第10讲四边形中的动点问题（一）（平行四边形、矩形）

知识模块 01 · 原讲小节

四边形中的动点问题（一）（平行四边形、矩形）

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

知识讲解定义、性质与方法

四边形中的

动点问题（一）

平行四边形的存在性问题

平行四边形的存在性问题一般分为两种类型

三个定点一个动点（三定一动）
两个定点两个动点（两定两动）（其中一个动点一般在某条直线或曲线上）

常见分析思路和解题技巧

三定一动

如图 $1$ ，点 $A (x_{1} ， y_{1})$ 、 $B (x_{2} ， y_{2})$ 、 $C (x_{3} ， y_{3})$ 是坐标平面内不在同一直线上的三点.平面直角坐标系中是否存在点 $D$ ，使得以 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 四点为顶点的四边形为平行四边形，如果存在，请求出点 $D$ 的坐标.

图 $1$ 图 $2$

作图技巧

如图 $2$ ，过点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 分别作 $B C$ 、 $A C$ 、 $A B$ 的平行线，则以不在同一直线上的三点为顶点的平行四边形有三个，确定的 $D$ 有三种情况： ${\begin{matrix} 以 B C 为对角线： D_{1} \\ 以 A C 为对角线： D_{2} \\ 以 A B 为对角线： D_{3} \end{matrix}$

题目SH-074-001

计算技巧：

几何法：由已知的三点，根据图形平移的坐标性质，直接写出第四个顶点的坐标．

代数法：利用中点坐标公式．

两定两动

如果已知两个定点，一般是把确定的一条线段按照边或对角线分为两种情况．

题目SH-074-002

解平行四边形的存在性问题一般分三步：

题目SH-074-003

寻找分类标准：以谁为对角线
画图；
计算．

题型一：三定一动

题目SH-074-004难度 B · 巩固

在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $A (4, 0)$ 、 $B (- 1, 2)$ 、 $C (2, 3)$ ，如果四边形 $A B C D$ 是平行四边形，那么点 $D$ 的坐标是．

题目SH-074-005难度 B · 巩固

如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $y = - \frac{2 \sqrt{3}}{3} x + 4$ 交 $y$ 轴于点 $A$ ，交 $x$ 轴于点 $B$ ，以线段 $A B$ 为边作菱形 $A B C D$ （点 $C$ 、 $D$ 在第一象限），且点 $D$ 的纵坐标为 $9$ ．

⑴求点 $A$ 、点 $B$ 的坐标；

⑵求直线 $D C$ 的解析式；

⑶除点 $C$ 外，在平面直角坐标系 $x O y$ 中是否还存在点 $P$ ，使点 $A$ 、 $B$ 、 $D$ 、 $P$ 组成的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

题型二：二定二动

题目SH-074-006难度 B · 巩固

如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点 $A$ 、 $B$ ，点 $A$ 的坐标为 $(2, 3)$ ，点 $B$ 的横坐标为 $6$ ．

⑴求反比例函数与一次函数的解析式

⑵如果点 $C$ 、 $D$ 分别在 $x$ 轴、 $y$ 轴上，四边形 $A B C D$ 是平行四边形，求直线 $C D$ 的表达式．

题目SH-074-007难度 B · 巩固

如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $y = k x + b$ 经过点 $A (- 4, 0)$ ， $B (0, 3)$

⑴求直线 $A B$ 的函数表达式；

⑵点 $C$ 在直线 $A B$ 上，点 $D$ 与点 $C$ 关于 $y$ 轴对称，如果以 $O$ 、 $A$ 、 $C$ 、 $D$ 为顶点的四边形是平行四边形，求点 $C$ 的坐标．

矩形存在性问题

矩形的存在性问题，可以先利用直角三角形存在性（两垂一圆或勾股定理）确定第三个点，再利用平行四边形的性质（比如利用中点公式）算出第四个点．

涉及到的函数知识点：

中点公式：若在平面直角坐标系中， $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ ，

则线段 $A B$ 的中点 $O$ 的坐标为 $O (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}, \frac{y_{1} + y_{2}}{2})$

两直线平行：在坐标系中，直线 $l_{1}$ ： $y_{1} = k_{1} x + b_{1}$ ，直线 $l_{2}$ ： $y_{2} = k_{2} x + b_{2}$ ，若 $l_{1} / / l_{2}$ ，则 $k_{1} = k_{2}$ 且 $b_{1} \neq b_{2}$
两直线垂直：在坐标系中，直线 $l_{1}$ ： $y_{1} = k_{1} x + b_{1}$ ，直线 $l_{2}$ ： $y_{2} = k_{2} x + b_{2}$ ，若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则 $k_{1} \cdot k_{2} = - 1$ 【拓】
两点间距离公式：已知点 $A (x_{1}, y_{1})$ ，点 $B (x_{2}, y_{2})$ ，则 $A B = \sqrt{{(x_{1} - x_{2})}^{2} + {(y_{1} - y_{2})}^{2}}$

题目SH-074-008难度 C · 综合

如图，平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知直线 $l$ 与直线 $y = 2 x$ 平行，且直线 $l$ 与 $x$ 、 $y$ 轴分别交于点 $A (- 1, 0)$ 、点 $B$ ，点 $C (1, a)$ 在直线 $l$ 上．

⑴求直线 $l$ 的表达式以及点 $C$ 的坐标；

⑵点 $P$ 在 $y$ 轴正半轴上，点 $Q$ 是坐标平面内一点，如果四边形 $P A Q C$ 为矩形，求点 $P$ 、 $Q$ 的坐标．

题目SH-074-009难度 C · 综合

如图，平面直角坐标系中（点 $O$ 为原点），已知点 $C (0, - 3)$ ，点 $D (0, 1)$ ．

$P$ 为平面内一点， $Q$ 是直线 $y = - 2 x$ 上一动点，若以 $D$ 、 $C$ 、 $P$ 、 $Q$ 为顶点的四边形是一个矩形，求点 $P$ ．

题目SH-074-010难度 D · 提升

如图，在平面直角坐标系中，已知 $R t △ A O B$ 的两直角边 $O A$ ， $O B$ 分别在 $x$ 轴

的负半轴和 $y$ 轴的正半轴上，且 $O A$ 、 $O B$ 的长度满足 $| O A - 8 | + {(O B - 6)}^{2} = 0$ ， $∠ A B O$ 的平分线交 $x$ 轴于点 $C$ ,过点 $C$ 作 $A B$ 的垂线，垂足为点 $D$ ，交 $y$ 轴于点 $E$ .

⑴求线段 $A B$ 的长；

⑵求直线 $C E$ 的解析式；

⑶若 $M$ 是射线 $B C$ 上的一个动点，在坐标平面内是否存在点 $P$ ，使以 $A$ 、 $B$ 、 $M$ 、 $P$ 为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

题目SH-074-011

如图，直线 $y = - 2 x + 10$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ，又 $B$ 是该直线上一点，满足 $O B = O A$ ，

⑴求点 $B$ 的坐标；

⑵若 $C$ 是直线上另外一点，满足 $A B = B C$ ，且四边形 $O B C D$ 是平行四边形，求出点 $D$ 的坐标．

题目SH-074-012

在平面直角坐标系中，点 $A (1, 0)$ ， $B (4, 0)$ ，点 $C$ 在 $y$ 轴的正半轴上，且 $O B = 2 O C$ ．

⑴求直线 $B C$ 的解析式．

⑵在直角坐标平面内，确定点 $M$ ，使得以点 $M$ 、 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 为顶点的四边形是平行四边形，请写出点 $M$ 的坐标．

题目SH-074-013

如图，四边形 $O A B C$ 是矩形，点 $A$ 、 $C$ 在坐标轴上， $△ O D E$ 是 $△ O C B$ 绕点 $O$

顺时针旋转 $90 °$ 得到的，点 $D$ 在 $x$ 轴上，直线 $B D$ 交 $y$ 轴于点 $F$ ，交 $O E$ 于点 $H$ ，线段 $B C = 2$ ， $O C = 4$ ．

⑴求直线 $B D$ 的解析式；

⑵求 $△ O F H$ 的面积；

⑶点 $M$ 在 $y$ 轴上，平面内是否存在点 $N$ ，使得四边形 $D F N M$ 是矩形？若存在，请直接写出点 $M$ 、点 $N$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

题目SH-074-014

如图，在平面直角坐标系中，函数 $y = 2 x + 12$ 的图像分别交 $x$ 轴、 $y$ 轴于 $A$ 、 $B$ 两点．过点 $A$ 的直线交 $y$ 轴正半轴于点 $C$ ，且点 $C$ 为线段 $O B$ 的中点．

⑴求直线 $A C$ 的表达式；

⑵如果四边形 $A C P B$ 是平行四边形，求点 $P$ 的坐标．

定义 $[p, q]$ 为一次函数 $y = p x + q$ 的特征数．

⑴若特征数为 $[2, k - 2]$ 的一次函数为正比例函数，求 $k$ 的值；

⑵已知直角坐标系中点 $A (1, 3)$ ，点 $B (4, 0)$ ，求图像过 $A$ 、 $B$ 两点的一次函数的特征数；

⑶在⑵的条件下，若原点 $O$ 与 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 构成的四边形为平行四边形，求所有符合条件的点 $C$ 的坐标．（直接写出答案）

题目SH-074-015

如图1，在平面直角坐标系中，点 $A$ 的坐标为 $(- 4, 4)$ ，点 $B$ 的坐标为 $(0, 2)$ ．

⑴求直线 $A B$ 的解析式；

⑵以点 $A$ 为直角顶点作 $∠ C A D = 90 °$ ，射线 $A C$ 交 $x$ 轴的负半轴于点 $C$ ，射线 $A D$ 交 $y$ 轴的负半轴于点 $D$ ．当 $∠ C A D$ 绕着点 $A$ 旋转时， $O C - O D$ 的值是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化，求出它的变化范围；

⑶图2，点 $M (- 4, 0)$ 是 $x$ 轴上的一个点，点 $P$ 是坐标平面内一点．若 $A$ 、 $B$ 、 $M$ 、 $P$ 四点能构成平行四边形，请写出满足条件的所有点 $P$ 的坐标（不要解题过程）．

题目SH-074-016

如图，直线 $l_{1}$ 的解析表达式为： $y = - 3 x + 3$ ，且 $l_{1}$ 与 $x$ 轴交于点 $D$ ，直线 $l_{2}$ 经过点 $A$ ， $B$ ，直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 交于点 $C$ ．

⑴求直线 $l_{2}$ 的解析表达式；

⑵求 $△ A D C$ 的面积；

⑶在直线 $l_{2}$ 上存在异于点 $C$ 的另一点 $P$ ，使得 $△ A D P$ 与 $△ A D C$ 的面积相等，求出点 $P$ 的坐标；

⑷若点 $H$ 为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点 $H$ ，使以 $A$ 、 $D$ 、 $C$ 、 $H$ 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点 $H$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

题目SH-074-017

如图，在平面直角坐标系中，函数 $y = - 2 x + 12$ 的图像分别交 $x$ 轴、 $y$ 轴于 $A$ 、 $B$ 两点，过点 $A$ 的直线交 $y$ 正半轴于点 $M$ ，且点 $M$ 为线段 $O B$ 的中点．

⑴求直线 $A M$ 的函数解析式．

⑵试在直线 $A M$ 上找一点 $P$ ，使得 $S_{△ A B P} = S_{△ A O M}$ ，请直接写出点 $P$ 的坐标．

⑶点 $C$ 在直线 $A M$ 上，在坐标平面内是否存在点 $D$ ，使以 $A$ 、 $O$ 、 $C$ 、 $D$ 为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点 $D$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

题目SH-074-018

已知：如图，平面直角坐标系中有一个等腰梯形 $A B C D$ ，且 $A D ∥ B C$ ， $A B = C D$ ，点 $A$ 在 $y$ 轴正半轴上，点 $B$ 、 $C$ 在 $x$ 轴上（点 $B$ 在点 $C$ 的左侧），点 $D$ 在第一象限， $A D = 3$ ， $B C = 11$ ，梯形的高为 $2$ ，双曲线 $y = \frac{m}{x}$ 经过点 $D$ ，直线 $y = k x + b$ 经过 $A$ 、 $B$ 两点．

⑴求点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 的坐标；

⑵求双曲线 $y = \frac{m}{x}$ 和直线 $y = k x + b$ 的解析式；

⑶点 $M$ 在双曲线上，点 $N$ 在 $y$ 轴上，如果四边形 $A B M N$ 是平行四边形，求点 $N$ 的坐标．

题目SH-074-019

如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $y = x + 1$ 与 $y = - \frac{3}{4} x + 3$ 交于点 $A$ ，与 $x$ 轴分别交于于点 $B$ 、 $C$ ，点 $D$ 是直线 $A C$ 上一动点， $E$ 是直线 $A B$ 上一动点．

若以 $A$ 、 $D$ 、 $O$ 、 $E$ 为顶点的四边形为平行四边形，求 $D$ 的坐标．

题目SH-074-020

如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，双曲线 $y = - \frac{3}{x}$ $(x < 0)$ 和 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图像关于 $y$ 轴对称，直线 $y = \frac{1}{2} x + \frac{5}{2}$ 与两个图像分别交于 $A (a ， 1) 、 B (1 ， b)$ 两点，点 $C$ 为线段 $A B$ 的中点，联结 $O C 、 O B$ ．

⑴求 $a ， b ， k$ 的值及点 $C$ 的坐标；

⑵若在坐标平面上有一点 $D$ ，使得以 $O 、 C 、 B 、 D$ 为顶点的四边形是平行四边形，请求出点 $D$ 的坐标．