主要内容 #
- 例题
- 第一种写法
- 第二种写法
1. 例题 #
很多人对二分法是又爱又恨，爱是在于它思想简单，效率确实高， 恨是恨在为什么总是写不对呢。二分查找涉及的很多的边界条件，逻辑比较简单，就是写不好。例如 循环中到底是 小于还是小于等于， 到底是+1 呢，还是要-1呢？
接下来我通过一道例题，来让大家一次性彻底掌握二分法。
题目描述:
给定一个 n 个元素有序的（升序）整型数组 nums 和一个目标值 target ，写一个函数搜索 nums 中的 target，如果目标值存在返回下标，否则返回 -1。
示例 1:
输入: nums = [-1,0,3,5,9,12], target = 9 输出: 4 解释: 9 出现在 nums 中并且下标为 4
示例 2:
输入: nums = [-1,0,3,5,9,12], target = 2 输出: -1 解释: 2 不存在 nums 中因此返回 -1
- 你可以假设 nums 中的所有元素是不重复的。
- n 将在 [1, 10000]之间。
- nums 的每个元素都将在 [-9999, 9999]之间。
思路：
这道题目的前提是数组为有序数组，同时题目还强调数组中无重复元素，因为一旦有重复元素，使用二分查找法返回的元素下标可能不是唯一的，这些都是使用二分法的前提条件，当大家看到题目描述满足如上条件的时候，可要想一想是不是可以用二分法了。
二分查找涉及的很多的边界条件，逻辑比较简单，但就是写不好。例如到底是 while(left < right) 还是 while(left <= right)，到底是right = middle呢，还是要right = middle – 1呢？
写二分法，区间的定义一般为两种，左闭右闭即[left, right]，或者左闭右开即[left, right)。
下面用这两种区间的定义分别讲解两种不同的二分写法。
2. 第一种写法 #
第一种写法，我们定义 target 是在一个在左闭右闭的区间里，也就是[left, right] （这个很重要非常重要）。
区间的定义这就决定了二分法的代码应该如何写，因为定义target在[left, right]区间，所以有如下两点：
while (left <= right) 要使用 <= ，因为left == right是有意义的，所以使用 <=
if (nums[middle] 7> target) right 要赋值为 middle – 1，因为当前这个nums[middle]一定不是target，那么接下来要查找的左区间结束下标位置就是 middle – 1
例如在数组：1,2,3,4,7,9,10中查找元素2，如图所示：
代码如下：（详细注释）
// 版本一
class Solution {
public:
int search(vector<int>& nums, int target) {
int low = 0;
int high = nums.size() - 1; // 定义target在左闭右闭的区间里，[left, right]
while (low <= high) { // 当left==right，区间[left, right]依然有效，所以用 <=
int mid = low + ((high - low) / 2);// 防止溢出 等同于(left + right)/2
if (nums[mid] > target) {
high = mid - 1; // target 在左区间，所以[left, middle - 1]
} else if (nums[mid] < target) {
low = mid + 1; // target 在右区间，所以[middle + 1, right]
} else { // nums[middle] == target
return mid; // 数组中找到目标值，直接返回下标
}
}
// 未找到目标值
return -1;
}
};
3. 第二种写法 #
如果说定义 target 是在一个在左闭右开的区间里，也就是[left, right) ，那么二分法的边界处理方式则截然不同。
有如下两点：
while (left < right)，这里使用 < ,因为left == right在区间[left, right)是没有意义的
if (nums[middle] > target) right 更新为 middle，因为当前nums[middle]不等于target，去左区间继续寻找，而寻找区间是左闭右开区间，所以right更新为middle，即：下一个查询区间不会去比较nums[middle]
在数组：1,2,3,4,7,9,10中查找元素2，如图所示：（注意和方法一的区别）
代码如下：（详细注释）
// 版本二
class Solution {
public:
int search(vector<int>& nums, int target) {
int low = 0;
int high = nums.size(); // 定义target在左闭右开的区间里，即：[left, right)
while (low < high) { // 因为left == right的时候，在[left, right)是无效的空间，所以使用 <
int mid = low + ((high - low) >> 1);
if (nums[mid] > target) {
high = mid; // target 在左区间，在[left, middle)中
} else if (nums[mid] < target) {
low = mid + 1; // target 在右区间，在[middle + 1, right)中
} else { // nums[middle] == target
return mid; // 数组中找到目标值，直接返回下标
}
}
// 未找到目标值
return -1;
}
};
