第6讲行程问题 · 章法数学

知识模块 01 · 原讲小节

行程问题

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

知识讲解定义、性质与方法

行程问题

相遇与追及问题

追及问题

继兔子白白在上次的赛跑中输给乌龟慢慢后，白白心有不甘，提出了和慢慢再赛一场．白白出于内心的骄傲，让慢慢先爬 $30$ 分钟，自己在起点慢悠悠的吃起甜甜圈、珍珠奶茶方便面……

已知：白白的跑步速度为 $220$ 米/分钟，慢慢的速度是 $20$ 米/分钟．问：白白吃完甜甜圈、珍珠奶茶方便面后，还需多少时间能够追上慢慢？

在行程问题中，我们可以通过研究速度和（差）与路程和（差）的关系，解决简单的相遇和追及问题．
如下图，我们发现，从白白出发追及慢慢的过程中，慢慢起先领先 $30 \times 20 = 600$ 米，
即开始追及时，他俩的路程差为 $S_{差} = 600$ 米
我们假设追上的时间为 $t$ ，则有
$S_{差} + v_{慢} \cdot t = v_{白} \cdot t$ ，故 $S_{差} = (v_{白} - v_{慢}) \cdot t$ ， $∴$ $t = \frac{S_{差}}{v_{白} - v_{慢}} = \frac{600}{220 - 20} = 3$ 分钟．

由此，我们总结追及问题的一条简单公式：

$路程差 = 速度差 \times 追及时间$

故计算追及时间时： $追及时间 = \frac{路程差}{速度差}$

相遇问题

吸取上次教训的白白这次没有偷懒休息，继续跑了 $10$ 分钟便到达了终点．在终点等了 $10$ 分钟后发现慢慢始终没有出现，便以相同的速度返程去找慢慢．问：需多久能够遇上还在努力向终点爬行的慢慢？

这可以理解为一个相遇问题：在白白返回时，龟兔间相距 $S_{和} = 10 \times 220 - 20 \times 20$ $= 1800$ 米，即他俩的接下来路程和为 $1800$ 米．我们假设相遇所需时间为 $t$ ，则有

$S_{和} = v_{白} \cdot t + v_{慢} \cdot t$ ，故 $S_{和} = (v_{白} + v_{慢}) \cdot t$ ，

$∴$ $t = \frac{S_{和}}{v_{白} + v_{慢}} = \frac{1800}{220 + 20} = 7.5$ 分钟．

由此，我们总结相遇问题的一条简单公式：

$路程和 = 速度和 \times 相遇时间$

故计算相遇时间时： $相遇时间 = \frac{路程和}{速度和}$

环形跑道也可以理解为简单的相遇与追及问题，如

看到即使输了比赛仍坚持跑完全程的乌龟慢慢，兔子白白感觉很受触动．此后，他俩成了好友，经常相约一起运动．某次，他们一起在一条环形跑道上跑步游戏．知道自身速度优势的白白，决定要以更严格的标准来要求自己，便对乌龟慢慢开玩笑说：10分钟内不超过你 $3$ 圈我就不姓白．已知：环形跑道全场 $700$ 米，龟兔速度不变．问：白白是否能完成目标？

在这个游戏中，我们可以把赛跑的过程理解为追及问题：

在白白正好领先慢慢 $3$ 圈时，相当于白白比慢慢多跑了 $3 \times 700 = 2100$ 米，

即路程差为 $2100$ 米，故此时

追及时间 $= \frac{路程差}{速度差} = \frac{2100}{220 - 20} = 10.5$ 分钟．

由此，我们发现环形问题中的追及关系：（思考：当两人相反方向运动时如何计算？）

同向： $\to$ 追击问题 $\Rightarrow$ 路程差 $n \cdot S = v_{差} \cdot t$

反向： $\to$ 问题 $\Rightarrow$ 路程和 ____________

题目SH-029-001难度 B · 巩固

“十一”长假期间，小帅和小美决定骑自行车外出游玩，已知小帅车速为 $20$ 千米/小时，小美车速为 $15$ 千米/小时，两家相距 $10$ 千米．

⑴若两人决定在两家之间的地方碰头，再一起出发看电影，那么为了节省时间，约定的地点应该距离小帅家多远？

⑵若两人相约一早从各自家中出发，小帅出发必过小美家，两人同时同向出发，经过多少小时能相遇？

题目SH-029-002难度 C · 综合

$A$ 、 $B$ 两地相距 $450$ 千米，小帅、小美分别驾车从 $A$ 、 $B$ 两地同时出发，相向而行．已知小帅车速度为 $120$ 千米/小时，小美车速度为 $80$ 千米/小时，经过多长时间后两车相距 $50$ 千米？

题目SH-029-003难度 B · 巩固

操场环形跑道周长为 $400 m$ ，小帅和小美一起去跑步，小帅的速度为 $6 m / s$ ，小美的速度是 $4 m / s$ ．

⑴若他们俩同时同地背向跑，则多少秒后两人第一次相遇？

⑵若他们俩同时同向跑，小帅在小美前面 $20 m$ ，经过多少秒后两人第一次相遇？

题目SH-029-004难度 C · 综合

⑴如图，甲乙两人同时沿着边长为 $30$ 米的等边三角形，按逆时针的方向行走，甲从 $A$ 以 $65$ 米 $/$ 分的速度，乙从 $B$ 以 $71$ 米 $/$ 分的速度行走，当乙第一次追上甲时在等边三角形的 $($ 　　 $)$

$A$ ． $A B$ 边上 $B$ ．点 $B$ 处 $C$ ． $B C$ 边上 $D$ ． $A C$ 边上

⑵如图所示，两人沿着边长为 $90 m$ 的正方形，按 $A \to B \to C \to D \to A \dots$ 的方向行走，甲从 $A$ 点以 $65 m / m i n$ 的速度、乙从 $B$ 点以 $75 m / m i n$ 的速度行走，当乙第一次追上甲时，将在正方形的 $($ 　　 $)$ 边上．

$A$ ． $B C$ $B$ ． $D C$ $C$ ． $A D$ $D$ ． $A B$

如图，跑道由两个半圆部分 $A B$ ， $C D$ 和两条直跑道 $A D$ ， $B C$ 组成，两个半圆跑道的长都是 $115 m$ ，两条直跑道的长都是 $85 m$ ．小斌站在 $A$ 处，小强站在 $B$ 处，两人同时逆时针方向跑步，小斌每秒跑 $4 m$ ，小强每秒跑 $6 m$ ．当小强第一次追上小斌时，他们的位置在 $($ 　　 $)$

$A$ ．半圆 $A B$ 上 $B$ ．线段 $B C$ 上 $C$ ．半圆 $C D$ 上 $D$ ．线段 $A D$ 上

题目SH-029-005难度 D · 提升

某人下午6点多钟外出买东西时，发现表上的时针与分针的夹角为 $110 °$ ，下午近七点回家时，发现时针和分针的夹角又是 $110 °$ ，他外出共花了多长时间？

题目SH-029-006难度 C · 综合

⑴小帅、小美两人从 $400$ 米环形跑道的点 $A$ 处背向同时出发， $8$ 分钟后两人第三次相遇．已知每分钟小帅比小美多行 $6$ 米，请问小美的速度是多少？小帅总共走过的路程是多少？

⑵两名运动员在湖边的环形道上练习长跑，甲每分钟跑250米，乙每分钟跑200米，两人同时同地同向出发，经过 $45$ 分钟甲追上乙；如果两人同时同地反向出发，经过多少分钟两人相遇？

火车过桥问题

兔子黑黑和乌龟慢慢在跑步时要经过一座桥，此时正好有一辆火车要从桥上经过．为保证安全，他们需在火车开始过桥时停下耐心等待，直到火车全部通过桥身后，方能上桥继续跑步．已知：桥长为 $3$ $k m$ ，停下等待的时间为 $5.5$ 分钟，火车每分钟行 $600$ 米．求：车身长为多少？

注意文中的描述，在火车开始过桥时，火车头刚和桥尾接触，而后火车驶过，到车尾离开桥面时，火车行驶的总路程 $=$ 桥长 $+$ 车身长．

故总路程 $= 5.5 \times 600 = 3300$ 米，车身长 $=$ 总路程-桥长 $= 300$ 米．

由此，我们可以总结火车过桥问题的计算方法：

$总路程 = 桥长 + 车长$

$桥长 + 车长 = 火车速度 \times 过桥时间$

【灵机一动】：火车全部在桥上的时间为多少？

$行驶路程 = 桥长 - 车长$

$桥长 - 车长 = 火车速度 \times 在桥上时间$

题目SH-029-007难度 B · 巩固

一列长 $90$ 米的火车以每秒 $30$ 米的速度匀速通过一座长为 $1200$ 米的桥，

⑴火车整辆车在桥上的时间是_________秒；

⑵若火车完全通过桥，那么所需的时间是_________秒．

题目SH-029-008难度 D · 提升

一列火车途径两个隧道和一座桥梁，第一个隧道长 $600$ 米，火车通过用时 $18$ 秒；第二个隧道长 $480$ 米，火车通过用时 $15$ 秒；桥梁长 $800$ 米，火车通过时速度为原来的一半，求火车通过桥梁所需的时间．

题目SH-029-009难度 D · 提升

铁路旁的一条平行小路上，有一行人与一骑车人同时向南行进，行人速度为 $1$ 米/秒，骑车人速度为 $3$ 米/秒．这时，有一列火车从他们身后开过来，火车通过行人用了 $22$ 秒钟，通过骑车人用了 $26$ 秒钟．求这列火车的车长．

题目SH-029-010难度 D · 提升

【例题、】

已知铁轨上有一辆行驶的火车，火车长 $200$ 米，速度 $45$ 千米每小时， $12$ 时 $22$ 分时，火车追上 $A$ 到离开 $A$ 用了 $18$ 秒； $12$ 时 $28$ 分迎面遇到 $B$ ， $12$ 秒后离开．问 $A$ 、 $B$ 将在何时相遇？

题目SH-029-011难度 D · 提升

一辆汽车从甲地开往乙地，如果把车速提高 $20 %$ ，可以比原定时间提前 $1$ 小时到达．如果以原速行驶 $120$ 千米后，再将速度提高 $25 %$ ，则可提前 $40$ 分钟到达．求甲、乙两地的距离．

题目SH-029-012

为迎接校运动会，欢欢和迎迎在相距 $700$ 米的 $A$ ， $B$ 两地之间练习跑步，欢欢从 $A$ 向 $B$ ，每分钟跑 $180$ 米，迎迎从 $B$ 向 $A$ ，每分钟跑 $120$ 米，如果两人分别从 $A$ 、 $B$ 两地同时出发，问几分钟后，欢欢和迎迎相距 $100$ 米？

题目SH-029-013

学校操场的环形跑道长为 $250$ 米，小明和小丽在这条跑道上练习长跑，如果小明每分钟跑 $160$ 米，小丽每分钟跑 $120$ 米，两人同时同地同向出发，那么多少分钟后他们第一次相遇？

题目SH-029-014

一列火车通过一条长 $1140$ 米的桥梁（车头上桥直至车尾离开桥）用了 $50$ 秒，火车穿越长 $1980$ 米的隧道用了 $80$ 秒，问这列火车的车速和车身长？

题目SH-029-015

一列客车的速度是 $60$ 千米/时，一列货车速度是 $45$ 千米/时，货车比客车长 $135$ 米，如果两车在平行的轨道上同向行驶，客车从后面赶上货车，它们交叉的时间是 $1$ 分 $30$ 秒，求各车的长度．如果这两车在平行的轨道上相向行驶，它们交叉时需要多少时间？

题目SH-029-016

船从甲地顺水开往乙地，所用时间比逆水返回时少用 $2$ 小时．已知船在静水中的速度为 $18$ 千米/小时，水流速度为 $2$ 千米/小时，则甲、乙两地的距离为__________．

题目SH-029-017

一支解放军部队从驻地乘车赶往某地抗洪抢险，如果行驶 $1$ 个小时后，将车速提高五分之一，就可比预定时间提前 $20$ 分钟赶到；如果先按原速度行驶 $72$ 千米，再将车速提高三分之一，就可比预定时间提前 $30$ 分钟赶到．问：这支解放军部队一共需要行多少千米？

题目SH-029-018

成渝铁路全长 $504$ 千米．一辆快车以 $90$ 千米 $/$ 时的速度从重庆出发， $1$ 小时后，另有一辆慢车以 $48$ 千米 $/$ 时的速度从成都出发，则慢车出发小时后两车相遇（沿途各车站的停留时间不计）．
甲、乙二人在公路上同方向匀速前进，甲的速度为 $3$ 千米 $/$ 小时，乙的速度为 $5$ 千米 $/$ 小时，甲中午 $12$ 点通过 $A$ 地，乙于下午 $2$ 点才经过 $A$ 地，问小时后乙才能追上甲，追及地距 $A$ 地千米．
小张从家到公园,原打算每分钟走 $50$ 米．为了提早 $10$ 分钟到,他把速度加快,每分钟走 $75$ 米．问家到公园多远？
小新和正南在操场上比赛跑步，小新每分钟跑 $250$ 米，正南每分钟跑 $210$ 米，一圈跑道长 $800$ 米，他们同时从起跑点同向出发，那么小新第三次超过正南需要多少分钟？
一座大桥长 $2800$ 米，一列火车通过大桥时每分钟行 $800$ 米，这列火车完全通过大桥用了 $4$ 分钟，这列火车长米．
某人乘船由 $A$ 顺流而下到 $B$ 地，然后逆流而上到 $C$ 地，共乘船 $6$ 小时，已知船在静水中速度为 $9$ 千米/小时，水速度为 $1.5$ 千米/小时， $A C$ 两地航程是 $12$ 千米，求 $A B$ 两地的航程．

运动场的跑道一圈长 $400 m$ ．甲练习骑自行车，平均每分骑 $350 m$ ；乙练习跑步，平均每分跑 $250 m$ ．两人从同一处同时反向出发，经过分钟首次相遇．
两辆拖拉机为农场送化肥,第一辆以 $10$ 千米/时的速度由仓库开往农场, $30$ 分后,第二辆以 $15$ 千米/时的速度由仓库开往农场．问：

⑴ 第二辆追上第一辆的地点距仓库多远？

⑵ 如果第二辆比第一辆早到农场 $20$ 分,那么仓库到农场的路程有多远？

题目SH-029-019

游船顺流而下每小时行8千米，逆流而上每小时行7千米，两船同时从同地出发，甲船顺流而下，然后返回．乙船逆流而上，然后返回，经过2小时同时回到出发点，在这2小时中有小时甲、乙两船的航行方向相同．
甲、乙两人用相同的速度，沿着同一条路从 $A$ 地到 $B$ 地，甲先出发，当甲所行的路程是乙行的路程的 $2$ 倍时，甲又行了 $5$ 千米到达 $B$ 地，然后立即返回．行了全程的 $\frac{1}{8}$ 时，与乙还相距 $3$ 千米，那么 $A$ 、 $B$ 两地相距多少千米？

题目SH-029-020

甲、乙两人在周长 $200$ 米的正方形小花园相邻的两角上同时同向出发绕边缘行走，乙在甲后，甲每分钟 $50 m$ ，乙每分钟 $44 m$ ，则自出发后________分钟两人初次在同一边上行走（不含甲乙两人在正方形相邻顶点时的情景）