主要内容 #
- 问题的提出
- 递推方法求解
- 问题的延伸
1. 问题的提出 #
本次课要讨论的是当给定 n（n>=0）个结点时，可以构建多少种形态不同的树。
如果两棵树中各个结点的位置都一一对应，可以说这两棵树相似。如果两棵树不仅相似，而且对应结点上的数据也相同，就可以说这两棵树等价。本次课中，形态不同的树指的是互不相似的树。
对于任意一棵普通树，通过孩子兄弟表示法的转化，都可以找到唯一的一棵二叉树与之对应。所以本节研究的题目也可以转化成：n 个结点可以构建多少种形态不同的二叉树。
每一棵普通树对应的都是一棵没有右子树的二叉树，所以对于 n 个结点的树来说，树的形态改变是因为除了根结点之外的其它结点改变形态得到的，所以，n 个结点构建的形态不同的树与之对应的是 n-1 个结点构建的形态不同的二叉树。
如果 tn 表示 n 个结点构建的形态不同的树的数量，bn 表示 n 个结点构建的形态不同的二叉树的数量，则两者之间有这样的关系：tn=bn-1。
2. 递推方法求解 #
最直接的一种方法就是推理。当 n=0 时，只能构建一棵空树；
当 n=2 时，可以构建 2 棵形态不同的二叉树，如下图所示：
当 n=3 时，可以构建 5 棵形态互不相同的二叉树，如下图所示：
对于具有 n（ n>1 ）个结点的二叉树来说，都可以看成是一个根结点、由 i 个结点组成的左子树和由 n-i-1 个结点组成的右子树
当 n=1 时，也适用，只不过只有一个根结点，没有左右孩子（i=0）。
可以得出一个递推公式：
通过对公式一步步的数学推算，最后得出，含有 n 个结点的不相似的二叉树的数量为：
3. 问题的延伸 #
上面我们得到的数列为为卡特兰数（Catalan数），其他使用Catalan数解决的问题：
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