第3讲二次根式的化简

知识模块 01 · 原讲小节

二次根式：（复习）

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

知识讲解定义、性质与方法

二次根式概念与运算

二次根式：（复习）

二次根式的概念：代数式 $\sqrt{a}$ （ $a \geq 0$ ）叫做二次根式．仍然读作“根号 $a$ ”，其中 $a$ 是被开方数．
二次根式的基本性质：

⑴双重非负性： $\sqrt{a} \geq 0 (a \geq 0)$ ；

⑵ ${(\sqrt{a})}^{2} = a (a \geq 0)$ ；

⑶ $\sqrt{a^{2}} = | a | = {\begin{matrix} a, a > 0 \\ 0, a = 0 \\ - a, a < 0 \end{matrix}$ ．

最简二次根式

①被开方数的因数是整数，因式是整式（被开方数不能存在小数、分数形式）

②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式（被开方数中各因数的指数都为 $1$ ）

③分母中不含二次根式

【注意】二次根式的计算结果要写成最简二次根式的形式．

分母有理化

⑴定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化．分母有理化的方法，一般是把分子和分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号．

⑵互为有理化因式：两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们说这两个代数式互为有理化因式．

总结

有理化因式．

① 如果是单项式 $\sqrt{a}$ ，则同时乘以 $\sqrt{a}$ ；

② 如果是多项式，则采用平方差公式，如 $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ 与 $\sqrt{a} - \sqrt{b}$ 互为有理化因式．

二次根式的四则运算

⑴二次根式的加减运算：合并同类二次根式， $a \sqrt{x} \pm b \sqrt{x} = (a \pm b) \sqrt{x}$ ．

⑵二次根式的乘法法则： $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a b}$ （ $a \geq 0$ ， $b \geq 0$ ）

⑶二次根式的除法法则： $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$ （ $a \geq 0$ ， $b > 0$ ）

【注意】逆用⑵⑶两个法则时注意

a

，

b

的取值范围，对于

\sqrt{a b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}

，

a

，

b

都非负，否则不成立．

题目SH-059-001难度 B · 巩固

下列二次根式中，最简二次根式的个数是（）．

　　　　 $\sqrt{6 x^{- 1}}$ ， $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ ， $\sqrt{2 a b^{2}}$ ， $\sqrt{0.5 a b}$ , $\sqrt{\frac{a}{3}}$ ， $\frac{\sqrt{b}}{4}$ , $\sqrt{24 x}$ ， $\sqrt{x^{2} - 4 x + 4}$ ．

$A$ . $1$ 个 $B$ . $2$ 个 $C$ . $3$ 个 $D$ . $4$ 个

题目SH-059-002难度 C · 综合

把下列各式化简为最简二次根式（字母均取正数）：

⑴ $\sqrt{27 a^{2} + 9 a^{2} b^{2}} (a \geq 0)$

⑵ $\sqrt{9 x^{3} y^{2} {(x + y)}^{3}} (x \geq 0 ， y \geq 0)$

⑶ $\sqrt{2 a^{3} - 20 a^{2} + 50 a} (a \geq 5)$

题目SH-059-003难度 C · 综合

把下列各式化简为最简二次根式：

⑴ $\frac{5 y}{2 x} \sqrt{\frac{1}{y^{2}} - \frac{x}{y^{3}}} (y > x > 0)$ ； ⑵ $\frac{y}{2 x - y} \sqrt{\frac{4 x^{3} y - 4 x^{2} y^{2} + x y^{3}}{y^{2}}} (2 x > y > 0)$

题目SH-059-004难度 C · 综合

计算：

⑴ $(2 \sqrt{a} - 3 \sqrt{b}) (- 6 \sqrt{a})$

⑵ $(- 16 \sqrt{a^{3}}) (- \frac{1}{2} \sqrt{a} + \frac{3}{4} \sqrt{a^{3}} - \frac{7}{8} \sqrt{a^{5}})$

⑶ $\sqrt{10 m n^{2}} \div \sqrt{6 m^{2} n}$

⑷ $\sqrt{5 b c} \cdot \sqrt{\frac{5^{- 1} a c}{b}} (a > 0 ， b > 0 ， c > 0)$

题目SH-059-005难度 C · 综合

⑴ $a^{2} \sqrt{\frac{2}{a}} - \sqrt{8 a^{3}}$

⑵ $\frac{1}{b} \sqrt{a b^{3}} - a \sqrt{\frac{b}{a}} (a < 0)$

⑶ $\sqrt{2 a^{3}} + \sqrt{a^{2}} - \frac{a}{b} \sqrt{2 a b^{2}} - {(\sqrt{a})}^{2}$

题目SH-059-006难度 D · 提升

⑴ $\frac{n}{m} \sqrt{\frac{n}{2 m^{3}}} \times (- \frac{1}{m} \sqrt{\frac{n}{m}}) \div \sqrt{\frac{n^{3}}{2 m}}$

⑵ $- 3 \sqrt{\frac{3 m^{2} - 3 n^{2}}{2 a^{2}}} \div (\frac{3}{2} \sqrt{\frac{m + n}{a^{2}}}) \times \sqrt{\frac{a^{2}}{m - n}}$

题目SH-059-007难度 C · 综合

⑴ $\frac{a - b}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} - \frac{a + b - 2 \sqrt{a b}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}}$

⑵ $\frac{x \sqrt{y} - y \sqrt{x}}{x \sqrt{y} + y \sqrt{x}} - \frac{y \sqrt{x} + x \sqrt{y}}{y \sqrt{x} - x \sqrt{y}}$

⑶ $\frac{x - 4}{\sqrt{x - 3} + 1} - \frac{x - 7}{\sqrt{x - 3} - 2}$

题目SH-059-008难度 D · 提升

⑴已知 $y = \sqrt{x - \frac{1}{2}} + \sqrt{\frac{1}{2} - x} + 8$ ，求 $\frac{x - 4 y}{\sqrt{x} - 2 \sqrt{y}} - \frac{x + y + 2 \sqrt{x y}}{x + \sqrt{x y}} \div (\frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{y}})$ 的值．

⑵已知实数 $x$ ， $y$ 满足 $(x + \sqrt{x^{2} + 1}) (y + \sqrt{y^{2} + 1}) = 1$ ，求证： $x + y = 0$ ．

题目SH-059-009

下列说法中，正确的是 $($ 　　 $)$

A．被开方数不同的二次根式一定不是同类二次根式

B．只有被开方数完全相同的二次根式才是同类二次根式

C． $\sqrt{2 m}$ 与 $\sqrt{m}$ 是同类二次根式

D． $\sqrt{\frac{1}{m}}$ 与 $\sqrt{m}$ 是同类二次根式

题目SH-059-010

已知下列四个根式： $\frac{1}{3} \sqrt{12 a^{3} x^{3}}$ 、 $3 a \sqrt{\frac{x}{3 a}}$ 、 $3 x \sqrt{\frac{a}{x^{3}}}$ 、 $\sqrt{4 a^{3} x}$ 与 $\sqrt{3 a x}$ 是同类二次根式的是．

题目SH-059-011

化简： ${(\sqrt{1 - a})}^{2} + \sqrt{1 - 2 a + a^{2}}$

题目SH-059-012

若 $0 < x < 1$ ，则 $\sqrt{{(x - \frac{1}{x})}^{2} + 4} - \sqrt{{(x + \frac{1}{x})}^{2} - 4}$ 等于 $($ 　　 $)$

A． $\frac{2}{x}$ B． $- \frac{2}{x}$ C． $- 2 x$ D． $2 x$

题目SH-059-013

化简： $\frac{3}{5} \sqrt{x y^{5}} \div (- \frac{4}{15} \sqrt{\frac{y}{x}}) \times (- \frac{5}{6} \sqrt{x^{3} y})$

把下列各式化成最简二次根式

⑴ $\sqrt{24}$ ⑵ $\sqrt{75 a^{3}}$ ⑶ $\sqrt{25 x^{3} + 50 x^{2}} (x \geq 0)$

题目SH-059-014

化简：

⑴ $\sqrt{\frac{b}{5}} \div \sqrt{\frac{b}{20 a^{2}}}$

⑵ $(x^{2} \sqrt{\frac{b}{a}} - \frac{x y}{a} \sqrt{a b} + \frac{b}{a} \sqrt{\frac{a}{b}}) \div x^{2} y^{2} \sqrt{\frac{b}{a}}$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）

题目SH-059-015

化简：

⑴ $\frac{2}{3} \sqrt{9 x} + 6 \sqrt{\frac{x}{4}} - 2 x \sqrt{\frac{1}{x}}$

⑵ $2 a \sqrt{\frac{b}{a}} - b \sqrt{\frac{a}{b}} + \frac{1}{a} \sqrt{a^{3} b} - \frac{2}{b} \sqrt{a b^{3}} (a > 0, b > 0)$

题目SH-059-016

化简：

⑴ $\frac{x - y}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} \div \frac{x + y - 2 \sqrt{x y}}{\sqrt{x} - \sqrt{y}}$ ⑵ $\frac{1}{a} \sqrt{\frac{a}{a^{2} - b^{2}}} \div \frac{b}{a} \sqrt{\frac{a + b}{a - b}} \cdot \frac{a + b}{a} \cdot \sqrt{\frac{1}{a}} (a > b > 0)$

题目SH-059-017

化简 $\frac{1}{2} x \sqrt{4 x} - 6 x \sqrt{\frac{x}{9}} - 2 x^{2} \sqrt{\frac{1}{x}}$ ，求当 $x = \frac{1}{4}$ 的值．

题目SH-059-018

计算： $\sqrt{\frac{2 a}{5 b}} \cdot \sqrt{\frac{2 b}{c}} \cdot \sqrt{\frac{c}{5 a}}$
化简： $\sqrt{\frac{y}{8}} - [x \sqrt{\frac{y}{2 x^{2}}} - (\frac{y}{2 x} \sqrt{\frac{x^{2}}{2 y}} + x y^{2} \sqrt{\frac{8}{x^{2} y^{3}}})]$ $(x > 0)$ ；
化简： $\frac{a - b}{a} \sqrt{\frac{a^{2} - a b}{a^{3} - 2 a^{2} b + a b^{2}}}$ $(a > b > 0)$
已知 $\sqrt{x - 2} + y^{2} - y + \frac{1}{4} = 0$ ，求 $\frac{1}{\sqrt{x}} + \sqrt{1 - y}$ 的值．
化简 $\frac{a^{2} - a - 6}{a + 2} - \frac{\sqrt{a^{2} - 2 a + 1}}{a^{2} - a}$ ，求当 $a = \frac{1}{\sqrt{2}}$ 的值．