验证少量输入；必须自己设计边界、极端、重复、有序/逆序和无解数据。
- 优化前先得到正确基线并测量瓶颈，不为小数据盲目增加复杂实现。
常见误区
- 只看样例通过就宣称正确
- 不看数据范围使用 O(n²)
- 二分区间开闭混用
- 把 O(n) 当成永远比 O(log n) 慢固定倍数
适用边界
- 复杂度隐藏常数与硬件差异，但仍是比较规模增长的核心工具。
- 考场策略、课程完成度和算法能力是不同证据，任何单项都不能保证考级通过。
Python 基础程序执行、输入输出、变量与数据类型从一条语句怎样执行开始，系统掌握 print、input、变量、对象、类型与显式转换。＋
正式定义
Python 程序由语句和表达式组成，通常按从上到下的顺序执行。变量名通过赋值绑定到对象；对象有类型和值。input() 始终返回 str，是否转换成 int 或 float 必须由题意决定。
必须掌握
- print(*objects, sep=' ', end='\n') 可以控制对象之间的分隔符和末尾字符。
- input(prompt) 读取一行并去掉行末换行符，返回值一定是字符串。
- 赋值符号 = 建立或更新名字与对象的绑定；== 才是相等比较。
- 核心标量类型包括 int、float、bool、str 和 NoneType；bool 是 int 的子类，但语义上应当用于真假判断。
- int、float、str、bool 可做显式类型转换；转换可能失败，不能把任意文本直接当数字。
- 注释以 # 开始；规范的变量名应表达含义，不能使用关键字。
常见误区
- 把 input() 的结果直接与整数相加
- 混淆 = 与 ==
- 用 float 表示必须精确的十进制金额却不考虑误差
- 变量名覆盖 print、list 等内置名称
适用边界
- 课程先讲同步的文本输入输出；文件、网络、图形界面和异步输入分别在对应章节说明。
- Python 的变量没有固定类型，但对象有类型；这不等于程序可以随意混用类型。
完成检查