几何2-三角形 · 第 109 讲

第2讲三角形的边

18 道题10 个知识模块答案解析精校中

本讲答案与解析正在逐题精校，完成后在题卡下方开放。当前请先独立作答，再回来对照。

知识模块 01 · 原讲小节

三角形

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

知识讲解定义、性质与方法

定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次联结所组成的封闭图形叫做三角形.

如图，在 $△ A B C$ 中， $A, B, C$ 是三角形的顶点， $A B, B C, C A$ 是三角形的边， $∠ A, ∠ B, ∠ C$ 是三角形的顶点.在本书中，如无特殊说明， $a, b, c$ 分别对应的是 $A, B, C$ 的对边.

知识模块 02 · 原讲小节

三角形的三边关系

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

知识讲解定义、性质与方法

三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边.

推论：三角形任意两边之差小于第三边.

即 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 三条线段可组成三角形 $\Leftrightarrow$ $| b - c | < a < b + c$ $\Leftrightarrow$ 两条较小的线段之和大于最大的线段．

知识模块 03 · 原讲小节

三角形的高（altitude）

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

知识讲解定义、性质与方法

三角形中，从一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高．

知识模块 04 · 原讲小节

三角形的中线（median）

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

知识讲解定义、性质与方法

三角形中，联结一个顶点及其对边中点的线段叫做三角形的中线．

三角形的角平分线（bisector of angle）

三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线．

注：三角形的三条高(所在直线)交于一点（垂心）；三条中线交于一点（重心）；三条角平分线交于一点（内心）.

知识模块 05 · 原讲小节

三角形的分类

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

知识讲解定义、性质与方法

按照边长来分，三角形可以分为以下两类：

不等边三角形：三条边都不相等的三角形
等腰三角形：

①底边和腰不相等的三角形；

②三边都相等的三角形——等边三角形.

知识模块 06 · 原讲小节

普通的三边关系

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

题目SH-109-001难度 B · 巩固

⑴ 已知三角形的三边长分别为 $4$ 、 $5$ 、 $x$ ，则 $x$ 不可能是（）．

A. $3$ B. $5$ C. $7$ D. $9$

⑵ 如果线段 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 能组成一个三角形，那么它们的长度的比可以是（）

A. $1 ∶ 1 ∶ 2$ B. $- 2 ∶ 5 ∶ 2$ C. $2017 ∶ 2018 ∶ 2019$ D. $3 ∶ 5 ∶ 9$

⑶ 一个三角形三边长分别为 $8$ ， $10$ ， $x$ ，则 $x$ 的取值范围是____________，周长 $l$ 的范围是____________．

⑷ 有三条线段，其中两条线段的长为 $3$ 和 $5$ ，第三条线段的长为 $x$ ，若这三条线段不能构成三角形，则 $x$ 的取值范围是____________．

⑴ 两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，则 $1 < x < 9$ ，所以不可能为 $9$ ，选 $D$ ．

⑵ 因为 $1 + 1 = 2$ ， $3 + 5 = 8$ ，且边不能为负数，所以 $A, B, D$ 均错，答案选 $C$ ．

⑶ 两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，则 $2 < x < 18$ ，所以周长 $20 < l < 36$ ．

⑷ 若能构成三角形，则 $2 < x < 8$ ，所以不能构成三角形时， $0 < x \leq 2$ 或 $x \geq 8$ ．

知识模块 07 · 原讲小节

有一些附加条件的三边关系

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

题目SH-109-002难度 C · 综合

⑴一个等腰三角形的两边长分别为 $3$ 和 $6$ ，则它的周长为____________．

⑵若三角形三边长分别为 $5 c m$ ， $7 c m$ ， $x c m$ ，则最长边 $x$ 的取值范围是____________．

⑶三角形的三边分别是 $3 x + 1$ ， $5$ ， $2 x - 1$ ，则 $x$ 的取值范围是____________．

题目SH-109-003难度 C · 综合

一个三角形的三边长分别是 $a, b, c$ （ $a, b, c$ 都是质数），且 $a + b + c = 16$ ，则这个三角形是（）．

A.直角三角形B.等腰三角形

C.等边三角形D.直角三角形或等腰三角形

知识模块 08 · 原讲小节

周长与最长边最短边的关系

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

题目SH-109-004难度 C · 综合

已知三角形周长为 $L$ ，则最长边 $a$ 的取值范围．并利用结论解答：

⑴ 已知三角形的周长为 $60$ ，则最长边 $a$ 的取值范围是．

⑵ 已知三角形中，最长边为 $9$ ，则三角形周长 $L$ 的取值范围是．

⑶ 已知凸六边形的周长为 $30$ ，则最长边 $a$ 的取值范围是_________________．

知识模块 09 · 原讲小节

利用三边关系数三角形个数

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

题目SH-109-005难度 C · 综合

⑴ 一个三角形的周长是偶数，其中的两条边长分别是 $4$ 和 $2015$ ，则满足上述条件的三角

形有____________个．

⑵ 已知三角形三边的长均为整数，其中某两条边长之差为 $5$ ，若此三角形周长为偶数，

则第三边的最小值为____________．

⑶ 三角形边长都是正整数，其中最长边为 $10$ ，则这样的三角形共有____________个．

⑷ 周长为 $30$ ，各边长互不相等且都是整数的三角形共有个.

题目SH-109-006难度 C · 综合

如下图所示，四边形 $A B C D$ 中，四条边长分别为 $A B = 3$ ， $B C = 4$ ， $C D = 9$ ， $A D = a$ ，则 $a$ 的取值范围是____________．

题目SH-109-007难度 D · 提升

⑴ 已知：如图 $1$ ， $P$ 为 $△ A B C$ 内任意一点．求证： $P A + P B + P C > \frac{1}{2} (A B + B C + A C)$ ．

⑵ 已知：如图 $2$ ， $P$ 为 $△ A B C$ 内任意一点．求证： $A B + A C > P B + P C$ ．

⑶ 已知：如图 $3$ ， $P$ 为 $△ A B C$ 内任意一点．求证： $P A + P B + P C < A B + B C + A C$ ．

图 $1$ 图 $2$ 图 $3$

知识模块 10 · 原讲小节

综合练习

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

题目SH-109-008

在锐角 $△ A B C$ 中，已知 $∠ B = 2 ∠ C$ ，求证： $A C < 2 A B$ .

以下列各组线段为边，能组成三角形的是 $($ 　　 $)$

A． $2 c m$ 、 $2 c m$ 、 $4 c m$ B． $2 c m$ 、 $6 c m$ 、 $3 c m$

C． $8 c m$ 、 $6 c m$ 、 $3 c m$ D． $11 c m$ 、 $4 c m$ 、 $6 c m$

有长为 $2 c m$ 、 $3 c m$ 、 $4 c m$ 、 $6 c m$ 的四根木棒，选其中的3根作为三角形的边，可以围成的三角形的个数是 $($ 　　 $)$

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

题目SH-109-009

一个三角形的两边长分别是3和8，而第三边长为奇数，那么第三边长是 $($ 　　 $)$

A．5或7 B．7或9 C．9或11 D．11

题目SH-109-010

若等腰三角形的周长为 $20 c m$ ，那么腰长 $x$ 的取值范围是．

题目SH-109-011

周长为 $24$ ，各边长互不相等且都是整数的三角形共有________个．

题目SH-109-012

⑴ 已知三角形的两边长分别为 $3 c m$ 和 $8 c m$ ，则此三角形第三边的长可能是（）

A. $4 c m$ B. $5 c m$ C. $6 c m$ D. $13 c m$

⑵ 如图，为估计池塘岸边 $A$ 、 $B$ 两点的距离，小方在池塘的一侧选取一点 $O$ ，测得 $O A = 15$ 米， $O B = 10$ 米，则 $A$ 、 $B$ 间的距离不可能是（）

A. $5$ 米B. $10$ 米C. $15$ 米D. $20$ 米

题目SH-109-013

下列不能构成三角形三边长的数组是（）．

$A$ ． $| - 2 |$ 、 $| - 3 |$ 、 $| - 4 |$ $B$ ． $\frac{1}{2}$ 、 $\frac{1}{3}$ 、 $\frac{1}{4}$

$C$ ． $a^{2} + 1$ 、 $2 a^{2} + 1$ 、 $3 a^{2} + 1$ $D$ ． $5^{2}$ 、 $1 2^{2}$ 、 $1 3^{2}$

题目SH-109-014

已知三角形中两边长为 $2$ 和 $7$ ，

⑴ 若第三边长为奇数，则这个三角形的周长为____________．

⑵ 若这个三角形的周长为奇数，则第三边长为____________．

题目SH-109-015

⑴ 已知三角形三边长分别为 $2$ ， $x - 1$ ， $3$ ，则 $x$ 的取值范围是____________．

⑵ 若三角形的两条边长分别为 $5 c m$ 和 $6 c m$ ，第三条边为最短边，长度为 $x c m$ ，那么 $x$ 的取值范围是____________．

⑴ 以一根 $15 c m$ 长的铁丝为周长围成一个三角形，最长边为 $x c m$ ，那么 $x$ 的取值范围

是____________．

⑵ 已知一个四边形的四条边长分别为 $3 c m$ ， $4 c m$ ， $6 c m$ ， $a c m$ ，那么 $a$ 的取值范围

是____________．

设 $m$ 、 $n$ 、 $p$ 均为自然数，足 $m \leq n \leq p$ ， $m + n + p = 15$ ，试问以 $m$ 、 $n$ 、 $p$ 为边长的三角形有多少个?

题目SH-109-016

已知一个平行四边形相邻的两边长不相等且都为整数，若它的两条对角线长分别为 $8 c m$ 和 $12 c m$ ，则它相邻两边的长度不可以分别是（）．

A. $4 c m$ ， $6 c m$ B. $5 c m$ ， $6 c m$ C. $6 c m$ ， $8 c m$ D. $8 c m$ ， $10 c m$

题目SH-109-017

已知 $△ A B C$ 有两边长为 $a$ 、 $b$ ，其中 $a < b$ ，则其周长 $l$ 一定满足（）．

A． $2 b < l < 2 (a + b)$ B． $2 a < l < 2 b$ C． $a < l < a + b$ D． $a < l < 2 a + b$

题目SH-109-018

已知四边形的四条边长分别为 $5$ ， $7$ ， $13$ ， $x$ ，那么 $x$ 的取值范围为__________．
已知四边形的边长互不相等且分别为 $4$ ， $5$ ， $13$ ， $x$ ，若四边形的周长为奇数，那么整数 $x$ 的取值有__________个．
如图，已知四边形 $A B C D$ ，对角线 $A C$ 与 $B D$ 相交于点 $O$ ．

求证： $A B + B C + C D + D A > A C + B D > \frac{1}{2} (A B + B C + C D + D A)$ ．