第15讲 二次函数（三）

一般地，形如$$y=a{x}^2+bx+c$$（$$a，b，c$$为常数，$$a\ne 0$$）的函数称为$$x$$的二次函数．

对于抛物线$y=a{x}^2+bx+c\left(a\ne 0\right)$：

⒈开口方向：$a>0$，向上；$a<0$，向下；图像形状由$\left|a\right|$决定，$\left|a\right|$越大，开口越小

⒉对称轴：直线$x=-\frac{b}{2a}$

$a$确定的情况下，$b$决定抛物线对称轴的位置

当对称轴在$y$轴左侧，$ab>0$，当对称轴在$y$轴右侧，$ab<0$，简称“左同右异”

⒊顶点坐标$\left(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a}\right)$

⒋与$y$轴交点$\left(0,c\right)$

⑴一般式：$$y=a{x}^2+bx+c$$（$$a$$，$$b$$，$$c$$为常数，$$a\ne 0$$）；

⑵顶点式：$$y=a{(x-h)}^2+k$$（$$a$$，$$h$$，$$k$$为常数，$$a\ne 0$$）；

⑶交点式：$$y=a(x-x_1)(x-x_2)$$（$$a\ne 0$$，$$x_1$$，$$x_2$$是抛物线与$$x$$轴两交点的横坐标）．

⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式$y=a{\left(x-h\right)}^2+k$，确定其顶点坐标$\left(h，k\right)$；

⑵ 保持抛物线$y=a{x}^2$的形状不变，将其顶点平移到$\left(h，k\right)$处，具体平移方法如下：

在原有函数的基础上“$$h$$值正右移，负左移；$$k$$值正上移，负下移”．

概括成八个字“左加右减，上加下减”．（建议二次函数左右平移前化为顶点式）

二次函数图像的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达

$y=a{x}^2+bx+c$将解析式中的$\left(x,y\right)$换成它的对称点$\left(x,-y\right)$，得到的解析式是$y=-a{x}^2-bx-c$；

$y=a{\left(x-h\right)}^2+k$开口的方向改为$-a$，顶点关于$x$轴对称$\left(h,-k\right)$，得到的解析式是

$y=-a{\left(x-h\right)}^2-k$；

$y=a{x}^2+bx+c$将解析式中的$\left(x,y\right)$换成它的对称点$\left(-x,y\right)$，得到的解析式是$y=a{x}^2-bx+c$；

$y=a{\left(x-h\right)}^2+k$开口方向不变，顶点关于$y$轴对称$\left(-h,k\right)$，得到的解析式是$y=a{\left(x+h\right)}^2+k$；

$y=a{x}^2+bx+c$将解析式中的$\left(x,y\right)$换成它的对称点$\left(-x,-y\right)$，得到的解析式是$y=-a{x}^2+bx-c$；

$y=a{\left(x-h\right)}^2+k$将开口$a$改为$-a$，顶点关于原点对称$\left(-h,-k\right)$，得到的解析式是

$y=-a{\left(x+h\right)}^2-k$；

$y=a{\left(x-h\right)}^2+k$顶点坐标不变，将开口改为$-a$，得到的解析式是$y=-a{\left(x-h\right)}^2+k$．

$y=a{\left(x-h\right)}^2+k$顶点坐标$\left(h,k\right)$关于点$\left(m，n\right)$对称后，得到对称后的顶点$\left(2m-h,2n-k\right)$，得到的解析式是$y=-a{\left(x+h-2m\right)}^2+2n-k$

⑴已知二次函数$y=a{x}^2-ax(a\ne 0)$的图像经过点$$(-1,2)$$．

①求该二次函数的解析式和顶点坐标；

②能否通过所求得的抛物线的平移得到抛物线$y=x^2+3x+\frac{1}{2}$？如果能，请说明怎样平移；如果不能，请说明理由.

⑵已知抛物线$$y=x^2+bx+c$$与$$y$$轴交于点$$C\left(0,2\right)$$，它的顶点为$$M$$，对称轴是直线$$x=-1$$.

①求此抛物线的表达式及点$$M$$的坐标.

②将上述抛物线向下平移$$m\left(m>0\right)$$个单位，所得新抛物线经过原点$$O$$，设新抛物线的顶点为$$N$$，请判断$$△MON$$的形状，并说明理由.

2. 2 0 1 9 中考

   【$2019$中考】