主要内容 #
- 贪心算法的解题思路
- 贪心算法适用的范围及框架
- 例题分析
1. 贪心算法的解题思路 #
贪心算法，是指在对问题求解时，不从整体最优上加以考虑，所做出的仅是某种意义上的局部最优解。贪心算法没有固定算法框架，算法设计的关键是贪心策略的选择。必须注意的是，贪心算法不是对所有问题都能得到整体最优解，选择的贪心策略必须具备无后效性，即某个状态以后的过程不会影响以前的状态，只与当前状态有关。
对于采用的贪心策略一定要仔细分析是否满足无后效性。
求解思路
- 1.建立数学模型来描述问题。
- 2.把求解的问题分成若干个子问题。
- 3.对每一子问题求解，得到子问题的局部最优解。
- 4.把子问题的解局部最优解合成原来解问题的一个解。
2. 贪心算法适用的范围及框架 #
贪心策略的前提是：局部最优策略能导致产生全局最优解。
实际上，贪心算法使用的情况比较少，一般对一个问题分析是否适用于贪心算法，可以先选择该问题下的几个实际数据进行分析可以做出判断。
贪心算法的实现框架:
从问题的某一初始解出发：
while （能朝给定总目标前进一步）
{ 利用可行的决策，求出可行解的一个解元素；}
由所有解元素组合成问题的一个可行解。
3. 例题分析 #
3.1分糖果问题 #
n个小朋友玩完游戏后，老师准备给他们发糖果；每个人有一个分数a[i]，如果比左右的人分数高，那么糖果也要比左右的多，并且每个小朋友至少有一颗。问老师最少准备多少糖果？
如果是我们分配糖果，我们应该怎么分配？
答案是：从分数最低的开始。
答案是：从分数最低的开始。
按照分数排序，从最低开始分，每次判断是否比左右的分数高。
假设每个人分c[i]个糖果，那么对于第i个人有c[i]=max(c[i-1],c[c+1])+1; （c[i]默认为0，如果在计算i的时候,c[i-1]为0，表示i-1的分数比i高）
但是，这样解决的时间复杂度为O(NLogN)，主要瓶颈是在排序。
对贪心的策略进行优化：
我们把左右两种情况分开看。
如果只考虑比左边的人分数高时，容易得到策略：
从左到右遍历，如果a[i]>a[i-1]，则有c[i]=c[i-1]+1；否则c[i]=1。
再考虑比右边的人分数高时，此时我们要从数组的最右边，向左开始遍历：
如果a[i]>a[i+1], 则有c[i]=c[i+1]+1；否则c[i]不变；
这样讲过两次遍历，我们可以得到一个分配方案，并且时间复杂度是O(N)。
3.2 小船过河问题 #
n个人要过河，但是只有一艘船；船每次只能做两个人，每个人有一个单独坐船的过河时间a[i]，如果两个人(x和y)一起坐船，那过河时间为a[x]和a[y]的较大值。问最短需要多少时间，才能把所有人送过河？
题目给出关键信息：1、两个人过河，耗时为较长的时间；
还有隐藏的信息：2、两个人过河后，需要有一个人把船开回去；
要保证总时间尽可能小，这里有两个关键原则：应该使得两个人时间差尽可能小（减少浪费），同时船回去的时间也尽可能小（减少等待）。
先不考虑空船回来的情况，如果有无限多的船，那么应该怎么分配？
答案：每次从剩下的人选择耗时最长的人，再选择与他耗时最接近的人。
再考虑只有一条船的情况，假设有A/B/C三个人，并且耗时A<B<C。
那么最快的方案是：A+B去, A回；A+C去；总耗时是A+B+C。（因为A是最快的，让其他人来回时间只会更长，减少等待的原则）
如果有A/B/C/D四个人，且耗时A<B<C<D，这时有两种方案：
1、最快的来回送人方式，A+B去；A回；A+C去，A回；A+D去； 总耗时是B+C+D+2A （减少等待原则）
2、最快和次快一起送人方式，A+B先去，A回；C+D去，B回；A+B去；总耗时是 3B+D+A （减少浪费原则）
对比方案1、2的选择，我们发现差别仅在A+C和2B；
为何方案1、2差别里没有D？
因为D最终一定要过河，且耗时一定为D。
如果有A/B/C/D/E 5个人，且耗时A<B<C<D<E，这时如何抉择？
仍是从最慢的E看。（参考我们无限多船的情况）
方案1，减少等待；先送E过去，然后接着考虑四个人的情况；
方案2，减少浪费；先送E/D过去，然后接着考虑A/B/C三个人的情况；（4人的时候的方案2）
到5个人的时候，我们已经明显发了一个特点：问题是重复，且可以由子问题去解决。
根据5个人的情况，我们可以推出状态转移方程dp[i] = min(dp[i – 1] + a[i] + a[1], dp[i – 2] + a[2] + a[1] + a[i] + a[2]);
再根据我们考虑的1、2、3、4个人的情况，我们分别可以算出dp[i]的初始化值：
dp[1] = a[1];
dp[2] = a[2];
dp[3] = a[2]+a[1]+a[3];
dp[4] = min(dp[3] + a[4] + a[1], dp[2]+a[2]+a[1]+a[4]+a[2]);
由上述的状态转移方程和初始化值，我们可以推出dp[n]的值。
