第4讲全等三角形的判定（一）

知识模块 01 · 原讲小节

全等三角形判定

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

知识讲解定义、性质与方法

全等三角形的判定法则：

两个三角形中对应相等的边或角		是否全等全等：√不全等：×	公理或推论（简写）
三条边		√	S.S.S
两边一角	两边夹角	√	S.A.S
两边一角	两边与其中一边对角	×
两角一边	两角和夹边	√	A.S.A
两角一边	两角与其中一角对边	√	A.A.S
三角		×

直角三角形还额外多一种判定全等的方法：斜边直角边 H.L

【全等三角形的证明方法及思想】

知识模块 02 · 原讲小节

第一、证明方法的认识

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知识讲解定义、性质与方法

1.直接证明：

从命题的条件或结论出发，根据已知的定义，公理，定理直接推证结论的真实性．

2.综合法：

从题设中的已知条件或已证的真实判断出发，经过一系列的中间推理，最后导出所求证的命题，综合法是一种由因索果的证明方法．

3.分析法：

从要证明的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或者已知事实吻合，分析法是一种执果索因的证明方法．

知识模块 03 · 原讲小节

第二、数学思想——化归思想的应用

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知识讲解定义、性质与方法

化归思想：

化归是数学中用以解决问题的最基本的手段之一，可以理解为转化、归结的意思，是指把待解决的问题通过某种转化，归结到较易解决的问题中去的一种手段或方法，

证明线段相等或角相等等问题，往往可以化归为证明三角形的全等.相关辅助线，导角计算，全等模型也都是为了这一目的而添置的．

题目SH-111-001难度 A · 基础

如图，在 $△ A B C$ 和 $△ D E F$ 中， $B$ 、 $E$ 、 $C$ 、 $F$ 在同一条直线上，下面有四个条件，请你在其中选出 $3$ 个作为条件，余下的 $1$ 个作为结论，写出一道题目并证明：

① $A B = D E$ ；② $A C = D F$ ；③ $∠ A B C = ∠ D E F$ ；④ $B E = C F$

题目SH-111-002难度 B · 巩固

如图，已知 $A D = B C$ ， $A C = B D$ .

求证：⑴ $∠ D = ∠ C$ ; ⑵ $D E = C E$ ．

题目SH-111-003难度 B · 巩固

已知：如图， $A B = D C$ ， $A E = D F$ ， $C E = B F$ ．

求证：⑴ $∠ B = ∠ C$ ；⑵ $A F = D E$ ．

题目SH-111-004难度 B · 巩固

已知：如图， $A E = D F$ ， $C E = B F$ ， $A B = C D$ ．

求证：⑴ $∠ F B D = ∠ E C A$ ；⑵ $B E / / C F$

题目SH-111-005难度 C · 综合

已知：如图所示， $A B = A C$ ， $D B = D C$ ，

⑴ 若 $E$ 、 $F$ 、 $G$ 、 $H$ 分别是各边的中点，求证： $E H = F G$ ．

⑵ 若联结 $A D$ 、 $B C$ 交于点 $P$ ，问线段 $A D$ 和线段 $B C$ 有何关系？证明你的结论．

题目SH-111-006难度 C · 综合

已知：如图， $A D$ 、 $B C$ 、 $E F$ 交于点 $O$ ，且 $A O = O D$ ， $B O = O C$ ， $E O = O F$ ，

求证： $△ A E B ≌ △ D F C$ ．

题目SH-111-007难度 C · 综合

如图， $△ A B C$ 和 $△ A D E$ 为两个全等的直角三角形，且 $∠ B = ∠ D = 90 °$ ， $A E$ 交 $B C$ 于点 $M$ ， $D E$ 交 $A C$ 于点 $N$ ，证明： $M G = N G$ ．

题目SH-111-008难度 C · 综合

已知：如图， $O A = O B$ ，点 $C$ 、 $D$ 分别在 $O A$ 、 $O B$ 上，且 $O C = O D$ ， $A D$ 、 $B C$ 交于 $E$ ．

求证： $O E$ 平分 $∠ A O B$ ．

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如图，已知 $A D / / B C$ ，点 $E$ 是 $A D$ 的中点， $E B = E C$ ．试说明 $A B$ 与 $C D$ 相等的理由．

题目SH-111-009

如图，点 $D$ 、 $E$ 在 $B C$ 上，已知 $∠ B = ∠ C$ ， $A D = A E$ ，说明 $B D = C E$ 的理由．

题目SH-111-010

已知：如图， $D$ 是 $△ A B C$ 中 $B C$ 边上一点， $E$ 是 $A D$ 上的一点， $E B = E C$ ， $∠ A B E = ∠ A C E$ ，求证： $∠ B A E = ∠ C A E$ ．

题目SH-111-011

已知：如图， $E$ 是四边形 $A B C D$ 的边 $A D$ 上一点，且 $△ A B C$ 和 $△ C D E$ 都是等边三角形．

求证： $B E = A D$ ．

题目SH-111-012

如图， $A B = D C$ ， $A C = D B$

求证：⑴ $∠ B A C = ∠ C D B$ ；⑵ $O B = O C$ .

题目SH-111-013

如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A B = A D$ ， $C B = C D$ ， $E$ 是 $C D$ 上一点， $B E$ 交 $A C$ 于 $F$ ，联结 $D F$ ，证明： $∠ B A C = ∠ D A C$ ， $∠ A F D = ∠ C F E$ ．

题目SH-111-014

如图，已知 $O A = O B$ ，点 $C$ 、 $D$ 分别在 $O A$ 、 $O B$ 上， $A D$ 、 $B C$ 交于点 $E$ ， $A E = B E$ ．

证明： $C E = D E$ ．

题目SH-111-015

如图，已知 $A C = A E$ ， $∠ B A E = ∠ D A G$ ， $∠ C = ∠ E$ ，求证： $A F = A G$ ．

题目SH-111-016

如图所示， $△ A B C$ 是不等边三角形， $D E = B C$ ，以 $D$ 、 $E$ 为两个顶点作位置不同的三角形，使所作三角形与 $△ A B C$ 全等，这样的三角形最多可以画出（）个．

$A$ ． $2$ $B$ ． $4$ $C$ ． $6$ $D$ ． $8$

题目SH-111-017

如图， $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，点 $D$ 、 $E$ 在 $B C$ 边长，当____________时， $△ A B E ≌ △ A C D$ ．

（添加一个适当的条件即可）

题目SH-111-018

如图，已知 $A D / / B C$ ， $A D = B C$ ，则下列结论错误的是（）．

$A$ ． $△ A D C ≌ △ C B A$ $B$ ． $△ D A C ≌ △ B A C$ $C$ ． $∠ B = ∠ D$ $D$ ． $A B = C D$

题目SH-111-019

如图， $A B = A D$ ， $B C = C D$ ，求证： $∠ A B C = ∠ A D C$ ．

题目SH-111-020

如图，在 $△ A B C$ 和 $△ E F D$ 中． $A B = E F$ ， $A C = E D$ ，点 $B, D, C, F$ 在一条直线上，若

$F C = D B$ ，求证： $> △ A B C ≌ △ E F D$