第2讲二次根式四则运算

知识模块 01 · 原讲小节

二次根式四则运算

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

知识讲解定义、性质与方法

分数指数幂

定义：把幂中指数的范围扩大到分数，规定： $\sqrt[n]{a^{m}} = a^{\frac{m}{n}} (a \geq 0)$ ， $\frac{1}{\sqrt[n]{a^{m}}} = a^{- \frac{m}{n}} (a > 0)$ ，其中 $m$ 、 $n$ 为正整数， $n > 1$ ．称 $a^{\frac{m}{n}}$ 和 $a^{- \frac{m}{n}}$ 为分数指数幂， $a$ 为底数．

【注意】整数指数幂和分数指数幂统称为有理数指数幂．

知识模块 02 · 原讲小节

有理数指数幂运算性质

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知识讲解定义、性质与方法

设 $a > 0, b > 0, p 、 q$ 为有理数，那么

① $a^{p} \cdot a^{q} = a^{p + q}, a^{p} \div a^{q} = a^{p - q}$

② $(a^{p})^{q} = a^{p q}$

③ ${(a b)}^{p} = a^{p} b^{p}, {(\frac{a}{b})}^{p} = \frac{a^{p}}{b^{p}}$

题目SH-058-001难度 B · 巩固

把下列方根转化为幂的形式，幂的形式转化为方根形式.

$(1) \sqrt[3]{43} (2) - \sqrt[4]{3} (3) \frac{1}{\sqrt[5]{1 5^{4}}} (4) \sqrt[6]{81} (5) \sqrt[5]{- 7} (6) 3^{- \frac{2}{3}} (7) {(\frac{1}{5})}^{\frac{4}{3}}$

题目SH-058-002难度 B · 巩固

利用幂的运算性质运算：

$(1) {(\frac{8}{27})}^{\frac{1}{3}} (2) 1 0^{\frac{2}{3}} \times 1 0^{\frac{1}{3}} (3) 2^{\frac{1}{2}} \times 8^{\frac{1}{2}} (4) a^{\frac{1}{2}} \div a^{\frac{1}{3}} \cdot a^{\frac{1}{6}} (5) (2^{\frac{2}{5}} \times 5^{\frac{1}{5}})^{10}$

题目SH-058-003难度 C · 综合

利用幂的运算性质运算：

$(1) \sqrt{5} \times \sqrt[3]{5} (2) \sqrt[4]{8} \times \sqrt{2} (3) \sqrt{12} \div \sqrt[3]{3}$

二次根式

二次根式：

二次根式的概念：代数式 $\sqrt{a}$ （ $a \geq 0$ ）叫做二次根式．仍然读作“根号 $a$ ”，其中 $a$ 是被开方数.
最简二次根式：

被开方数的因数是整数，因式是整式（被开方数不能存在小数、分数形式）
被开方数中不含能开得尽方的因数或因式（被开方数中各因数的指数都为 $1$ ）
分母中不含二次根式

二次根式的计算结果要写成最简二次根式的形式．

同类二次根式：

几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式．

二次根式的四则运算：

二次根式的加减运算：合并同类二次根式， $a \sqrt{x} \pm b \sqrt{x} = (a \pm b) \sqrt{x}$ .
二次根式的乘法法则： $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a b}$ （ $a \geq 0$ ， $b \geq 0$ ）
二次根式的除法法则： $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$ （ $a \geq 0$ ， $b > 0$ ）
利用这两个法则时注意 $a$ ， $b$ 的取值范围，对于 $\sqrt{a b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ ， $a$ ， $b$ 都非负，否则不成立.

分母有理化：

把分母中的根号化去，叫做分母有理化.
分母有理化的方法，一般是把分子和分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号.
互为有理化因式：

两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们说这两个代数式互为有理化因式．如 $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ 与 $\sqrt{a} - \sqrt{b}$ 互为有理化因式.

题目SH-058-004难度 B · 巩固

当 $x$ 取何值时，下列代数式有意义？

⑴ $\sqrt{x - 1}$ ⑵ $\sqrt{x^{2} + 2 x + 2}$ ⑶ $\sqrt{x + 1} + \sqrt{1 - 2 x}$ ⑷ $\sqrt{\frac{x - 1}{x + 1}}$ ⑸ $\frac{\sqrt{9 - x^{2}} + \sqrt[3]{4 - 3 x}}{\sqrt{x - 1} - 1}$

题目SH-058-005难度 B · 巩固

⑴已知最简二次根式 $3 \sqrt{2 a + 1}$ 与 $\sqrt{5 - 2 a}$ 是同类二次根式，则 $a =$ .

⑵已知 $a, b$ 为整数，且二次根式 $\sqrt[2 b + a - 1]{8 b}$ （ $\sqrt{2 b}$ 是最简二次根式）和最简二次根式 $\sqrt{a + 3 b}$ 是同类二次根式，则 $a^{b} =$ .

⑶已知 $x$ 是正整数，且 $\sqrt{20}$ 和 $\sqrt{2019 - x}$ 是同类二次根式，则 $x$ 的取值有个.

题目SH-058-006难度 B · 巩固

计算：

⑴ $\sqrt{1 \frac{2}{3}} \div \sqrt{2 \frac{1}{3}} \times \sqrt{1 \frac{2}{5}}$ ⑵ $- \sqrt{3} \div 2 \sqrt{\frac{1}{3}} \times \sqrt{\frac{6}{5}} \div 6 \sqrt{8}$

⑶ $\sqrt{48} - \sqrt{\frac{1}{27}} - 2 \sqrt{\frac{1}{8}} + \sqrt{75}$ ⑷ $(3 \sqrt{12} - 2 \sqrt{\frac{1}{3}} + \sqrt{48}) \div (2 \sqrt{3})$

题目SH-058-007难度 C · 综合

使用乘法公式计算：

⑴ $(\sqrt{6} + \sqrt{2}) (\sqrt{3} - 1)$ ⑵ $(- 2 \sqrt{3} + \sqrt{7}) (2 \sqrt{3} - \sqrt{7})$

⑶ $(\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{6}) (\sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{6})$ ⑷ ${(\sqrt{10} + \sqrt{2} - \sqrt{5})}^{2} - {(\sqrt{10} - \sqrt{2} + \sqrt{5})}^{2}$

题目SH-058-008难度 C · 综合

计算：

⑴ $\frac{\sqrt{2}}{3 - \sqrt{3}}$ ⑵ $\frac{4}{3 \sqrt{2} - 2 \sqrt{5}}$

⑶ $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{\sqrt{2} - \sqrt{3}}$ ⑷ $\frac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{5}} - \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{7}} - \frac{1}{\sqrt{7} - 3}$

题目SH-058-009

计算： $\sqrt{1 + \frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{2^{2}}} + \sqrt{1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}}} + \sqrt{1 + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}}} + \dots + \sqrt{1 + \frac{1}{201 8^{2}} + \frac{1}{201 9^{2}}}$

题目SH-058-010

计算： $\sqrt[3]{2 \sqrt{2}} - {(\sqrt{5} + \sqrt{3})}^{\frac{1}{2}} \times {(\sqrt{5} - \sqrt{3})}^{\frac{1}{2}} - 1 6^{0.75} + {(\sqrt{27})}^{- \frac{2}{3}}$

题目SH-058-011

若根式 $\sqrt{x - 1} + \frac{{(x - 2)}^{0}}{\sqrt{5 - x}}$ 有意义，则 $x$ 的取值范围是．

题目SH-058-012

下列结论中正确的是 $($ 　　 $)$

A． $\sqrt{a + b}$ 是 $\sqrt{a - b}$ 的有理化因式

B． $\sqrt{4 x^{2} - 6 x y + 9 y^{2}}$ 不是最简二次根式

C． $3 - 2 \sqrt{3}$ 的绝对值是 $3 - 2 \sqrt{3}$

D． $3 + 2 \sqrt{2}$ 的倒数是 $3 - 2 \sqrt{2}$

题目SH-058-013

下列二次根式是最简二次根式的是 $($ 　　 $)$

A． $\sqrt{0.1}$ B． $- \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ C． $\sqrt{4 a^{2} + 4 a + 1}$ D． $\sqrt{3 \frac{1}{5}}$

题目SH-058-014

计算： $\sqrt{1 \frac{3}{5}} \times \sqrt{\frac{5}{6}} - 2 \sqrt{4.5} \div \frac{3}{2} \sqrt{\frac{3}{2}}$ ．

题目SH-058-015

⑴把 $\frac{1}{\sqrt[3]{15}}$ 写成幂的形式.⑵把 $6^{- \frac{3}{2}}$ 写成方根的形式.
计算： $- 8 1^{\frac{3}{4}} \div | - 2 | + {(\frac{4}{49})}^{- \frac{1}{2}} - {(- 2 - \sqrt{3})}^{0}$
$x$ 取何值时，下列各式有意义：

⑴ $\sqrt{- x^{2}}$ ⑵ $\frac{1}{\sqrt{2 - x}}$ ⑶ $\frac{\sqrt{x - 2}}{x - 3}$

⑷ $\sqrt{2 x + 1} + \sqrt{3 - x}$ ⑸ $\frac{1}{1 - \sqrt{x}}$ ⑹ $\sqrt{| x |}$

题目SH-058-016

⑴下列二次根式中，与 $\sqrt{5}$ 是同类二次根式的是（）

题目SH-058-017

A. $\sqrt{15}$ B. $\sqrt{25}$ C. $\sqrt{35}$ D. $\sqrt{45}$

⑵如果最简二次根式 $\sqrt{3 a - 8}$ 和 $3 \sqrt{17 - 2 a}$ 是同类二次根式，那么使 $\sqrt{4 a - 2 x}$ 有意义的 $x$ 的取值范围是________．

计算：

⑴ $18 \div \sqrt{\frac{3}{4}} \times \sqrt{\frac{4}{3}}$

⑵ $\sqrt{45} \div 3 \sqrt{\frac{1}{5}} \times \frac{3}{2} \sqrt{2 \frac{2}{3}}$

⑶ $3 \sqrt{5} - 2 \sqrt{20} - \sqrt{75}$

⑷ $\sqrt{18} - 4 \sqrt{\frac{1}{2}} + \sqrt{24} \div \sqrt{3}$

计算：

⑴ $\frac{1}{\sqrt{2} - 1}$

⑵ $\frac{2}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} + \frac{2}{\sqrt{7} + \sqrt{5}}$

⑶ $\frac{3 \sqrt{5} - 2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{5} + 2 \sqrt{3}}$

题目SH-058-018

$\sqrt{- a^{2}}$ 中字母 $a$ 的取值范围是__________， $\sqrt{- a^{2} (a + 1)}$ 中字母 $a$ 的取值范围是__________．
计算：

⑴ $\sqrt{15} \times \frac{3}{5} \sqrt{20} \div (- \frac{1}{3} \sqrt{6}) - \frac{5}{\sqrt{7} - \sqrt{2}}$

⑵ ${(\sqrt{2} - \sqrt{6})}^{2} - \frac{2 \sqrt{18} - 4 \sqrt{6}}{\sqrt{8}} + \sqrt{5} - \sqrt{5} \div (\sqrt{15} + \sqrt{5})$

题目SH-058-019

计算：

⑴ $\frac{2 \sqrt{2} - \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3} + 2 \sqrt{2}}{3}$

⑵ ${(\sqrt{3} - \sqrt{2})}^{2} (5 + 2 \sqrt{6}) - {(5 - 2 \sqrt{6})}^{0}$

⑶ $\frac{1}{\sqrt{8}} + \frac{\sqrt{2} - \sqrt{3}}{\sqrt{6} - 3} + \frac{1}{\sqrt{3} + 2}$

⑷ $(\sqrt{5} + \sqrt{2} - \sqrt{3}) (\sqrt{5} - \sqrt{2} + \sqrt{3})$

题目SH-058-020

如果 $m^{2} = 36$ ， $n^{3} = - 64$ ， $\sqrt{x^{2}} = 5$ ，则 $m + n - x$ 的值有（）个．

A. $2$ 个B. $3$ 个C. $4$ 个D. $5$ 个

题目SH-058-021

已知 $a + 1 = 200 0^{2} + 200 1^{2}$ ，计算 $\sqrt{2 a + 1} =$ __________．