第2讲一元二次方程根的判别式一

知识模块 01 · 原讲小节

一元二次方程的判别式

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

知识讲解定义、性质与方法

知识模块 02 · 原讲小节

一元二次方程根的判别式

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

知识讲解定义、性质与方法

运用配方法解一元二次方程可得： ${(x + \frac{b}{2 a})}^{2} = \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}}$ ，

当 $b^{2} - 4 a c \geq 0$ 时，直接开平方得： $x + \frac{b}{2 a} = \pm \sqrt{\frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}}} = \pm \frac{\sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ ．

题目SH-066-001

也就是说，一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 只有当系数 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 满足条件 $b^{2} - 4 a c \geq 0$ 时才有实数根．这里 $b^{2} - 4 a c$ 叫做一元二次方程根的判别式．通常用符号“ $Δ$ ”标号，记作 $Δ = b^{2} - 4 a c$ ．

利用一元二次方程根的判别式判断根的情况：

当 $Δ = b^{2} - 4 a c > 0$ 时，方程有两个不相等实数根；
当 $Δ = b^{2} - 4 a c = 0$ 时，方程有两个相等实数根；
当 $Δ = b^{2} - 4 a c \geq 0$ 时，方程有两个实数根；
当 $Δ = b^{2} - 4 a c < 0$ 时，方程没有实数根．

题型

判定一元二次方程实根的个数以及根的特性．

题目SH-066-002难度 A · 基础

判断下列方程根的情况：

⑴ $\frac{1}{4} x^{2} - 3 x + 10 = 0$ ；⑵ $x^{2} - x = - \frac{1}{4}$ ；⑶ $x^{2} + \frac{2}{3} x = \frac{17}{9}$

题目SH-066-003难度 C · 综合

⑴ 已知直角三角形的三边为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ， $∠ B = 90 °$ ，则关于 $x$ 的方程

$a (x^{2} - 1) - 2 c x + b (x^{2} + 1) = 0$ 的根的情况为（）．

A. 有两个相等的实数根B. 没有实数根

C. 有两个不相等的实数根D. 无法确定

⑵ 对于一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ ，有下列四种条件：

① $b^{2} - 4 a c \geq 0$ ；② $b^{2} + 4 a c > 0$ ；③ $a 、 c$ 异号；④ $a + b + c$ 的值为零．

满足其中条件之一的方程一定有实数根的有（）．

A. $1$ 种B. $2$ 种C. $3$ 种D. $4$ 种

⑶ 若 $x_{0}$ 是一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ （ $a \neq 0$ ）的根，则判别式 $Δ = b^{2} - 4 a c$ 与平方式

$M = {(2 a x_{0} + b)}^{2}$ 的关系是（）．

A. $Δ > M$ ；B. $Δ = M$ ；C. $Δ < M$ ；D. 不确定．

题目SH-066-004难度 C · 综合

⑴已知关于 $x$ 的方程 $k x^{2} + 3 x - 1 = 0$ ，则请说明方程的根的情况．

⑵设 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 分别为 $Δ A B C$ 的三边，试判断关于 $x$ 的二次方程 $b^{2} x^{2} + (b^{2} + c^{2} - a^{2}) x + c^{2} = 0$ 有无实数根．

题目SH-066-005难度 C · 综合

如果 $a, b$ 为实数，试证方程 $(x - a) (x - b) = 1$ 的两根为两个不等的实数．

根的判别式的应用

根据方程根的情况，建立关于判别式的等式或不等式

当方程有两个不相等实数根时， $Δ = b^{2} - 4 a c > 0$ ；
当方程有两个相等实数根时， $Δ = b^{2} - 4 a c = 0$ ；
当方程有实数根时， $Δ = b^{2} - 4 a c \geq 0$ ；
当方程没有实数根时， $Δ = b^{2} - 4 a c < 0$ ．

题目SH-066-006

【注意】根的判别式的使用条件是在一元二次方程中，所以在解题中注意隐含条件二次项系数不为零．

根的判别式的应用题型：

参数范围：利用判别式建立等式、不等式，求方程中参数的值或取值范围；
构造一元二次方程：利用方程必有解，则判别式 $Δ \geq 0$ 求解最值问题、几何存在性问题．

【注意】对方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的根进行研究时，极易忽略对二次项系数 $a$ 的分类讨论．

⑴ 若 $a \neq 0$ ，方程为一元二次方程，可由判别式 $Δ$ 的正负性判断方程根的情况；

⑵ 若 $a = 0$ ，方程为一元一次方程，可依据含参一元一次方程的分类讨论方法判断根的

情形．

题目SH-066-007难度 C · 综合

⑴ 关于 $x$ 的一元二次方程 $(a + 1) x^{2} - 4 x - 1 = 0$ 有两个不相等的实数根，求 $a$ 的取值范围．

⑵ 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $(1 - 2 k) x^{2} - 2 \sqrt{k + 1} x - 1 = 0$ 有两个不相等的实数根，

那么 $k$ 的取值范围为____________．

题目SH-066-008难度 C · 综合

已知 $x^{2} - a x + 3 - b = 0$ 有两个不相等的实数根， $x^{2} + (6 - a) x + 6 - b = 0$ 有两个相等的实数根， $x^{2} + (4 - a) x + 5 - b = 0$ 没有实数根，试求 $a$ 的取值范围．

题目SH-066-009难度 D · 提升

若关于 $x$ 的方程 $m x^{2} - 2 (m + 2) x + m + 5 = 0$ 没有实数根，试判定关于 $x$ 的方程 $(m - 6) x^{2} - 2 (m + 2) x + m = 0$ 的根的情况．

题目SH-066-010难度 D · 提升

方程 $x^{2} + 2 (1 + a) x + (3 a^{2} + 4 a b + 4 b^{2} + 2) = 0$ 有实根，求 $a$ ， $b$ 的值．

已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + a x + (m + 1) (m + 2) = 0$ 对于任意实数 $a$ 都有实数根，求 $m$ 的取值范围．
若实数 $a$ ， $b$ 满足 $\frac{1}{2} a - a b + b^{2} + 2 = 0$ ，则 $a$ 的取值范围为____________．

关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 的根的判别式 $Δ =$ ，

当判别式 $Δ$ 时，方程有两个不相等的实数根；

当判别式 $Δ$ 时，方程有两个相等的实数根；

当 $Δ < 0$ 时，方程实数根；

当 $Δ \geq 0$ 时，方程的两根分别是 $x_{1} =$ ， $x_{2} =$ ．

题目SH-066-011

$m$ 为何值时，一元二次方程 $(5 - m) x^{2} - 2 m x - m + 5 = 0$ 必有两个实数根？
已知关于 $x$ 的二次方程 $k x^{2} - 12 x + 9 = 0$ 有两个相等实根，求 $k$ 的值．
已知一元二次方程 $(m - 3) x^{2} + 2 m x + m + 1 = 0$ 有两个不相等的实数根，求 $m$ 的取值范围．
如果方程 $x^{2} + 2 x + m = 0$ 有两个不相等的实数根，那么请证明方程 $3 x^{2} - 2 (3 m - 1) x + 3 m^{2} - 2 = 0$ 也有两个不相等的实数根．
如果关于 $x$ 的方程 $x^{2} - 2 x - m = 0$ 没有实数根，那么请说明方程 $x^{2} + 2 m x + m (m + 1) = 0$ 的根的情况．