第2讲中考题集之相似

知识模块 01 · 原讲小节

中考题集之相似

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

知识讲解定义、性质与方法

㈠线段比的转换：

⑴等线段代换：即将原比例式中的某一条线段用另一条与之相等的线段代换．

⑵等比代换：即将原比例式中的某一比用另一个与之相等的比代换．

⑶等积代换：首先将待证比例式，通过对角相乘转化为乘积式，将其中的一个乘积转换为另一组线段的乘积．

⑷面积代换：如果线段比 $\frac{a}{b}$ 、 $\frac{c}{d}$ 都等于某两个三角形面积比，那么 $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ ，即实现了线段比的转换．

①同底或等底的两三角形的面积比等于高的比；

②同高或等高的两三角形的面积比等于底的比．

知识模块 02 · 原讲小节

㈡相似三角形的存在性

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

知识讲解定义、性质与方法

⑴确定一对相等角．

⑵从边进行分类讨论（侧重方程思想的运用）．如果用要求的量和已知的量表示出等角的两边．运用方程的思想，夹边交叉对应成比例建立相关未知数的方程，解方程则可以使问题得到解决．

⑶从角进行分类讨论（侧重演绎逻辑推理）．如果两个相等角的夹边不能表示出来，则考虑从角交叉对应相等进行分类讨论，再结合一线三等角、三垂直、射影、平行、直角、等腰等特殊的几何关系解决问题．

题目SH-163-001难度 C · 综合

等线段代换

题目SH-163-002

在 $□ A B C D$ 中，点 $E$ 在 $B C$ 边上，点 $F$ 在 $B C$ 边的延长线上，且 $B E = C F$ ．

⑴求证： $M A = M F$ ；

⑵连接 $A F$ ，分别交 $D E$ 、 $C D$ 于 $M$ 、 $N$ ，若 $∠ B = ∠ A M E$ ，求证： $N D \cdot M E = A D \cdot M N$ ．

题目SH-163-003难度 C · 综合

等比代换

题目SH-163-004

如图，已知 $A D$ 是 $∠ B A C$ 的角平分线，过点 $B, C$ 分别作 $A D$ 的垂线，垂足分别为 $F$ 、 $E$ ， $C F$ 和

$E B$ 相交于点 $P$ ，联结 $A P$ ．求证： $E C ∥ A P$ ．

题目SH-163-005难度 C · 综合

等积代换

题目SH-163-006

如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $C D ⊥ A B$ ， $M$ 是 $C D$ 上的点， $D H ⊥ B M$ 于点 $H$ ， $D H$ 的

延长线交 $A C$ 的延长线于点 $E$ ．求证：⑴ $△ A E D ∽ △ C B M$ ；⑵ $A E \cdot C M = A C \cdot C D$ .

题目SH-163-007难度 C · 综合

借助面积代换

题目SH-163-008

在 $△ A B C$ 中， $∠ B = 45 °$ ， $A D ⊥ B C$ ， $∠ B D E = ∠ D A C$ ，求证： $\frac{A E}{B E} = \frac{A D}{D C}$ ．

题目SH-163-009难度 D · 提升

如图，在等边 $△ A B C$ 的 $B C$ 边上有一点 $D$ ， $B D : D C = 1 : 2$ ，作 $C H ⊥ A D$ ， $H$ 为垂足，联结 $B H$ ，求证： $△ A D B ∽ △ B D H$ ．

题目SH-163-010难度 C · 综合

如图，在平面直角坐标系中，等腰 $△ O B C$ 的边 $O B$ 在 $x$ 轴上， $O B = C B$ ， $O B$ 边上的高 $C A$ 与 $O C$ 边上的高 $B E$ 相交于点 $D$ ，联结 $O D$ ， $A B = \sqrt{2}$ ， $∠ C B O = 45 °$ ，在直线 $B E$ 上求点 $M$ ，使 $△ B M C$ 与 $△ O D C$ 相似，则点 $M$ 的坐标是．

题目SH-163-011难度 D · 提升

等角存在性

题目SH-163-012

已知：直角坐标系 $x O y$ 中，将直线 $y = k x$ 沿 $y$ 轴向下平移 $3$ 个单位长度后恰好经过 $B (- 3, 0)$ 及 $y$ 轴上的 $C$ 点．若抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 的右侧），且经过点 $C$ ．

⑴求直线 $B C$ 及抛物线的解析式；

⑵设抛物线的顶点为 $D$ ，点 $P$ 在抛物线的对称轴上，且 $∠ A P D = ∠ A C B$ ，求点 $P$ 的坐标；

y

- 1

O

- 1

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题目SH-163-013难度 D · 提升

相似三角形存在性

直线 $y = - \frac{1}{3} x + 1$ 分别交 $x$ 轴、 $y$ 轴于 $A$ 、 $B$ 两点， $△ A O B$ 绕点 $O$ 按逆时针方向旋转 $90 °$ 后得到 $△ C O D$ ，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 经过 $A$ 、 $C$ 、 $D$ 三点．

⑴ 写出点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 的坐标；

⑵ 求经过 $A$ 、 $C$ 、 $D$ 三点的抛物线表达式，并求抛物线顶点 $G$ 的坐标；

⑶ 在直线 $B G$ 上是否存在点 $Q$ ，使得以点 $A$ 、 $B$ 、 $Q$ 为顶点的三角形与 $△ C O D$ 相似？

若存在，请求出点 $Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

题目SH-163-014难度 E · 挑战

相似三角形存在性

题目SH-163-015

如图①，半圆 $O$ 的直径 $A B = 6$ ， $A M$ 和 $B N$ 是它的两条切线， $C P$ 与半圆 $O$ 相切于点 $P$ ，并于 $A M$ ， $B N$ 分别相交于 $C$ ， $D$ 两点．

⑴请直接写出 $∠ C O D$ 的度数；

⑵求 $A C \cdot B D$ 的值；

⑶如图②，连接 $O P$ 并延长交 $A M$ 于点 $Q$ ，连接 $D Q$ ，试判断 $△ P Q D$ 能否与 $△ A C O$ 相似？若能相似，请求 $A C : B D$ 的值；若不能相似，请说明理由．

图① 图②

题目SH-163-016

如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $∠ E A F = 90 °$ ， $A B \cdot A F = A C \cdot A E$ ．连接 $C F$ 并延长 $C F$ 交 $A B$ 于点 $G$ ，交 $B E$ 于点 $D$ ．

⑴求证： $△ A G C ∽ △ D G B$ ；

⑵若点 $F$ 为 $C G$ 的中点， $A B = 3$ ， $A C = 4$ ， $\frac{D G}{D B} = \frac{1}{2}$ ，求 $D F$ 的长．

题目SH-163-017

如图，已知在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $B C = 1$ ， $A C = 2$ ， $C D ⊥ A B$ ， $D E ⊥ B C$ ， $D F ⊥ A C$ ，

求 $S_{△ B E F} : S_{△ A E F}$ ．

题目SH-163-018

Com]

如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 6$ ， $t a n B = \frac{3}{4}$ ， $D$ 是 $B C$ 边的中点， $E$ 为 $A B$ 边上的一个动点，作 $∠ D E F = 90 °$ ， $E F$ 交射线 $B C$ 于点 $F$ ．设 $B E = x$ ， $△ B E D$ 的面积为 $y$ ．

⑴ 求 $y$ 关于 $x$ 的函数关系式，并写出自变量 $x$ 的取值范围；

⑵ 如果以 $B$ 、 $E$ 、 $F$ 为顶点的三角形与 $△ B E D$ 相似，求 $△ B E D$ 的面积.