代数4-整式、分式、因式分解 · 第 049 讲

第2讲幂运算

24 道题2 个知识模块答案解析精校中

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知识模块 01 · 原讲小节

幂运算

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

知识讲解定义、性质与方法

幂运算

同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．即 $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$ ．
幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即 $(a^{m})^{n} = a^{m n}$ ．
积的乘方法则：积的乘方，等于把积的每个因式分别乘方再把所得的幂相乘，即 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ ．
同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即 $a^{m} \div a^{n} = a^{m - n}$ （ $a \neq 0$ ）．
零指数幂与负指数幂法则：

⑴任何不等于零的数的零次幂都等于 $1$ ，即 $a^{0} = 1$ （ $a \neq 0$ ）．

⑵任何不等于零的数的负 $n$ （ $n$ 为正整数）次幂，等于这个数的 $n$ 次幂的倒数，即 $a^{- n} = \frac{1}{a^{n}}$ （ $a \neq 0$ ， $n$ 为正整数）．

Tip：无论 $m$ 、 $n$ 为正数还是负数，皆可使用上述运算法则,例如：

① $1 2^{9} \div 1 2^{- 20} = 1 2^{9 - (- 20)} = 1 2^{29}$ ；② ${(a^{- 2})}^{- 3} = 2^{- 2 \times (- 3)} = 2^{6}$ 等等……

题目SH-049-001难度 A · 基础

计算：

⑴ $1 0^{3} \times 1 0^{0} \div 1 0^{2}$ ； ⑵ $2^{22} \times 8^{8} \div 2^{40}$ ；

⑶ ${(\frac{1}{3})}^{0} \div {(- \frac{1}{3})}^{3} \times {(\frac{1}{3})}^{2}$ ； ⑷ ${(\frac{1}{2})}^{2} \times {(\frac{1}{4})}^{4} \div {(- \frac{1}{2})}^{6}$ ．

⑶ ${(\frac{1}{3})}^{0} \div {(- \frac{1}{3})}^{3} \times \frac{1}{9}$ ； ⑷ $0 . 5^{2} \times 0.2 5^{4} \div {(\frac{1}{8})}^{2}$ ．

题目SH-049-002难度 A · 基础

⑴ $- x^{3} \cdot {(- x)}^{2}$ ； ⑵ ${(- a)}^{5} \div a^{- 1} \times a^{0}$ ；

⑶ ${(- a)}^{3} \cdot {(- a)}^{2} \cdot a^{- 3}$ ； ⑷ ${(- a^{2})}^{3} \cdot {(- a^{2})}^{2}$ ．

⑶ $(- a^{2})^{3} \cdot {(- a)}^{2} \cdot {(- a^{2})}^{2}$ ； ⑷ ${(- x)}^{7} \div {(- 2 x)}^{4} \div 2 x^{2}$ ．

题目SH-049-003难度 B · 巩固

化简：⑴ $2^{n} \times 4^{n - 1}$ ； ⑵ $9^{m + 1} \times 2 7^{m - 1}$ ； ⑶ ${(\frac{1}{2})}^{2 n} \times 8^{3 n}$ ．

题目SH-049-004难度 C · 综合

化简：

⑴ $(- 2 x^{- m} y^{n})^{2} \cdot (- 2 x^{- n} y^{m})^{3}$ ； ⑵ $4^{m - n} \cdot 4^{m + n} - (- 2^{m + n} \cdot 2 {}^{m - n})^{2}$ ；

⑶ $[{(2 a)}^{- 2} \cdot {(\frac{1}{2} a)}^{-}^{3}]^{- 4}$ ．

化简：

⑴ $[{(2 a)}^{- 2} \cdot {(\frac{1}{2} a)}^{-}^{3}]^{- 4}$ ； ⑵ ${(- \frac{1}{2} a^{3 - n} b^{m - 1})}^{2} \cdot {(4 a^{3 + n} b^{m + 1})}^{2}$ ；

⑶ ${(- \frac{1}{2} a^{m - 1} b^{n})}^{3} \cdot {(- \frac{4}{3} a^{2 - m} b^{1 - n})}^{2} \cdot (- \frac{1}{2} a b^{n})$ ．

题目SH-049-005难度 D · 提升

化简：

⑴ $(2 a^{2})^{3} \cdot a^{2^{3}} \cdot a - (3 a^{3})^{2} \cdot a^{3^{2}}$ ；

⑵ ${(- 3)}^{3^{2}} \times [{(- 2)}^{3}]^{2} \times {(- \frac{1}{3})}^{2^{3}} \times {(- 0.5)}^{3^{2}}$ ．

题目SH-049-006难度 C · 综合

⑴若 ${(x - y)}^{0} = 1$ 成立，那么 $x$ 与 $y$ 的关系是．

⑵如果 ${(x - 1)}^{x + 4} = 1$ 成立，那么满足它的所有整数 $x$ 的值是．

⑶如果 ${(x - 1)}^{2 x - 2} = 1$ 成立，那么满足它的所有整数 $x$ 的值是．

知识模块 02 · 原讲小节

幂运算公式的逆用

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

知识讲解定义、性质与方法

同底数幂的乘法法则的逆用：即 $a^{m + n} = a^{m} \cdot a^{n}$ ．
幂的乘方法则的逆用：即 $a^{m n} = (a^{m})^{n} = (a^{n})^{m}$ ．
积的乘方法则的逆用：即 $a^{n} b^{n} = {(a b)}^{n}$ ．
同底数幂的除法法则的逆用：即 $a^{m - n} = a^{m} \div a^{n}$ （ $a \neq 0$ ）．
比较两个幂的大小，可以将它们化成底数相同的幂或者指数相同的幂来比较：

⑴化为底数相同：底数相同的正整数幂，当底数大于 $1$ 时，指数大的幂大；当底数大于 $0$ 小于 $1$ 时，指数大的幂反而小．

⑵化为指数相同：指数相同的正整数幂，底数大于 $0$ ，底数大的幂大．

题目SH-049-007难度 C · 综合

⑴计算： ${(\frac{1}{9} \times \frac{1}{8} \times \dots \times \frac{1}{2} \times 1)}^{3} \times {(10 \times 9 \times \dots \times 2 \times 1)}^{3} =$

⑵计算： $0.0 4^{2021} \times [{(- 5)}^{2021}]^{2} =__________$

⑶计算： ${(- 1 \frac{7}{9})}^{13} \times {(\frac{3}{8})}^{13} \times {(- \frac{3}{2})}^{14} =_________$

题目SH-049-008难度 C · 综合

⑴已知 $x^{n} = 5$ ， $y^{n} = 3$ ，求 ${(x^{2} y)}^{2 n}$ 的值．

⑵已知 $2^{a} = 3$ ， $4^{b} = 5$ ， $8^{c} = 7$ ，求 $8^{a + c - 2 b}$ 的值．

⑶已知 $a^{3 m} = 3$ ， $b^{2 n} = 4$ ，求 ${(a^{2 m})}^{3} + {(b^{3})}^{n} - a^{2 m} \cdot b^{n} \cdot a^{4 m} \cdot b^{2 n}$ 的值．

题目SH-049-009难度 C · 综合

比较下列各题中幂的大小．

⑴已知 $a = 8 1^{31}$ ， $b = 2 7^{41}$ ， $c = 9^{61}$ ，比较 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系．

⑵比较 $2^{55}$ ， $3^{44}$ ， $5^{33}$ ， $6^{22}$ 这 $4$ 个数的大小关系．

题目SH-049-010难度 D · 提升

【例题、为】比较下列各题中幂的大小

⑴比较大小： $2^{18} \times 3^{10}$ 与 $2^{10} \times 3^{15}$

⑵已知 $P = \frac{9 9^{9}}{9^{99}}$ ， $Q = \frac{1 1^{9}}{9^{90}}$ ，比较 $P$ 、 $Q$ 的大小关系．

题目SH-049-011难度 D · 提升

已知 $A = \frac{3^{2019} + 1}{3^{2020} + 1}$ ， $B = \frac{3^{2020} + 1}{3^{2021} + 1}$ ，试比较与的大小．

题目SH-049-012

计算：

⑴ $- {(- a)}^{2} \cdot {(- a^{2})}^{3} \cdot (- a^{2}) =$ _____________；

⑵ $8 1^{n + 1} \div 2 7^{n} \div 9^{n - 1} \times 3^{n - 4} =$ ________________．

题目SH-049-013

计算： $x \cdot {(x^{2})}^{2} \cdot x^{3} - (- 2 x^{3}) \cdot {(- x^{2})}^{2} \cdot (- x)$ ．

题目SH-049-014

计算： $- \frac{1}{3} {(x^{2} y)}^{2} \cdot {(- \frac{3}{4} a x^{2})}^{3} \cdot (- \frac{5}{4} a^{2} x^{3} y^{4})$ ．

题目SH-049-015

计算： ${(- 2 \frac{1}{3})}^{- 1} \times {(- \frac{6}{7})}^{- 2} + {(- \frac{2}{3})}^{- 2} \times {(- \frac{1}{3})}^{0}$ ．

题目SH-049-016

计算： $- {(- \frac{a^{2}}{b})}^{2} {(- \frac{b^{2}}{a})}^{3} \div {(\frac{1}{a b})}^{- 4} \cdot \frac{2}{a^{- 3}}$ ．

题目SH-049-017

若 $x^{a} = 2$ ， $2 x^{b} = 5$ ，则 $4 x^{3 a + 2 b} =$ ___________．

题目SH-049-018

已知 $2^{3 n + 2} \div 4^{n + 1} = 8^{3 - n} \times 2^{n + 3}$ ，求正整数 $n$ 的值．

题目SH-049-019

计算：⑴ $2^{3} \div 2^{- 3} \times 2^{0}$ ⑵ $9^{2} \times 3^{2} \div 27$ ⑶ $2 5^{2} \times 125 \div (5^{7} \div 2 5^{0})$
计算：

⑴ $0.2 5^{2000} \times 2^{4002}$ ； ⑵ ${(\frac{2}{3})}^{2003} \times 1 . 5^{2002} \times {(- 1)}^{2004}$ ；

⑶ ${(- a)}^{3} \times a^{2} \times (- a)$ ； ⑷ $x^{3} \cdot {(- x)}^{4} \cdot x^{0}$ ；

⑸ $(- 2 a^{2}) {}^{3}\cdot {(- a)}^{3} \div (a^{3})^{- 2}$ ．

题目SH-049-020

⑴已知 $2^{m} = 3$ ， $2^{n} = 4$ ，求 $2^{3 m - 2 n}$ 的值．

⑵已知 $1 0^{m} = 5, 1 0^{n} = 6,$ 求 $1 0^{2 m + 3 n}$ 的值．

⑶已知： $1 0^{m - 1} = 3, 1 0^{n + 1} = 5$ ，求 $1 0^{2 m + n}$ 的值．

题目SH-049-021

⑴ $3 \cdot 9^{m} \cdot 2 7^{m} \cdot 8 1^{m} = 3^{19}$ ，求 $m$ 的值．

⑵已知 $x^{3 n} = 2$ ，求 $x^{6 n} + x^{4 n} \cdot x^{5 n}$ 的值．

⑶若 $2 x + 3 y - 4 = 0$ ，求 $9^{x} \cdot 2 7^{y}$ 的值．

⑴如果 $2 \cdot 8^{n} \cdot 1 6^{n} = 2^{36}$ ，求 $n$ 的值．

⑵已知： $3^{2 m + 2} - 3^{2 m} = 648$ ，求 $m$ 的值．

⑶设 $n$ 为正整数，且 $x^{2 n} = 9$ ，求：① $x^{n}$ ；② ${(x^{2})}^{2 n}$ ．

⑴如果 $2 \cdot 8^{n} \cdot 1 6^{n} = 2^{36}$ ，求 $n$ 的值．

⑵已知： $9^{m + 1} - 3^{2 m} = 648$ ，求 $m$ 的值．

⑶设 $n$ 为正整数，且 $x^{2 n} = 9$ ，求 $(3 x^{n})^{3} - 4 (x^{2})^{2 n}$ ．

⑴比较大小： $3^{51}$ 与 $5^{34}$ ．

⑵比较大小： $2^{30}, 3^{24}, 4^{18}$

题目SH-049-022

计算：

⑴ ${(- 1 \frac{7}{9})}^{2022} \times {(\frac{3}{8})}^{2021} \times {(- \frac{3}{2})}^{2020}$ ； ⑵ ${(- 5)}^{3^{2}} \times [{(- 4)}^{3}]^{2} \times {(- \frac{1}{5})}^{2^{3}} \times {(- 0.5)}^{3^{2}}$ ．

题目SH-049-023

⑴若 $3 \cdot 9^{m} \cdot 2 7^{m} \cdot 8 1^{m} = 3^{28}$ ，求 $m$ 的值．

⑵已知 $x^{3 a} = 3, y^{3 b} = 2,$ 求 $(x^{2 a})^{3} + (y^{b})^{3} - x^{2 a} \cdot y^{b} \cdot x^{4 a} \cdot y^{2 b}$ 的值．

题目SH-049-024

已知 $x 、 y 、 n$ 均为正整数，且 $n$ 不大于 $6$ ，若 $a^{x + 1} \cdot b^{x + 2 y} = a^{3} \cdot b^{n}$ 恒成立，那么 $x + 2 y + n$ 的值是__________．
如果整数 $x, y, z$ 满足 ${(\frac{15}{8})}^{x} \cdot {(\frac{16}{9})}^{y} \cdot {(\frac{27}{10})}^{z} = 16$ ，求代数式 $\frac{2 x + y}{z - y}$ 的值．