第5讲 一元二次方程的应用

1. 若$\Delta \ge 0$，方程的两实数解可解得为$x_1$、$x_2$，则$x^2+px+q=\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)$；

2. 若$\Delta <0$，方程$x^2+px+q=0$无实数解，则$x^2+px+q$在实数范围内不能因式分解．

形如$a{x}^2+bx+c(a\ne 0)$：可令$a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0)$

1. 若$\Delta \ge 0$，方程的两实数解可解得为$x_1$、$x_2$，则$a{x}^2+bx+c=a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)$；

2. 若$\Delta <0$，方程$a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0)$无实数解，则$a{x}^2+bx+c$在实数范围内不能因式分解．

形如$a{x}^2+bxy+c{y}^2(a\ne 0)$：

可令 $a{x}^2+bxy+c{y}^2=0(a\ne 0)$（此处可以将$x$看成未知数，将$y$作为一个参数）

对于关于$x$的方程$a{x}^2+bxy+c{y}^2=0(a\ne 0)$

1. 若$\Delta \ge 0$，方程的两实数解可解得为$x_1$、$x_2$，则$a{x}^2+bxy+c{y}^2=a(x-x_1)(x-x_2)$；

2. 若$\Delta <0$，方程$a{x}^2+bxy+c{y}^2=0(a\ne 0)$无实数解，则$a{x}^2+bxy+c{y}^2(a\ne 0)$在实数范围内不能因式分解．

【补充】如果一个整式是另一个整式的平方，那么这个整式叫做完全平方式．

想一想：关于$x$的二次三项式$a{x}^2+bx+c\left(a>0\right)$，在什么情况下是完全平方式？

若关于$x$一元二次方程$a{x}^2+bx+c=0$有实数根$x_1$、$x_2$，则关于$x$的二次三项式

$a{x}^2+bx+c\left(a\ne 0\right)$可分解为$a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)$．因此，当$x_1=x_2$，$a{x}^2+bx+c\left(a\ne 0\right)$可分解为

$a{\left(x-x_1\right)}^2$的形式．

所以当关于$x$的一元二次方程$a{x}^2+bx+c=0$的判别式的值为零时，关于$x$的二次三项式$a{x}^2+bx+c\left(a>0\right)$是完全平方式．

在实数范围内分解因式：

⑴ $x^2-5x+6$； ⑵ $x^2-19$；

⑶ $x^4-81$； ⑷ $a^2+6a+4$；

⑸ $x^2-\frac{3}{2}x-2$； ⑹ $4x^4+x^2-3$．

在实数范围内分解因式：

⑴$-2x^2+2xy+y^2$； ⑵$4x^4+x^2{y}^2-3y^4$；

在实数范围内分解因式：

⑴$a^2+6ab+4b^2$； ⑵$-y^{2}x-4x^{2}y+2x^3$；

⑴二次三项式$9x^2-\left(m+6\right)x+m-2$是完全平方式，求$m$．

⑵求证：若$\left(x+a\right)\left(x+b\right)+\left(x+b\right)\left(x+c\right)+\left(x+c\right)\left(x+a\right)$是关于$x$的完全平方式，则$a=b=c$．

实际问题

1. 检验所求未知数的值是否满足方程；

2. 检验求出的未知数的值是否满足实际问题的要求．

增长率问题

问题$1$

某型号空调去年每台售价为$a$元．今年夏天由于铜涨价，空调普遍涨价，增长率为$x$，那么现在售价多少元？

现在售价应为$a+ax=a\left(1+x\right)$元．

问题$2$

如果明年也因为铜的原因，空调继续以相同的增长率涨价，那么明年该空调售价应为多少元？

明年售价应为$a\left(1+x\right)+a\left(1+x\right)x=a{\left(1+x\right)}^2$元．

问题$3$

如果每年增长率都为$x$，那么$n$年后售价为多少元？$a{\left(1+x\right)}^n$元．

⑴某小区$2010$年屋顶绿化面积为$2000$平方米，计划$2012$年屋顶绿化面积要达到$2880$平方米，如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是．

⑵某商品的原价为$100$元，如果经过两次降价，且每次降价的百分率都是$m$，那么该商品现在的价格是元．

某企业研制的产品今年第一季度的销售数量为300件，第二季度由于市场等因素，销售数量比第一季度减少了4%，从第三季度起，该企业搞了一系列的促销活动，销售数量又有所提升，第四季度的销售量达到了450件，假设第三季度与第四季度销售数量的增长率相同，求这个增长率．

已知关于$x$的一元二次方程$x^2+bx+4b=0$有两个相等的实数根，$y_1,y_2$是关于$y$的一元二次方程$y^2+(2-b)y+4=0$的两个实数根，求作以$\sqrt{y_1},\sqrt{y_2}$为根的一元二次方程．

已知$2x_0$、$3x_0$（$x_0\ne 0$）是关于$x$的方程$2x^2-5mx+3n=0$的两根，方程$x^2-2nx+8m=0$的两根相等．

证明：不论$k$取何值，方程$m{x}^2+\left(n+k-1\right)x+k+1=0$总有实数根．

设$x$为实数，$x\ne \frac{7}{3}$，试求$\frac{x^2-2x+21}{6x-14}$的取值范围．

$m$为何值时多项式$x^2-(2m+2)x+m^2+5$是一个完全平方式．

∵$x^2-(2m+2)x+m^2+5$是一个完全平方式

∴$x^2-(2m+2)x+m^2+5=0$的判别式$\Delta =0$

即$\Delta ={(2m+2)}^2-4\times 1\times (m^2+5)=0$

解得$m=2$

故当$m=2$时，多项式$x^2-(2m+2)x+m^2+5$是一个完全平方式．

将下列式子因式分解：

⑴ $x^2-5$；⑵ $a^2+4a+1$； 　　

⑶ $2d^2+12d-3$； ⑷ $x^{2}y-3y$；

⑸ $2a^2-5ab+b^2$；　　　　　 ⑹$2x^2+9xy+3y^2$．

2. 某药品经过两次降价，从原来每盒零售价$80$元降为$57.8$元，这两次平均降价百分率是多少？

3. 雅安地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动．第一天收到捐款$10000$元，第三天收到捐款$12100$元．

⑴ 如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；

⑵ 按照⑴中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？

已知关于$x$的一元二次方程$x^2+(m+3)x+m+1=0$．

⑴ 求证：无论$m$取何值，原方程总有两个不相等的实数根；

⑵ 若$x_1$、$x_2$是原方程的两个根且$\left|x_1-x_2\right|=2\sqrt{2}$，求$m$的值和此时原方程的根．

已知实数$a,b,c$满足：$a+b+c=2$，$abc=4$．

⑴ 求$a,b,c$中的最大者的最小值；

⑵ 求$\left|a\right|+\left|b\right|+\left|c\right|$的最小值．

⑴求自然数$n$，使$2^8+2^{11}+2^n$是完全平方数．

⑵已知实数$a,b,c$满足$\sqrt{3}b-3a=c$．求证$b^2\ge 4ac$．

已知实数$a,b,c$，证明：${(a-b)}^2\ge (c-2a)(2b-c)$．