中考-一模 · 第 152 讲

第11讲一模模拟考

8 道题2 个知识模块答案解析精校中

本讲答案与解析正在逐题精校，完成后在题卡下方开放。当前请先独立作答，再回来对照。

知识模块 01 · 原讲小节

一模模拟考

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

知识讲解定义、性质与方法

考生注意：

1．本试卷含三个大题，共 $25$ 题．答题时，考生务必按答题要求在规定的位置上作答．

2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在相应位置上写出证明或计算的主要步骤．

3．本次测试不可使用科学计算器．

题目SH-152-001

一、选择题：（本大题共 $6$ 题，每题 $4$ 分，满分 $24$ 分）

【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，请选择正确选项的代号】

1．在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $a$ 、 $b$ 、 $c$ 分别是 $∠ A$ 、 $∠ B$ 、 $∠ C$ 的对边，下列等式中，正确的是 $($ 　　 $)$

A． $s i n A = \frac{b}{c}$ B． $c o s B = \frac{c}{a}$ C． $t a n A = \frac{a}{b}$ D． $c o t B = \frac{b}{a}$

2．如图，已知 $A B ∥ C D$ ， $A D$ 与 $B C$ 相交于点 $O$ ， $A O : D O = 1 : 2$ ，那么下列式子错误的是 $($ 　　 $)$

A． $B O : C O = 1 : 2$ B． $A B : C D = 1 : 2$ C． $A D : D O = 3 : 2$ D． $C O : B C = 1 : 2$

3．对于抛物线 $y = {(x + 2)}^{2}$ ，下列说法正确的是 $($ 　　 $)$

A．最低点坐标是 $(- 2, 0)$ B．最高点坐标是 $(- 2, 0)$

C．最低点坐标是 $(0, - 2)$ D．最高点坐标是 $(0, - 2)$

4．二次函数 $y = a x^{2} - 2 x - 3 (a < 0)$ 的图象一定不经过 $($ 　　 $)$

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限．

5．已知非零向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 和 $\vec{c}$ ，下列条件中，不能判定 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ 的是 $($ 　　 $)$

A． $\vec{a} ∥ \vec{c}$ ， $\vec{b} ∥ \vec{c}$ B． $\vec{a} = 2 \vec{c}$ ， $\vec{b} = \vec{c}$ C． $\vec{a} = - 5 \vec{b}$ D． $| \vec{a} | = 3 | \vec{b} |$

6．已知 $D$ 是 $△ A B C$ 的边 $B C$ 上的一点， $∠ B A D = ∠ C$ ，那么下列结论中正确的是 $($ 　　 $)$

A． $A C^{2} = C D \cdot C B$ B． $A B^{2} = B D \cdot B C$ C． $A D^{2} = B D \cdot C D$ D． $B D^{2} = A D \cdot C D$

二、填空题：（本大题共 $12$ 题，每题 $4$ 分，满分 $48$ 分）

【请将结果直接填入相应位置上】

7．已知线段 $b$ 是线段 $a$ 、 $c$ 的比例中项，且 $a = 9$ ， $c = 4$ ，那么 $b =$ ________．

8．已知甲、乙两地之间的距离为 $10$ 千米，画在一张地图上的距离为 $5$ 厘米，那么在这张地图上量得距离为 $2$ 厘米的 $A$ 、 $B$ 两地的实际距离为________千米．

9．已知 $y = (a + 1) x^{2} + a x$ 是二次函数，那么 $a$ 的取值范围是________．

10．在平面直角坐标系中，如果把抛物线 $y = x^{2}$ 向左平移 $5$ 个单位，那么所得抛物线的表达式为________．

11．已知抛物线 $y = x^{2} - 2 x - 3$ ，若点 $P (- 2, 5)$ 与点 $Q$ 关于该抛物线的对称轴对称，则点 $Q$ 的坐标是________．

12．请写出一个以直线 $x = - 2$ 为对称轴，且在对称轴左侧部分是上升的抛物线的表达式，这条抛物线的表达式可以是________．

13．如果 $E$ 、 $F$ 是 $△ A B C$ 的边 $A B$ 和 $A C$ 的中点， $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A C} = \vec{b}$ ，那么 $\vec{F E} =$ 　_________．

14．在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A = 90 °$ ， $> B C = a$ ， $∠ B = β$ ，那么 $A B =$ ________（用含 $a$ 和 $β$ 的式子表示）．

15．如果两个相似三角形的面积比为 $1 : 2$ ，那么它们的对应角平分线的比值为________．

16．已知点 $G$ 是 $△ A B C$ 的重心， $A D$ 是中线， $A G = 6$ ，那么 $D G =$ ________．

题目SH-152-002

17．如图，梯形 $A B C D$ 中， $A B / / C D$ ，对角线 $A C$ 、 $B D$ 相交于 $O$ ，下面四个结论：

① $△ A O D ∽ △ B O C$ ；② $S_{△ D O C} : S_{△ B O A} = D C : A B$ ；③ $△ A O B ∽ △ C O D$ ；④ $S_{△ A O D} = S_{△ B O C}$ ，其中结论始终正确的序号是_________．

题目SH-152-003

18．已知三角形纸片 $(△ A B C)$ 中， $A B = A C = 5$ ， $B C = 8$ ，将三角形按照如图所示的方式折叠，使点 $B$ 落在边 $A C$ 上，记为点 $B'$ ，折痕为 $E F$ ．若以点 $B'$ ， $F$ ， $C$ 为顶点的三角形与 $△ A B C$ 相似，那么 $B F$ 的长度是_________．

知识模块 02 · 原讲小节

解答题：（本大题共 7 题，满分 7 8 分）

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

知识讲解定义、性质与方法

19．（本题满分 $10$ 分）

题目SH-152-004

计算： ${(- \frac{1}{3})}^{- 2} + s i n 60 ° \cdot {(c o s 45 °)}^{2} - \frac{c o t 30 °}{\sqrt{2} \cdot s i n 45 °} - 9 {(π - t a n 60 °)}^{0}$

20．（本题共 $2$ 小题，第⑴小题 $4$ 分，第⑵小题 $6$ 分，满分 $10$ 分）

如图，在梯形 $A B C D$ 中，点 $E$ ， $F$ 分别在边 $A B$ ， $C D$ 上， $A D ∥ E F ∥ B C$ ， $E F$ 与 $B D$ 交于点 $G$ ， $A D = 5$ ， $B C = 10$ ， $\frac{A E}{E B} = \frac{2}{3}$ ．

⑴求 $E F$ 的长；

⑵设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{B C} = \vec{b}$ ，那么 $\vec{D B} =$ ________， $\vec{F C} =$ ________．（用向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 表示）

21．（本题共 $2$ 小题，第⑴小题 $4$ 分，第⑵小题 $6$ 分，满分 $10$ 分）

已知二次函数的解析式为 $y = \frac{1}{2} x^{2} - 2 x$ .

⑴用配方法把该二次函数的解析式化为 $y = a {(x + m)}^{2} + k$ 的形式；

⑵选取适当的数据填入下表，并在图7所示的平面直角坐标系 $x O y$ 内描点，画出该函数的图像．

$x$	…						…
$y$	…						…

题目SH-152-005

22．（本题共 $2$ 小题，第⑴小题 $5$ 分，第⑵小题 $5$ 分，满分 $10$ 分）

为加强对市内道路交通安全的监督，王警官利用无人机进行检测.某高架路有一段限速每小时 $60$ 千米的道路 $A B$ （如图所示），当无人机在限速道路的正上方 $C$ 处时，测得限速道路的起点 $A$ 的俯角是 $37 °$ ，无人机继续向右水平飞行 $220$ 米到达 $D$ 处，此时又测得起点 $A$ 的俯角是 $30 °$ ，同时测得限速道路终点 $B$ 的俯角是 $45 °$ （注：即四边形 $A B D C$ 是梯形）.

⑴求限速道路 $A B$ 的长（精确到 $1$ 米）；

⑵如果李师傅在道路 $A B$ 上行驶的时间是 $1$ 分 $20$ 秒，请判断他是否超速？并说明理由.（参考数据： $s i n 37 ° \approx 0.60$ ， $c o s 37 ° \approx 0.80$ ， $t a n 37 ° \approx 0.75$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73$ ）

题目SH-152-006

23．（本题共 $2$ 小题，第⑴小题 $5$ 分，第⑵小题 $7$ 分，满分 $12$ 分）

已知：如图，在梯形 $A B C D$ 中， $A D / / B C$ ， $A B ⊥ B C$ ，点 $M$ 在边 $B C$ 上，且 $∠ M D B = ∠ A D B$ ， $B D^{2} = A D \cdot B C$ ．

⑴求证： $B M = C M$ ；

⑵作 $B E ⊥ D M$ ，垂足为点 $E$ ，并交 $C D$ 于点 $F$ ．求证： $2 A D \cdot D M = D F \cdot D C$ ．

24．（本题共 $3$ 小题，每小题 $4$ 分，满分 $12$ 分）

题目SH-152-007

在平面直角坐标系 $x O y$ 中，如果抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 上存在一点 $A$ ，使点 $A$ 关于坐标原点 $O$ 的对称点 $A^{'}$ 也在这条抛物线上，那么我们把这条抛物线叫做回归抛物线，点 $A$ 叫做这条抛物线的回归点.

⑴已知点 $M$ 在抛物线 $y = - x^{2} + 2 x + 4$ 上，且点 $M$ 的横坐标为 $2$ ，

试判断抛物线 $y = - x^{2} + 2 x + 4$ 是否为回归抛物线，并说明理由；

⑵已知点 $C$ 为回归抛物线 $y = x^{2} - 2 x + c$ 的顶点，如果点 $C$ 是这条抛物线的回归点，求这条抛物线的表达式；

⑶在⑵的条件下，所求得的抛物线的对称轴与 $x$ 轴交于点 $D$ .联结 $C O$ 并延长，交该抛物线于点 $E$ .点 $F$ 是射线 $C D$ 上一点，如果 $∠ C F E = ∠ D E C$ ，求点 $F$ 的坐标.

题目SH-152-008

25．（本题 $3$ 小题，第⑴小题 $4$ 分，第⑵小题 $6$ 分，第⑶小题 $4$ 分，满分 $14$ 分）

已知：如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 4$ ， $B C = \frac{1}{2} A B$ ， $P$ 是边 $A C$ 上的一个点， $A P = \frac{1}{2} P D$ ， $∠ A P D = ∠ A B C$ ，联结 $D C$ 并延长交边 $A B$ 的延长线于点 $E$ ．

⑴求证： $A D / / B C$ ；

⑵设 $A P = x$ ， $B E = y$ ，求 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式，并写出它的定义域；

⑶联结 $B P$ ，当 $△ C D P$ 与 $△ C B E$ 相似时，试判断 $B P$ 与 $D E$ 的位置关系，并说明理由．