主要内容 #

1. 什么是父亲表示法
2. 父亲表示法的优缺点
3. 如何表示一棵树

1. 什么是父亲表示法 #

C++ 中的树的父亲表示法（Parent Representation）又称为双亲表示法，是一种使用数组来表示树的数据结构，其中数组的下标表示节点的编号，数组的元素表示该节点的父节点编号。
注意，根节点没有父节点（父节点又称为双亲节点），因此根节点记录父节点位置的变量通常置为 -1。
例如，采用双亲表示法存储下图的普通树：

上图存储普通树的过程转化为 C 语言代码为：

#define MAX_SIZE 100//宏定义树中结点的最大数量
typedef char ElemType;//宏定义树结构中数据类型
typedef struct Snode{
    TElemType data;//树中结点的数据类型
    int parent;//结点的父结点在数组中的位置下标
}PTNode;
typedef struct {
    PTNode tnode[MAX_SIZE];//存放树中所有结点
    int n;//根的位置下标和结点数
}PTree;

2. 父亲表示法的优缺点 #

使用父亲表示法可以有效地节省存储空间，同时还能够支持一些特殊的树算法，如 LCA（最近公共祖先）等。但是需要注意，使用父亲表示法表示一棵树时，不支持快速查找某个节点的子节点，需要进行线性遍历。
但是，使用父亲表示法存储一棵树也存在一些缺点，例如：
1. 插入、删除节点时需要更新父节点指针，而且需要保证更新完毕之后整棵树依然合法，否则会导致程序出错。
2. 在进行节点查找时，需要从根节点开始遍历整棵树才能找到目标节点，这样的时间复杂度是 $O(n)$ 的。
3. 父亲表示法并不支持高效的树的重构操作。当需要重构一棵树时，需要重新构建整棵树，而无法利用已有的部分信息来高效地进行重构。
因此，在实际应用中，应根据具体的需求来选择合适的树的表示方法。当需要高效地进行节点查找或树的重构操作时，可能需要使用其他的树的表示方法，如孩子表示法、邻接表等。
另外，需要注意的是，父亲表示法有一些限制和约束条件，如：
1. 父节点编号必须唯一。即每个节点的父节点编号不能相同，否则无法正确地表示树的结构。
2. 根节点的父节点编号必须为一个特定值。根节点没有父节点，因此需要为其指定一个特殊的父节点编号，通常为 $-1$ 或 $0$ 等。
3. 节点的编号必须连续。如果使用数组来存储节点信息，则节点的编号必须从 $1$ 开始连续编号，否则无法正确地使用数组来访问节点信息。
4. 树的深度不能太大。由于父亲表示法需要存储每个节点的父节点编号，因此树的深度不能太大，否则会占用过多的存储空间，导致程序出错。

3. 如何表示一棵树 #

存储上图中普通树的 C 语言实现代码为：

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#define MAX_SIZE 20
typedef char ElemType;//宏定义树结构中数据类型
typedef struct Snode  //结点结构
{
    ElemType data;
    int parent;
}PNode;

typedef struct  //树结构
{
    PNode tnode[MAX_SIZE];
    int n;                 //结点个数
}PTree;

PTree InitPNode(PTree tree)
{
    int i, j;
    char ch;
    printf("请输出节点个数:\n");
    scanf("%d", &(tree.n));

    printf("请输入结点的值其双亲位于数组中的位置下标:\n");
    for (i = 0; i < tree.n; i++)
    {
        getchar();
        scanf("%c %d", &ch, &j);
        tree.tnode[i].data = ch;
        tree.tnode[i].parent = j;
    }
    return tree;
}

void FindParent(PTree tree)
{
    char a;
    int isfind = 0;
    printf("请输入要查询的结点值:\n");
    getchar();
    scanf("%c", &a);
    for (int i = 0; i < tree.n; i++) {
        if (tree.tnode[i].data == a) {
            isfind = 1;
            int ad = tree.tnode[i].parent;
            printf("%c的父节点为 %c,存储位置下标为 %d", a, tree.tnode[ad].data, ad);
            break;
        }
    }
    if (isfind == 0) {
        printf("树中无此节点");
    }
}

int main()
{
    PTree tree;
    for (int i = 0; i < MAX_SIZE; i++) {
        tree.tnode[i].data = " ";
        tree.tnode[i].parent = 0;
    }
   
    tree = InitPNode(tree);
    FindParent(tree);
    return 0;
}

程序运行示例：

请输出节点个数:
10
请输入结点的值其双亲位于数组中的位置下标:
R -1
A 0
B 0
C 0
D 1
E 1
F 3
G 6
H 6
K 6
请输入要查询的结点值:
C
C的父节点为 R,存储位置下标为 0