第2讲 统计初步

1. 从总体中抽取样本进行调查，据此推断总体的数字特征；

2. 抽样调查省时省力，但数据没有普查那样精确；

3. 对于下列情况需要用抽样调查：①调查对象个数较多，调查不易进行，也不要求要有每个个体的数据；②调查对象带有破坏性和危险性，一般用抽样调查．

⑴从一副没有大小王的扑克牌（共$52$张）中随机抽取一张牌，那么抽得这张牌是黑桃的概率是（）

A. $\frac{\text{1}}{\text{5}\text{2}}$ B. $\frac{1}{13}$ C. $\frac{1}{4}$ D. $\frac{1}{2}$

⑵从一副$52$张的扑克牌（无大、小王）中任意抽取一张，抽到$6$点以下的概率是

⑶去年我市有$83246$名考生参加中考，为了解这些考生的数学成绩，从中抽取了$2000$名考生的数学成绩进行统计分析，现有下列说法：

①这$83246$名学生的数学中考成绩的全体是总体；②每个考生是个体；

③$2000$名考生是总体的一个样本；④ 样本容量是$2000$．

其中说法正确的有（）

A. $4$个B. $3$个C. $2$个D. $1$个

⑴以下问题，不适合用全面调查的是（　 　）

A. 了解全班同学每周体育锻炼的时间 B. 旅客上飞机前的安检

C. 学校招聘教师，对应聘人员的面试 D. 了解全市中小学生每天的零花钱

⑵某课外兴趣小组为了解所在地区老年人的健康状况，分别作了四种不同的抽样调查，你认为抽样比较合理的是（）

A．在公园调查了$1000$名老年人的健康状况

B．在医院调查了$1000$名老年人的健康状况

C．调查了$10$名老年邻居的健康状况

D．利用派出所的户籍网随机调查了该地区$10\mathrm{\%}$的老年人的健康状况

⑴小明调查了本班同学最喜欢的一种球类运动情况，并作出了统计图$1$，从图中你可以看出（）

A．全班总人数

B．喜欢足球运动的人数最多

C．喜欢各种球类运动的具体人数

D．喜欢各种球类运动人数的百分比

请你根据图中提供的信息，解答以下问题：

⑴求该农机公司从丙厂购买农机的台数；

⑵求该农机公司购买的$150$台农机中优等品的台数；

⑶如果购买的这批产品质量能代表各厂的产品质量状况，那么：

①从优等品的角度考虑，哪个工厂的产品质量较好些？为什么？

②甲厂年生产的$360$台产品中的优等品有多少台？

频数分布直方图与频率分布直方图

在频率分布直方图中，一定要注意纵轴表示$\frac{频率}{组距}$.直方图中各小长方形的面积就

是这一小组数据出现的频率，各小长方形的面积之和一定等于$1$．

⑶为了解某地初中三年级男生的身高情况 ，从该地的一所中学选取$60$名学生对其身高（单位：$cm$）进行测量，分组情况如下：

⑸为了解全区$5000$名初中毕业生的体重情况，随机抽测了$400$名学生的体重，频率分布如上右图所示（每小组数据可含最小值，不含最大值），其中从左至右前四个小长方形的高依次为$0.02$、$0.03$、$0.04$、$0.05$，由此可估计全区初中毕业生的体重不小于$60$千克的学生人数约为人．

数据分析与评估

数据的平均水平的度量：

平均数

算术平均数

一般地，如果有$n$个数$x_1,x_2,\dots ,x_n$，那么$\overline{x}=\frac{1}{n}(x_1+x_2+\cdots +x_n)$叫做这$n$个数的算术平均数，$\overline{x}$读作“$x$拔”；

加权平均数

一般地，如果有$n$个数，$x_1$出现了$f_1$次，$\dots$，$x_k$出现了$f_k$次（这里$f_1+f_2+\dots +f_k=n$），那么这$n$个数的平均数可以表示为$\overline{x}=\frac{1}{n}(x_1{f}_1+x_2{f}_2+\dots +x_k{f}_k)$．这样求得的平均数，$\overline{x}$叫做加权平均数，其中$f_1,f_2,\dots ,f_k$叫做权；

截尾平均数

指某一组数据去掉其中最大值和最小值后其余数据的平均数．

中位数

将一组$n$个数据按从大到小（或按从小到大）依次排列，把处在最中间位置的一个数据叫做中位数（中位数是唯一的，只与数据的排列位置有关）；

1. $n$为奇数，取第$\frac{n+1}{2}$个数；

2. $n$为偶数：取第$\frac{n}{2}$和第$\frac{n}{2}+1$个数的平均数．

众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数（一组数据的众数可能不止一个，也可能没有）

平均数、中位数、众数都可以作为一组数据的代表，主要描述一组数据集中趋势

的量．

平均数：

衡量样本平均水平的特征数，从平均数的计算公式可以发现，平均数的大小与样本的每一个数据都有关系，它对样本的信息地反映最充分，最有代表性．

中位数：

衡量样本数据大小居中趋势的一个特征数，它是样本数据从小到大的顺序排列后，位于中间位置的那个数或中间两个数的平均数．

在许多比赛中的评委打分后，为了防止个别评委抬高或压低有关人员的分数，体现“公平、公正”的比赛原则，往往采用了“去掉一个最高分,去掉一个最低分”然后再求平均分的办法，这种方法，就运用了中位数的原理．

众数：

衡量样本集中趋势的一个特征数，它与样本数据的大小和排列顺序无关，只与出现次数最多的数据有关．

特别说明：所有数据出现的次数没有比别的数据多，这种情况下没有众数．

【注意】实际问题中求得的平均数、中位数、众数应带上单位．

数据波动程度：

方差：

设有$n$个数据$x_1,x_2,\dots ,x_n$，各数据与它们的平均数的差的平方分别是$(x_1-\overline{x}){}^2$，$(x_2-\overline{x}){}^2$,$\cdots \cdots$,$(x_n-\overline{x}){}^2$,我们用它们的平均数，即用$\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x}){}^2+(x_2-\overline{x}){}^2+\cdots +(x_n-\overline{x}){}^2]$来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差．

标准差：

方差的算数平方根，也是衡量一组数据波动大小的重要的量$S=\sqrt{\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x}){}^2+(x_2-\overline{x}){}^2+\cdots +(x_n-\overline{x}){}^2]}$

方差（或标准差）的意义

1. 方差（或标准差）广泛衡量一组数据的波动大小（总体方差反映总体的波动程度）．

2. 方差（或标准差）主要应用在平均数相等或接近时．

3. 方差（或标准差）大波动大，方差（或标准差）小波动小．

⑴某老师在试卷分析中说：参加这次考试的$41$位同学中，考$121$分的人数最多，虽然最高的同学获得了满分$150$分，但是十分遗憾最低的同学仍然只得了$56$分，其中分数居第21位的同学获得116分．这说明本次考试分数的中位数是（）

A．21B．103 C．116 D．121

⑵在一次引体向上的测试中，小强等5位同学引体向上的次数分别为：6，8，9，8，9，那么关于这组数据的说法正确的是（）

A．平均数是8.5 B．中位数是8.5 C．众数是8.5 D．众数是8和9

A．1.2与1.3 B．1.4与1.35 C．1.4与1.3 D．1.3与1.3

⑸如果数据$x_1,x_2,x_3,x_4$的中位数为$m$，那么数据$x_1-a,x_2-a,x_3-a,x_4-a$的中

位数是

⑹在学校举办的“中华诗词大赛”中，有11名选手进入决赛，他们的决赛成绩各不相同，其中一名参赛选手想知道自己是否能进入前6名，他需要了解这11名学生成绩的（）

A．中位数 B．平均数 C．众数 D．方差

⑺人数相等的甲、乙两班学生参加了同一次数学测验，班级平均分和方差如下：$\overline{x_{甲}}=80$，${\overline{x}}_2=80$，$S_{甲}^2=240$，$S_{乙}^2=180$ ，则成绩较为整齐的是（）

A. 甲班 B. 乙班 C. 两班一样整齐 D. 无法确定

⑻甲，乙，丙，丁四名跳高运动员赛前几次选拔赛成绩如表所示，根据表中的信息，如果要从中，选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，那么应选．

⑴某小组在体育课的体能测试中的成绩是：$45$分$3$人，$44$分$3$人，$43$分$2$人，$41$分$2$人（$45$分为满分）．这个小组这次体能测试的平均成绩是．

⑵设两组数$a_1,a_2,a_3\cdots \cdots a_n$和$b_1,b_2,b_3\cdots \cdots b_n$的平均数为$\overline{a}$和$\overline{b}$，那么新的一组数$a_1+b_1,a_2+b_2,a_3+b_3,\cdots \cdots a_n+b_n$的平均数是（）

A. $\frac{1}{2}\left(\overline{a}+\overline{b}\right)$ B. $\overline{a}+\overline{b}$ C. $\frac{1}{n}\left(\overline{a}+\overline{b}\right)$ D. 以上都不对

⑶如果一组数据$x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$的平均数是$\overline{x}$，则另一组数据 $x_1,x_2+1,x_3+2,x_4+3,x_5+4$的平均数是（）

A. $\overline{x}$ B. $\overline{x}+2$ C. $\overline{x}+2.5$ D. $\overline{x}+10$

⑷若$x_1,x_2,x_3,\cdots ,x_n$的平均数为$\overline{x}$，则

①$x_1+a,x_2+a,x_3+a,\cdots ,x_n+a$的平均数为；

②$b{x}_1,b{x}_2,b{x}_3,\cdots ,b{x}_n$的平均数为；

③$b{x}_1+a,b{x}_2+a,b{x}_3+a,\cdots ,b{x}_n+a$的平均数为．

⑴一组数据$-2$、$-1$、$0$、$x$、$1$的平均数是$0$，则$x\text{=}$ ，方差$S^2=$ ．

⑵已知样本数据$101,98,102,100,99$，则这个样本的标准差是．

⑶已知$x_1,x_2,x_3$的平均数$\overline{x}=10$，方差$S^2=3$,则$2x_1,2x_2,2x_3$的平均数为，方差为．

⑷一组数据$x_1,x_2,x_3,\cdots ,x_n$的方差为$S^2$，则

①$x_1+a,x_2+a,x_3+a,\cdots ,x_n+a$的方差为．

②$b{x}_1,b{x}_2,b{x}_3,\cdots ,b{x}_n$的方差为．

③$b{x}_1+a,b{x}_2+a,b{x}_3+a,\cdots ,b{x}_n+a$的方差为．

⑴为了了解某校学生每日运动量，收集数据正确的方法是（）

A．调查该校舞蹈队学生每日的运动量

B．调查该校书法小组学生每日的运动量

C．调查该校田径队学生每日的运动量

D．调查该校某一班级的学生每日的运动量

⑵下面调查中，哪些是用全面调查的方式来收集数据的（）

①为了了解你所在班级每个同学的家庭中有多少口人，向全班同学作调查；

②为了了解你所在班级期中考试数学成绩，选取一个小组同学的期中考试数学的成绩作调查；

③为了了解某商场“五一”黄金周的营业额，对这个商场一周来每天的营业额作调查；

④为了了解某公园一年中每天进园的人数，在其中$30$天里对进园人数进行统计调查．

A．①② B．①③ C．②③ D．③④

⑶下列调查是采用全面调查的方式收集数据的有（）

①为了了解全班同学每天的睡眠情况，对全班同学作调查；

②审查即将发行的刊物中的错别字；

③为了了解自来水的水质情况，自来水厂的工人叔叔对自来水水质进行分析调查；

④为了了解某鞭炮厂生产鞭炮的质量，将其中一挂鞭炮进行试验调查．

A．①② B．②③ C．③④ D．①④

某校综合实践活动小组开展了初中学生课外阅读兴趣调查，随机抽查了所在学校若干名初中学生的课外阅读情况，并将统计结果绘制出了如下不完整的统计图，请你根据图中所给出的信息解答下列问题：

学生小明、小华到某电脑销售公司参加社会实践活动，了解到$2014$年该公司经销的甲、己两种品牌电脑在第一季度三个月(即一、二、三月份)的销售数量情况．小明用直方图表示甲品牌电脑在第一季度每个月的销售量的分布情况，见图①；小华用扇形统计图表示乙品牌电脑每个月的销售量与该品牌电脑在第一季度的销售总量的比例分布情况，见图②．

根据上述信息，回答下列问题：

⑴这三个月中，甲品牌电脑在哪个月的销售量最大？

⑵已知该公司这三个月中销售乙品牌电脑的总数量比销售甲品牌电脑的总数量多50台，求乙品牌电脑在二月份共销售了多少台？

某中学对全校学生$60$秒跳绳的次数进行了统计，全校平均次数是$100$次．某班体育委员统计了全班$40$名学生$60$秒跳绳的成绩，列出的频数分布直方图如下（每个分组包括左端点，不包括右端点），那么

⑴该班$60$秒跳绳的平均次数至少是．

⑵该班学生跳绳成绩的中位数所在范围是．

⑶从该班中任选一人，其跳绳次数达到或超过校平均次数的概率是

⑴一次数学作业共有$10$道题目，某小组$8$位学生做对题目数的情况如下表：

那么这$8$位学生做对题目数的众数和中位数分别是（）

A．9和8 B．9和8.5 C．3和2 D．3和1

⑵已知$10$个数据的平均数是$3$，方差是$0$，则这组数据的中位数是；

⑶已知数据$3,x,4,6,7$的中位数为$5$，则这组数据的方差为.

某公司对甲、乙、丙三位应聘者进行面试，并从专业知识、工作经验、仪表形象三个方面给应聘者打分，每一方面满分都是$20$分，最后的打分制成条形统计图（如图所示）

已知一组数$a,4,2,5,3$，他们的平均数是$b$，且$a,b$是关于$x$的方程$x^2-4x+k=0$的两个根．

⑴求$a,b$的值；⑵求这组数据的方差．

⑴设样本数据$x_1,x_2,x_3,...,x_{n-1},x_n$的平均数为$\overline{x}$，方差为$S^2$，求证：

$S^2=\frac{1}{n}({x_1}^2+{x_2}^2+\cdots +{x_{n-1}}^2+{x_n}^2-n{\overline{x}}^2)$；

⑵利用上题结论求样本数据$4,4,3,4,5,3,5,3,2,3$的方差．