第4讲 一元二次方程根与系数的关系

由韦达定理求解代数式的值

已知$x_1+x_2$、$x_1{x}_2$可通过恒等变形求解以下常见代数式的值：

$\{\begin{array}{c}{x_1}^2+{x_2}^2、x_1^3+x_2^3\\ \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}、\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}、\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}\\ \sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}、|x_1-x_2|\end{array}$

求下列关于$x$的方程的两根的和与积：

⑴ $x^2+5x-3=0$；⑵ $2x^2+4x+3=0$；

⑶ $x^2-ax-2=0$；⑷ $2x^2-2\left(p+2\right)x+p^2+4=0$．

⑴ 设$x_1,x_2$是方程$x^2-4x+1=0$的两个根，则$x_1+x_2=\_\_\_\_\_$,$x_1{x}_2=\_\_\_\_\_$，

${x_1}^2+{x_2}^2=\_\_\_\_\_$，$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\_\_\_\_\_$，$(x_1+1)(x_2+1)=\_\_\_\_\_$．

⑵ 已知设$x_1,x_2$是方程$x^2-8x+4=0$的两个根，则$\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}=\_\_\_\_\_$，

$x_1^3+x_2^3=\_\_\_\_\_$,$\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}=\_\_\_\_\_$，$\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}=\_\_\_\_\_$，$|x_1-x_2|=\_\_\_\_\_$．

设$x_1,x_2$是二次方程$x^2+x-3=0$的两个根，那么${x_1}^3-4{x_2}^2+19=\_\_\_\_\_$．

设$p$为常实数，方程$x^2-3px-p=0$有两个不同的实数根$x_1$、$x_2$．

证明：$3p{x}_1+x_2^2-p>0$．

2. 通过韦达定理构造一元二次方程，且方程有解$\Rightarrow$求解参数范围或参数最值．

3. 根据方程特征：$\{\begin{array}{c}结构相同\\ 系数相同\left(对称\right)\end{array}$构造方程 ．

⑴已知$\{\begin{array}{c}a+b=5\\ ab=-6\end{array}$，请写出一个以$a$、$b$为根的一元二次方程，且该方程的二次项系数是$1$．

⑵求作一个一元二次方程，使它的两个根是$3+\sqrt{2}$和$3-\sqrt{2}$，且方程的二次项系数是$1$．

⑶已知方程$2x^2-3x-2=0$．不解这个方程，利用根与系数的关系，求作一个新的一元二次方程，使新方程的根分别是$2x^2-3x-2=0$各根的平方，且方程的二次项系数是$1$．

⑴求作一个一元二次方程，使它的两个根是$3+2\sqrt{2}$和$3-2\sqrt{2}$，且方程的二次项系数是$1$．

⑵已知$x_1$、$x_2$为方程$x^2-10x+1=0$的两个实数根，求作以$\sqrt{x_1}$、$\sqrt{x_2}$为根的一元二次方程，且方程的二次项系数是$1$．

⑶已知方程$x^2-4x+1=0$，不解这个方程，利用根与系数的关系，作出一个新的一元二次方程，使新方程的根分别是$x^2-4x+1=0$各根的立方，且方程的二次项系数是$1$．

已知$a,b,c$均为实数，且$a+b+c=0,abc=16$，求正数$c$的最小值．

设实数$a,b,c$满足$a+b+c=0,abc=2$．求$\mu ={\left|a\right|}^3+{\left|b\right|}^3+{\left|c\right|}^3$的最小值．

⑴已知实数$a,b$满足$a^2-15a-5=0,b^2-15b-5=0$，且$a\ne b$，求$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$的值．

⑵已知实数$a,b$分别满足$a^2+2a=2$，$b^2+2b=2$，求$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$的值．

若$ab\ne 1$，且有$5a^2+2001a+9=0$及$9b^2+2001b+5=0$，求$\frac{a}{b}$的值；

已知$2m^2-5m-1=0,\frac{1}{n^2}+\frac{5}{n}-2=0$，且$m\ne n$，求$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$的值．

已知实数$a\ne b$，且满足${(a+1)}^2=3-3(a+1),$$3(b+1)=3-{(b+1)}^2$，则$b\sqrt{\frac{b}{a}}+a\sqrt{\frac{a}{b}}$的值为（）．

$A.23$　　　　　$B.-23$　　　　$C.-2$　　　　$D.-13$

某学生解一道没有实数解的二次方程$a{x}^2+bx+c=0$时，因看错了某一个符号，得到的两根为$\frac{1\pm \sqrt{32185}}{4}$，则$\frac{b+c}{a}=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_$．

已知$\{\begin{array}{c}x+y+z=5\\ xy+yz+zx=3\end{array}$，$x,y,z$均为实数，则$z$的最大值为．

1. 一元二次方程$x^2-3x+1=0$的两根分别是$x_1,$$x_2$，则${x_1}^2{x}_2+x_1{x_2}^2$的值是（）

2. A.$3$ B.$-3$ C.$\frac{1}{3}$ D. $-\frac{1}{3}$

3. 已知方程$x^2-3x-5=0$的两根为$x_1，x_2$，求：

⑴ ${x_1}^2+{x_2}^2$；

⑵ ${x_1}^3+{x_2}^3$．

不解方程，构造一个新的方程，使它的根与方程$3x^2-7x+2=0$的根的关系为：

⑴ 大$3$；

⑵ $2$倍；

⑶ 相反数；

⑷ 倒数．

5. 不解方程$x^2-2x-1=0$，求作一个一元二次方程，使它的根是原方程各根的$2$倍大$1$．

6. 已知$p^2-p-1=0$，$1-q-q^2=0$，且$pq\ne 1$，求$\frac{pq+1}{q}$的值．

设$x_1,x_2$为$x^2-2px-p=0$的两根，$p$为实数

⑴ 求证：$2p{x}_1+{x_2}^2+3p\ge 0$．

⑵ 当$\left|x_1-x_2\right|\le \left|2p-3\right|$时，求$p$的最大值．

已知$a$、$b$、$c$、$d$是非零数，$c$和$d$是$x^2+ax+b=0$的解，$a$和$b$是$x^2+cx+d=0$的解，求$a+b+c+d$的值．