第3讲 相似三角形（一）

相似三角形（一）

相似三角形的认识与性质

相似三角形的认识

定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似

对应相等的角的顶点是这两个相似三角形的对应顶点，以对应顶点为端点的边是这两个相似三角形的对应边．

两个三角形是相似三角形，也可以表述为“两个三角形相似”，或“一个三角形与另一个三角形相似” ．

在$\Delta ABC$和$\Delta A\text{'}B\text{'}C\text{'}$中，$\angle A=\angle A\text{'}$，$\angle B=\angle B\text{'}$，$\angle C=\angle C\text{'}$且$\frac{AB}{A\text{'}B\text{'}}=\frac{BC}{B\text{'}C\text{'}}=\frac{AC}{A\text{'}C\text{'}}$，

那么$△ABC$与$△A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$相似，记作$△ABC\backsim △A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$，符号$\backsim$读作“相似于”．

（通常把对应顶点的字母分别写在三角形记号“$△$”后相应的位置上）

三角形相似的传递性：

如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似．

相似三角形的判定

相似三角形的预备定理：

平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似（用定义判定两三角形相似需验证六个条件；常见图，如下：）

常见题模型如下：

【注】以上两个模型很容易从直观角度直接找到相似的三角形，对于下面四种模型需要做辅助线时，一般在题中会找到有利的已知条件有：线段中点，中线，线段间的倍、分关系，以及角平分线等．

⑴点$D$在$△ABC$的边$AB$上 ，且$\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$，则$△ABC\backsim △ACD$，理由是．若点$E$在边$AC$上 ，且$A{B}^2=AE·AC$，则$△ABE\backsim △ACB$，理由是．

⑵如图，已知点$D$、$E$分别在$△ABC$的两边$AB$、$AC$上，若$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$，则与$\angle ADE$一定相等的角是；若$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$，则与$\angle ADE$一定相等的角是．

⑴如图，在$△ABC$中，$AB=AC$，$D$是$BC$上的一点，$DE$交$AC$于$E$，使$\angle ADE=\angle B$，则图中的相似三角形有．

⑵如图，已知$AC\perp BE$，垂足为$C$，$ED\perp AB$，垂足为$D$，$AC、DE$相交于$F$，则图中共有相似三角形（）

$A$．$\text{3}$对 $B$．$\text{4}$对 $C$．$\text{5}$对 $D$．$\text{6}$对

⑴如图，在$△ABC$中，$AE=AC$，$AH\perp CE$于$K$，$BH\perp AH$于$H$，$AH$与$BC$交于$D$，求证：$△ABH\backsim △ACK$．

⑵已知$Rt△ABC$和$Rt△A_1{B}_1{C}_1$中，$\angle ABC=\angle A_1{B}_1{C}_1=90°$,$BD、B_1{D}_1$分别是$AC 、A_1{C}_1$边上的高，且$\frac{BC}{BD}=\frac{B_1{C}_1}{B_1{D}_1}$.求证：$△ABC\backsim △A_1{B}_1{C}_1$．

⑶如图，已知在$△ABC$中，$\angle ABC$为锐角且等于$\angle C$的$2$倍，$D$为$BC$边上任意一点，在$AB$的延长线上取一点$E$，使$BE=BD$，直线$ED$与$AC$交于$F$．求证：$△AEF\backsim △ACB$．

求证：$△ADE\backsim △BEF\backsim △EDF$．

⑴如图，在$Rt△ABC$中，$CD$是斜边上的高，已知$CD:DB=3:5$，$△ACD$的

面积为$18$，则$△ABC$面积为．

⑵如图，$△ABC$中，$DE//FG//BC$，$AD:DF:FB=1:1:1$，则$S_{\Delta ADE}:S_{四边形DEGF}:S_{四边形FGCB}=$ ．

⑴已知$AB=14$，$AD=28$，$BD=21$，$BC=42$，$DC=31.5$，其中$AB$与$CD$平行吗？说明理由．

⑵如图，平行四边形中，$AC=\sqrt{2}AB$，求证：$\angle ABD=\angle DAC$．

且$BD=CE$，直线$CD$与$AE$相交于点$F$． 求证：$A{D}^2=DC·DF$．

求证：⑴$△ADC\backsim △EDA$；⑵$\frac{A{E}^2}{A{D}^2}=\frac{EB}{CD}$．

已知菱形$ABCD$中，点$G$是对角线$BD$上一点，$CG$交$BA$的延长线于点$F$．

⑴求证：$A{G}^2=GE\cdot GF$；⑵如果$DG=\frac{1}{2}GB$且$AG\perp BF$，求$\angle F$度数．

⑵如图，$\Delta ABC$中，$AB\perp BC$,$DE\perp AC$于$E$，则$\Delta ABC\backsim \Delta DEC$，理由是．

A.$△CEF$ B.$△ADE$ C.$△ACE$ D.$△ACF$

⑵如图，在$\Delta ABC$中，$\angle C=90°$，$D$是$AC$上一点，$DE\perp AB$，垂足为$E$．若$AC=8$，$BC=6$，$DE=3$，则$AD$的长为（）

A.$3$ B.$4$ C.$5$ D.$6$

⑴求证：$EF\parallel CD$．

⑵若$AB=a$，$CD=b$，求$EF$的长．