第8讲一元一次不等式组

知识模块 01 · 原讲小节

一元一次不等式组

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

知识讲解定义、性质与方法

一元一次不等式组：由几个含有同一个未知数的一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组．

如 ${\begin{matrix} \frac{1}{2} x - 3 \geq 0 \\ x + 8 < 4 x - 1 \end{matrix}$ ， ${\begin{matrix} 2 x - 6 \geq 0 \\ - x < 6 \\ \frac{1}{3} x - 5 > 0 \end{matrix}$ 都是一元一次不等式组．

一元一次不等式组的解集：不等式组中所有不等式解集的公共部分．

当几个不等式的解集没有公共部分时，称这个不等式组无解（解集为空集）．

题目SH-031-001

解一元一次不等式组的步骤：

⑴ 求出不等式组中各个不等式的解集；

⑵ 在数轴上表示各个不等式的解集；

⑶确定各个不等式解集的公共部分，就得到这个不等式组的解集．

由两个一元一次不等式组成的不等式组，经过整理可以归结为下述四种基本类型：（表中 $a > b$ ）
不等式	图示	解集
${\begin{matrix} x > a \\ x > b \end{matrix}$		$x > a$ （同大取大）
${\begin{matrix} x < a \\ x < b \end{matrix}$		$x < b$ （同小取小）
${\begin{matrix} x < a \\ x > b \end{matrix}$		$b < x < a$ （大小交叉中间找）
${\begin{matrix} x > a \\ x < b \end{matrix}$		无解（大大小小无解了）

题目SH-031-002难度 B · 巩固

⑴ 把不等式组 ${\begin{matrix} x + 2 > 0 \\ x - 2 \leq 0 \end{matrix}$ 的解集表示在数轴上，正确的是（）

⑵ 不等式组 ${\begin{matrix} x - 1 > 2 \\ - 2 x < 8 \end{matrix}$ 的解集是（）

A． $x < - 4$ ； B． $- 4 < x < 3$ ； C． $x > - 4$ ； D． $x > 3$ ．

⑶ 将不等式 ${\begin{matrix} x + 8 < 4 x - 1 \\ \frac{1}{2} x \leq 8 - \frac{3}{2} x \end{matrix}$ 的解集在数轴上表示出来，正确的是（）

A B

C D

题目SH-031-003难度 B · 巩固

⑴ 解不等式组： ${\begin{matrix} \frac{1}{2} x + 2 \geq 0, \\ 1 - \frac{x + 5}{2} < - 1 - x \end{matrix}$ 并将解集在数轴上表示．

⑵ 解不等式组 ${\begin{matrix} 4 x - 7 < 5 (x - 1) \\ \frac{x}{3} \leq 3 - \frac{x - 2}{2} \end{matrix}$ ，并写出这个不等式组的整数解．

题目SH-031-004难度 C · 综合

解不等式组：

⑴ ${\begin{matrix} \frac{2 x - 11}{4} + \frac{19 - 2 x}{2} > 2 x \\ \frac{2 x + 15}{9} > \frac{1}{5} (x - 1) + \frac{x}{3} \end{matrix}$ ； ⑵ ${\begin{matrix} x - 1 + \frac{1}{x - 13} > 4 + \frac{1}{x - 13} \\ x + 3 > 7 + \frac{x}{2} \end{matrix}$ ．

题目SH-031-005难度 C · 综合

解不等式组：

⑴ $\frac{1}{3} x - 2 \leq \frac{1}{2} x + \frac{1}{6} < - 2 x - \frac{1}{3}$ ； ⑵ $\frac{0.7 x - 0.1}{0.3} > \frac{3 x - 7}{2} \geq \frac{3 x}{4} - 1$ ．

题目SH-031-006难度 D · 提升

满足下列不等式组的所有整数的和是多少？

${\begin{matrix} \frac{x - 1}{2} - \frac{x}{3} + 1 > 0 \\ 4 x - 3 \leq 5 + 2 x \\ 2 - \frac{5 + x}{7} > 1 - \frac{1 - x}{14} \end{matrix}$

题目SH-031-007难度 C · 综合

对于实数 $x$ ，我们规定 $[x]$ 表示不大于 $x$ 的最大整数，例如 $[2] = 2$ ， $[1.7] = 1$ ， $[- 0.4] = - 1$ ， $[- 2.6] = - 3$ ，若 $[\frac{x + 4}{10}] = - 3$ ，求 $x$ 的取值范围．

题目SH-031-008难度 C · 综合

对于三个数 $a$ ， $b$ ， $c$ ，用 $M {a$ ， $b$ ， $c}$ 表示这三个数的中位数（即 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 降序排列位置在中间的数），用 $m a x {a$ ， $b$ ， $c}$ 表示这三个数中最大的数．例如： $M {- 2$ ， $- 1$ ， $0} = - 1$ ； $m a x {- 2$ ， $- 1$ ， $0} = 0$ ， $m a x {- 2$ ， $- 1$ ， $a} = {\begin{matrix} a (a ⩾ - 1) \\ - 1 (a < - 1) \end{matrix}$ ，根据以上材料，解决下列问题：

若 $m a x {3$ ， $5 - 3 x$ ， $2 x - 6} = M {1$ ， $5$ ， $3}$ ，则 $x$ 的取值范围为．

题目SH-031-009难度 C · 综合

按如下程序进行运算：

并规定：程序运行到“结果是否大于65”为一次运算，且运算进行4次才停止，则可输入的整数 $x$ 为．

题目SH-031-010难度 D · 提升

阅读以下对不等式 $x^{2} + x - 6 < 0$ 的解法，解之后的不等式．

$x^{2} + x - 6 = x^{2} - 2 x + 3 x - 6 = x (x - 2) + 3 (x - 2) = (x - 2) (x + 3) < 0$ ．这个式子说明 $x - 2$ 和 $x + 3$ 的乘积是负数，那么他们的值必然异号．因此原不等式和下列两个不等式组的解集相同： ${\begin{matrix} x - 2 > 0 \\ x + 3 < 0 \end{matrix}$ ①或者 ${\begin{matrix} x - 2 < 0 \\ x + 3 > 0 \end{matrix}$ ②．不等式①无解，不等式②的解集是 $- 3 < x < 2$ ．所以原不等式的解集是 $- 3 < x < 2$ ．

解下列不等式：

⑴ $(2 x - 3) (x - 1) > 0$ ⑵ $\frac{2 x - 3}{x - 1} > 0$ ⑶ $\frac{x - 2}{x - 1} > - 1$

题目SH-031-011

小明参加的生物兴趣小组要在温箱里培养 $A$ 、 $B$ 两种菌苗． $A$ 种菌苗的生长温度 $x$ ℃的范围是 $35 \leq x \leq 38$ ， $B$ 种菌种的成长温度 $y$ ℃的范围是 $34 \leq y \leq 36$ ，那么温箱里的温度 $T$ ℃应该设定在（）

A． $35 \leq T \leq 38$ ； B． $35 \leq T \leq 36$ ； C． $34 \leq T \leq 36$ ； D． $34 \leq T \leq 38$ ．

题目SH-031-012

解不等式组： ${\begin{matrix} \frac{3 x - 2}{2} - 5 \leq 0 \\ - 2 x - 5 > 0 \end{matrix}$ 并把解集在数轴上表示．

题目SH-031-013

解不等式组 ${\begin{matrix} 2 (x + 8) \leq 10 - 4 (x - 3) \\ \frac{x + 1}{3} - \frac{3 x + 1}{2} < 1 \end{matrix}$ ，并把它的解集表示在数轴上．

题目SH-031-014

求不等式组 ${\begin{matrix} 7 (x - 1) < 4 x + 3 \\ 6 (\frac{2}{3} x + 1) \geq 2 x - 5 \end{matrix}$ 的正整数解．

题目SH-031-015

求不等式组 ${\begin{matrix} \frac{x - 1}{5} \leq 2 (x + 3) - 1 \\ x - \frac{x - 4}{4} \geq 2 + \frac{3 x - 2}{2} \end{matrix}$ 的最小整数解．

题目SH-031-016

某种球票分两种： $A$ 种 $600$ 元一张， $B$ 种 $120$ 元一张，现要用不超过 $5000$ 元的购票款，购买 $A$ 、 $B$ 两种票共 $15$ 张，且要求 $A$ 种票不少于 $B$ 种票的一半；问：共有几种不同的购票方案？其中哪种方案最省钱？

题目SH-031-017

⑴如果不等式组 ${\begin{matrix} x > n \\ x < m \end{matrix}$ 无解，那么 $m$ $n$ （填不等号）；

⑵不等式组 ${\begin{matrix} x > - 5 \\ x < 3 \\ x > - 1 \end{matrix}$ 的解集是．

题目SH-031-018

解下列不等式组：

⑴ ${\begin{matrix} 5 x + 2 \geq 3 x - 6 \\ \frac{x - 2}{6} > \frac{x}{2} - 1 \end{matrix}$ ；

⑵ ${\begin{matrix} 3 (x + 2) \geq x + 4 \\ \frac{x - 1}{2} + \frac{1}{x - 4} < 1 + \frac{1}{x - 4} \end{matrix}$ ；

⑶ ${\begin{matrix} 3 (x - 1) + 2 \geq 2 (x + 1) + 1 \\ x - 5 < 2 (3 x - 1) \end{matrix}$ ．

题目SH-031-019

⑴已知 $a = \frac{x + 4}{3}$ ， $b = \frac{2 x - 7}{4}$ ，并且 $2 b \leq \frac{5}{2} < a$ ，请求出 $x$ 的取值范围．

⑵如果 $2 m$ 、 $m$ 、 $1 - m$ 这三个实数在数轴上所对应的点从左到右依次排列，求 $m$ 的取值范围．

题目SH-031-020

解不等式组： ${\begin{matrix} 3 (x - 2) > 7 > x + 1 \\ \frac{2 x + 1}{3} > \frac{2 x - 7}{5} + 3 \end{matrix}$ ．
运行程序如图所示，规定：从“输入一个值 $x$ ”到“结果是否 $> 26$ ”为一次程序操作，如果程序操作进行了2次后停止，求满足条件的所有整数 $x$ 的和．

题目SH-031-021

解下列不等式组：

⑴ ${\begin{matrix} 7 (x - 1) > 4 x + 2 \\ \frac{2 x + 1}{3} \geq 2 x - 5 \end{matrix}$ ； ⑵ ${\begin{matrix} 5 x < 2 (x - 1) + 8 \\ \frac{x - 2}{4} \leq \frac{2 x - 3}{6} \end{matrix}$ ；

⑶ ${\begin{matrix} 5 x + 1 > 3 (x - 1) \\ \frac{1}{2} x - 1 \leq 7 - \frac{3}{2} x \end{matrix}$ ； ⑷ ${\begin{matrix} 2 x - 1 > 3 (x - 1) \\ \frac{5 - x}{2} < x + 5 \end{matrix}$ ；

⑸ $\frac{3 x - 9}{2} \geq \frac{4}{3} x - 6 \geq \frac{6 - 5 x}{3}$ ； ⑹ ${\begin{matrix} \frac{x + 5}{3} > 1 \\ 2 (3 - x) \leq 0 3 x + 3 > 5 (x - 1) \end{matrix}$ ．

题目SH-031-022

解下列不等式组：

⑴ ${\begin{matrix} 2 x + 9 \geq 3 \\ \frac{1 + 2 x}{3} > x - 1 \end{matrix}$ ； ⑵ ${\begin{matrix} x - 2 (x - 2) > 2 \\ \frac{x - 3}{2} \leq x - 1 \end{matrix}$ ；

⑶ ${\begin{matrix} \frac{3 x - 1}{2} + \frac{x - 2}{3} < \frac{2 x + 2}{6} \\ \frac{2 - 5 x}{3} + 1 \leq \frac{5}{4} x \end{matrix}$ ； ⑷ ${\begin{matrix} 8 - 2 (x + 2) > 0 \\ \frac{5 x + 1}{2} + 1 \geq \frac{2 x - 1}{3} \end{matrix}$ ．

题目SH-031-023

求不等式 $\frac{5 (x + 2)}{4} > 2 x - 2 \geq \frac{6 x - 7}{5}$ 的正整数解．
解不等式组： ${\begin{matrix} \frac{x - 4}{2} + 3 \geq x \\ 3 (x + 2) > - 6 - x 2 x + 5 \geq 7 - 3 (x + 1) \end{matrix}$ ．
解不等式组： ${\begin{matrix} 2 x - 7 \leq 3 (x - 1) < \frac{x - 7}{2} \\ \frac{1 - 2 x}{3} - \frac{4 - 3 x}{6} > \frac{x - 2}{2} \end{matrix}$ ．
对于任意实数 $m$ ， $n$ ，定义一种运算 $m$ ※ $n = m n - m - n + 3$ ，例如：2※ $5 = 2 \times 5 - 2 - 5 + 3 = 6$ ．请根据上述定义：求 $5 < 2$ ※ $x < 7$ 的整数解．
定义一种法则“ $\oplus$ ”如下： $a \oplus b = {\begin{matrix} a (a > b) \\ b (a ⩽ b) \end{matrix}$ ，例如： $1 \oplus 2 = 2$ ，若 $(- 3 p + 5) \oplus 11 = 11$ ，则 $p$ 的取值范围是____________．
对于任意三个实数 $a$ ， $b$ ， $c$ ，用 $m i n {a$ ， $b$ ， $c}$ 表示这三个数中最小的数．例如： $m i n {1$ ， $2$ ， $3} = 1$ ； $m i n {- 1$ ， $2$ ， $a} = {\begin{matrix} - 1 (a ⩾ - 1) \\ a (a < - 1) \end{matrix}$ ，如果 $m i n {2$ ， $2 + x$ ， $4 - 2 x} = 2$ ，求 $x$ 的取值范围．
$x$ 取何正整数时，代数式 $\frac{x + 1}{3} - \frac{2 x - 1}{4}$ 的值不小于代数式 $\frac{x - 3}{6}$ 的值？
对于有理数 $m$ ，我们规定 $[m]$ 表示不大于 $m$ 的最大整数，例如 $[1.2] = 1$ ， $[3] = 3$ ， $[- 2.5] = - 3$ ，若 $[\frac{x + 2}{3}] = - 5$ ，则整数 $x$ 的取值是__________________．
对非负有理数 $x$ “四舍五入”到个位的值记为 $< x >$ ．即 $n$ 为非负整数时，如果 $n - \frac{1}{2} ⩽ x < n + \frac{1}{2}$ 时，则 $< x > = n$ ，例如： $< 0 > = < 0.48 > = 0$ ； $< 0.64 > = < 1.493 > = 1$ ； $< 2 > = 2$ ； $< 3.52 > = < 4.48 > = 4$ ； $\dots \dots$ ．尝试解决下列问题：

⑴ 填空：① $< 3.49 > =$ _________；②如果 $< 2 a - 1 > = 3$ ，那么 $a$ 的取值范围是_________；

⑵ 举例说明 $< x + y > = < x > + < y >$ 不恒成立；

⑶ 求满足 $< x > = \frac{6}{5} x$ 的所有非负有理数 $x$ 的值．