主要内容 #

• 最长不下降子序列
• 求解思路
• 参考代码

1. 最长不下降子序列 #

设有由n(1≤n≤200)个不相同的整数组成的数列，记为:b(1)、b(2)、……、b(n)若存在i1<i2<i3<…<ie且有b(i1)<=b(i2)<=…<=b(ie)则称为长度为e的不下降序列。程序要求，当原数列出之后，求出最长的不下降序列。

例如13，7，9，16，38，24，37，18，44，19，21，22，63，15。例中13，16，18，19，21，22，63就是一个长度为7的不下降序列，同时也有7 ，9，16，18，19，21，22，63组成的长度为8的不下降序列。
输入
第一行为n,第二行为用空格隔开的n个整数。
输出
第一行为输出最大个数max(形式见样例)；
第二行为max个整数形成的不下降序列,答案可能不唯一，输出一种就可以了，本题进行特殊评测。
输入样例
14
13 7 9 16 38 24 37 18 44 19 21 22 63 15
输出样例
max=8
7 9 16 18 19 21 22 63

2. 求解思路 #

根据动态规划的原理，由后往前进行搜索（当然从前往后也一样）。
（1）对a[n]来说，由于它是最后一个数，所以当从 a[n]开始查找时，只存在长度为1的不下降序列;
（2）若从a[n-1]开始查找，则存在下面的两种可能性∶
①若a[n-1]<a[n]，则存在长度为2的不下降序列a[n-1]，a[n]。
②若a[n-1]=>a[n]，则存在长度为1的不下降序列a[n-1]或a[n]。
(3)一般若从a[i]开始，此时最长不下降序列应该按下列方法求出：
在a[i+1]，a[i＋2]，…，a[n]中，找出一个比 a[i]大的且最长的不下降序列，作为它的后继。
1. 确定dp数组的含义
dp[i]：表示从 i 位置到达n的最长不下降序列长度。
p[i]：表示从 i 位置开始最长不下降序列的下一个位置，若p[i]=0，则表示后面没有连接项。
2. 确定递推公式
dp[i]的值从哪来？肯定从i之后的数组来，此时有两种情况：
如果a[i]≤a[j]，dp[i] = max{dp[j] + 1}（n>=j > i);
否则，dp[i] = max{dp[j]}（n>=j > i）;
3. dp数组的初始化
只有一个数字的时候不论数字的大小，不下降的子序列的大小为1，所以dp[n] = 1，其余的项目均可由dp[n]通过递推公式得到。
同时,p[i]数组初始化为0。
4. 确定遍历顺序
外层循环即i从后往前遍历，内层循环j从i+1开始往后遍历。
最终的结果如下图所示：

3. 参考代码 #

#include<iostream>
using namespace std;
#define MAXN 210

int a[MAXN];           //数据存储数组 
int dp[MAXN];           //最长不下降子序列数组，f[i]表示从i位置到达n的最长不下降序列长度 
int p[MAXN];           //位置数组，从i位置开始最长不下降序列的下一个位置

int main()
{
	int i,j;
	int n;             //数列长度 
	int maxn;          //以某数为起点的最长不降序列
	int k;
	int ans=0;         //最终结果 
	int s;             //s起始位置
	
	cin >> n;
	for(i=1;i<=n;i++)               //输入序列的初始值 
		cin >> a[i];
	
	dp[n]=1;
	p[n]=0;
	
	for(i=n-1;i>=1;i--)             //逆序求最长不下降序列 
	{
		maxn=0;
		k=0;
		for(j=i+1;j<=n;j++)
		{
			if(a[i]<=a[j] && dp[j]>maxn)
			{
				maxn=dp[j];
				k=j;
			}
		}
		if(maxn>=0)
		{
			dp[i]=maxn+1;
			p[i]=k;
		}
	}
	for(i=1;i<=n;i++)         //求最长不下降序列起始位置 
	{
		if(dp[i]>ans)
		{
			ans=dp[i];
			s=i;
		}
	}
	cout << ans << endl;   //输出结果 
	while(s!=0)               //输出最长不下降序列 
	{
		cout << a[s] << ' ';
		s=p[s];
	}
	return 0;
}