相信大家在学习之余，也会参与或者观看一些体育比赛吧，毕竟大家都是德智体美全面发展的好学生。
无论是足球、篮球，还是其它的运动比赛，都有一样与编程非常相关的东西！那就是 — 记分牌！
那么，两者之间究竟有什么联系呢？
1. 十进制 #
大家可以回顾一下，记分牌的记分过程，是什么样子的呢？
我们的记分牌，可以记录超过 9 的数字吗？
如果，只有一位数字区域，那是不可以的。
由于，一个数字区域，只可以放一个数字（0-9），所以这时候，就需要两位数字区域了。
其实大家一看就知道了，这其实就是我们生活中常用的数字啊！
这有什么稀奇的呢？
其实，我们生活中，这种“满十进一”的计数方式，我们称之为“十进制”。
这种“满十进一”的机制我们都已经习以为常，所以都不觉得，这有什么神奇。
大家知道吗，其实人类历史上，还出现过不是“满十进一”的计数方式呢。
- 12 进制的计数法：中国古代的地支（代表一天的时间，12个时辰）“子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥”；
- 12 进制的计数法：中国的十二生肖“鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪”；（十二生肖与十二地支一一对应）
中国古代也有一种十进制的计数法：“甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸”；（天干）
聪明的古人将“十天干”和“十二地支”结合起来，形成了独特的干支纪年法，我们常常会在历史中看到这种纪年法，例如：辛亥革命、戊戌变法、甲午战争。
干支纪年法: 甲子、乙丑、丙寅、丁卯、戊辰、己巳、庚午、辛未、壬申、癸酉、 甲戌、乙亥、丙子、丁丑、戊寅、己卯、庚辰、辛巳、壬午、癸未、 甲申、乙酉、丙戌、丁亥、戊子、己丑、庚寅、辛卯、壬辰、癸巳、 甲午、乙未、丙申、丁酉、戊戌、己亥、庚子、辛丑、壬寅、癸卯、 甲辰、乙巳、丙午、丁未、戊申、己酉、庚戌、辛亥、壬子、癸丑、 甲寅、乙卯、丙辰、丁巳、戊午、己未、庚申、辛酉、壬戌、癸亥 细心的同学可能发现了用干支纪年法60年为一循环，而不是120年（十天干和十二地支有10*12=120种组合方式） 这是因为每过一年，天干和地支要同时加1，而不是像十进制数学中满十才进一，所以最后可能的只有60种组合方式。
思考：
2024年用干支纪年法表示是甲辰年，那么大家出生那年用干支纪年法该怎么表示呢？
2. 二进制 #
我们生活中，常用阿拉伯数组，就是十进制。数学中其实还有其他几种进制，我们先来看一下，“二进制”。
从上面的动图可以看出来，其实“二进制”，就是“满二进一”。
或许大家都听说过，“二进制”和计算机是关系非常紧密的。
现在大家已经学习过来 C++ 的一些知识，那么，在下一个章节中，我们将给大家介绍，它们之间的联系。
不过这会儿，我们还有一个很重要的知识要学习，那就是“进制转换”。
由于进制很多，不可能一一去讲。我们只需掌握重要的几种就可以了。
2.1 二进制和十进制转换 #
我们先来看一下，十进制数中，我们有这样的约定：
千 百 十 个 1 2 3 4
这是我们学习过的“数位”。
那么，给定一个数（比如 1234），如何计算它的值呢？
从个位开始： 个: 4 = 4 十: 3 * 10 = 30 百: 2 * 100 = 200 千: 1 * 1000 = 1000 所以，总和为：1000 + 200 + 30 * 4 = 1234
其实这个方法，可以将任意的进制，转化成“十进制”。在上一讲中，我们其实已经使用过这个方法了。
现在我们来看一下，二进制该怎么转化。
2.1.1 二进制 to 十进制 #
假设有一个二进制数，如何转化成十进制数呢？我们先来看几个例子：
0000 // 0 （可以先数一数，来得到对应的十进制数） 0001 // 1 0010 // 2 0100 // 4 1000 // 8
然后我们可以这样约定，在二进制数中：
(2^3) (2^2) (2^1) (2^0) 1 0 1 0
然后，给定一个数（比如 1010），如何计算它的十进制值呢？
从个位开始： 个: 0 * 2^0 = 0 二: 1 * 2^1 = 2 四: 0 * 2^2 = 0 八: 1 * 2^3 = 8 所以，总和为：8 + 0 + 2 + 0 = 10
请计算下面几个二进制数的十进制值是多少。
注意，请写出计算过程。
1111 111 11 1011 0101 // 二进制数的写法上，我们习惯上，书写时，4 位一组 0110 0010
答案：
15 7 3 181 98
以下这几个，希望大家能够记住。
0000 // 0 0001 // 1 0010 // 2 0100 // 4 1000 // 8
2.1.2 十进制 to 二进制 #
需要使用“短除法” 。
假设有一个十进制数：125
2｜125
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2｜62 1 // 商 62 ，余数 1
▔▔▔▔
2｜31 0 // 商 31 ，余数 0
▔▔▔▔
2｜15 1 // 商 15 ，余数 1
▔▔▔▔
2｜7 1 // 商 7 ，余数 1
▔▔▔▔
2｜3 1 // 商 3 ，余数 1
▔▔▔▔
1 1 // 商 1 ，余数 1
不能再除。
先写最后一步的“商”。
然后，倒着将所有余数写出来。（先写最底下的余数）
1111 1101
这个方法，请多加练习。
3. 十六进制 #
一样的道理，阿拉伯数字只有 0-9，不够用来表示 16 个数字。
但是，对于“十六进制”，在我们编程中是非常重要的一种计数方式，所以专门约定，使用 ABCDEF 来补充。
我们一起来数一数吧。
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A // 10 B // 11 C // 12 D // 13 E // 14 F // 15 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A 1B 1C 1D 1E 1F 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 2A 2B 2C 2D 2E 2F ...
3.1 十六进制和十进制转换 #
3.1.1 十六进制 to 十进制 #
首先，还是在，十进制数中，我们有这样的约定：
千 百 十 个 1 2 3 4
现在我们来看一下，十六进制该怎么转化。
假设有一个十六进制，
5AF1
然后我们可以这样约定，在十六进制中：
(16^3) (16^2) (16^1) (16^0) 5 A F 1
如何计算它的十进制值呢？
从个位开始： (16^0): 1 * (16^0) = 1 * 1 = 1 (16^1): F * (16^1) = 15 * 16 = 240 (16^2): A * (16^2) = 10 * 16*16 = 2560 (16^3): 5 * (16^3) = 5 * 16*16*16 = 20480 所以，总和为：20480 + 2560 + 240 + 1 = 23281
请计算下面几个十六进制数的十进制值是多少。
注意，请写出计算过程。
FFFF FF00 10 100 1000 ABCD
答案：
65535 255 16 256 4096 43981
3.1.2 十进制 to 十六进制 #
需要使用“短除法”
假设有一个十进制数：23281
16｜23281
▔▔▔▔▔
16｜1455 1 // 商 1455 ，余数 1
▔▔▔▔▔
16｜90 F // 商 90 ，余数 15(F)
▔▔▔▔▔
5 A // 商 5 ，余数 10(A)
不能再除。
先写最后一步的“商”。
然后，倒着将所有余数写出来。（先写最底下的余数）
5AF1
这个方法，请多加练习。
3.2 十六进制和二进制转换 #
二进制对于编程来说，是非常重要的。虽然我们还没有具体介绍原因，但是已经无数次的再强调了。
不过，二进制有一个显而易见的缺点，那就是太太太长。。。
1000 // 十进制 8 1111 1111 // 十进制 255 0100 1001 1001 0110 0000 0010 1101 0010 // 十进制 1234567890
但是二进制太重要了，我们不能不使用它。所以，我们为了表示方便，就经常使用十六进制。
原因也是非常显而易见的，我们这儿，举几个例子，大家以看就明白了。
0001 // 十六进制 1 0010 // 十六进制 2 0100 // 十六进制 4 1000 // 十六进制 8 1111 // 十六进制 F 1111 1111 // 十六进制 FF 1111 1111 0000 0001 // 十六进制 FF01
因为二进制对程序而言非常重要，而十六进制沾了二进制的光，所以在编程中，也应用广泛。
4 位二进制，正好对应 1 位十六进制
二进制 十六进制 0000 0 0001 1 0010 2 0011 3 0100 4 0101 5 0110 6 0111 7 1000 8 1001 9 1010 A 1011 B 1100 C 1101 D 1110 E 1111 F
注意：
二进制转换十六进制时，要从右往左每四位一组，如果最左边一组不满四位，在开头补0补齐四位
10100100110 0101 0010 0110 // 正确 1010 0100 110 // 错误
这是非常重要的，要记得非常牢。
4. 八进制 #
“八进制”，就是“满八进一”。
0 1 2 3 4 5 6 7 10 11 12 13 14 15 16 17 20 21 ...
4.1 八进制和十进制转换 #
八进制和十进制之间的转换可以参照前面二进制、十六进制和十进制的转换，这里不再赘述。
我们通过几个练习来学习一下
31(十进制) ==> ?(八进制) 100(十进制) ==> ?(八进制) 1107(十进制) ==> ?(八进制) 31(八进制) ==> ?(十进制) 100(八进制) ==> ?(十进制) 1107(八进制) ==> ?(十进制)
4.2 八进制和二进制转换 #
八进制转二进制与十六进制转二进制类似。
3位二进制，正好对应 1 位八进制
100 // 八进制 4 111 101 // 八进制 75（从右往左每三位一组） 100 000 011 // 八进制 403
二进制 八进制 000 0 001 1 010 2 011 3 100 4 101 5 110 6 111 7
5. 二进制、八进制、十六进制在 C++ 中的写法 #
虽然我们一直说，二进制很重要，但是
- C++ 中，没有二进制数的直接表示方法！！！
- 二进制数，是通过十六进制数，表示的！
请看代码：
int a; a = 0xFF01; // 将 a 赋值为 0xFF01，这是十六进制数 a = 0x1; // 以 0x 开始，表示为十六进制 a = 0x0011; // 可以以 0 开头 a = 23281; // 将 a 赋值为 23281，这是十进制数 a = o1; // 将 a 赋值为 01，这是八进制数 a = o452; // 以 o 开始，表示为八进制。注意，这是字母 o，不是数字 0 a = o77;
- 0x 是十六进制数的开头。x 也可以大写，一般习惯小习。
- o 是八进制数的开头。注意，这不是数字0，这是字母o，也可以大写。
- C++ 中，十六进制的负数，非常特殊。不可以写作 -0xFF ，要使用反码，我们将在后面的课程中介绍。
请练习一下，完成下面转化。注意书写计算过程。
1111(2进制) ==> 0x???? 1100(2进制) ==> 0x???? 1111 1100(2进制) ==> 0x???? 1001 1101(2进制) ==> 0x???? 0x0077 ==> ????(2进制) 0x00e8 ==> ????(2进制) // C++ 的十六进制写法中，不区分字母的大小写 0x7a5d ==> ????(2进制)
