中考-一模 · 第 159 讲

第7讲一轮热身（一）

17 道题3 个知识模块答案解析精校中

本讲答案与解析正在逐题精校，完成后在题卡下方开放。当前请先独立作答，再回来对照。

知识模块 01 · 原讲小节

一轮热身（一）

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

知识讲解定义、性质与方法

一模之填选

一模(初三第一学期期末质量抽查试卷)的成绩好坏不在于最后的压轴题做得多么的出色，在于的是选择题和填空题的准确率．选择、填空题（ $18 \times 4 = 72$ 分）占了整张数学卷子（ $150$ 分）的 $48 %$ ．

保证选择、填空的正确率：

① 规定时间内完成（解题速度）

② 错误率争取降到 $0 %$ （运算能力）

③ 考虑问题全面（思路严密）

一、函数

※※※二次函数

在二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 中，如果 $a > 0$ ， $b < 0$ ， $c > 0$ ，那么它的图像一定不经过（）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 过 $(- 1, 1)$ 和 $（ 5, 1 ）$ 两点，那么该抛物线的对称轴是________．
如果抛物线经过点 $A （ - 1, 7 ）$ 、 $B （ m, 7 ）$ ，那么 $m =$ ________．
抛物线 $y = x^{2} - 2 x + m^{2} + 2$ （ $m$ 是常数）的顶点在（）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

如果点 $A （ - 2 ， y_{1} ）$ 和点 $B （ 2 ， y_{2} ）$ 是抛物线 $y = {(x + 3)}^{2}$ 上的两点，那么 $y_{1}$ ________ $y_{2}$ ．（填“＞”、“=”、“＜”）
已知二次函数 $y = f (x)$ 的图像开口向上，对称轴为直线 $x = 4$ ，则 $f (1)$ ________ $f (5)$ （填“＞”或“＜”）
已知二次函数 $y = - 2 x^{2} + 4 x - 1$ ，如果 $y$ 随 $x$ 的增大而减小，那么 $x$ 的取值范围是________．
对于二次函数 $y = - \frac{1}{4} x^{2} + x - 4$ ，下列说法正确的是（）

A．当 $x > 0$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而增大 B．当 $x = 2$ 时， $y$ 有最大值 $- 3$

C．图像的顶点坐标为 $(- 2, - 7)$ D．图像与 $x$ 轴有两个交点

已知抛物线 $y = x^{2} - 2 m x - 4 (m > 0)$ 的顶点 $M$ 关于坐标原点 $O$ 的对称点为 $M'$ ，若点 $M'$ 在这条抛物线上，则点 $M$ 的坐标为（）

A． $（ 1 ， - 5 ）$ B． $（ 3 ， - 13 ）$ C． $（ 2 ， - 8 ）$ D． $（ 4 ， - 20 ）$

如果将某一抛物线向右平移 $2$ 个单位，再向上平移 $2$ 个单位后所得新抛物线的表达式是 $y = 2 {(x - 1)}^{2}$ ，那么原抛物线的表达式是________．

二、※※※比例与相似

【比例的性质比例线段黄金分割三角形的重心平行线分线段成比例相似三角形的判定与性质】

已知： $3 a = 2 b$ ，那么 $\frac{2 a + 3 b}{2 a - 3 b} =$ ________．
已知线段 $a = 3$ ， $b = 6$ ，那么线段 $a$ 、 $b$ 的比例中项等于________．
已知点 $P$ 是线段 $A B$ 上的黄金分割点， $P B = 2$ ，那么 $P A =$ ________．
如果点 $P$ 是线段 $A B$ 的黄金分割点，且 $A P > B P$ ，则下列命题：

① $A B^{2} = A P \cdot P B$ ，② $A P^{2} = A B \cdot P B$ ，③ $P B^{2} = A P \cdot A B$ ，④ $A P : A B = P B : A P$ ，

其中正确的是________（填序号）．

已知 $△ A B C$ 中， $G$ 是三角形的重心， $A G ⊥ G C$ ， $A C = 4$ ，则 $B G$ 的长为________．

如图， $△ A B C$ 的两条中线 $A D$ 、 $C E$ 交于点 $G$ ，且 $A D ⊥ C E$ ，联结 $B G$ 并延长与 $A C$ 交于点 $F$ ，如果 $A D = 9$ ， $C E = 12$ ，那么下列结论不正确的是（）

A． $A C = 10$ B． $A B = 15$ C． $B G = 10$ D． $B F = 15$

如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，点 $E$ 在边上，联结 $C E$ 并延长，交对角线 $B D$ 于点 $F$ ，交 $B A$ 的延长线于点 $G$ ，如果 $D E = \frac{3}{2} A E$ ，那么 $C F : E F : E G =$ ________．

已知：如图 $A D ∥ E F ∥ B C$ ， $A D = 3$ ， $B C = 5$ ， $A B = 12$ ，则 $E F =$ ________， $A F =$ ________．

如图，点 $E$ 、 $F$ 分别在菱形 $A B C D$ 的边 $A B$ 、 $A D$ 上，且 $A E = D F$ ， $B F$ 交 $D E$ 于点 $G$ ，延长 $B F$ 交 $C D$ 的延长线于 $H$ ，若 $\frac{A F}{D F} = 2$ ，则 $\frac{H F}{B G}$ 的值为________．

$△ A B C$ 中，正方形 $E F G H$ 的两个顶点 $E$ 、 $F$ 在 $B C$ 上，另两个顶点 $G$ 、 $H$ 分别在 $A C$ 、 $A B$ 上， $B C = 15$ ， $B C$ 边上的高 $A D = 10$ ，则 $S_{E F G H} =$ ________．

三、※※※锐角三角比

【锐角三角比的定义锐角三角比的增减性特殊角的锐角三角比解直角三角形的应用】

如果锐角 $α$ 的正弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，那么下列结论中正确的是（）

$A ． α = 30 °$ $B ． α = 45 °$ $C ． 30 ° ＜ α ＜ 45 °$ $D ． 45 ° ＜ α ＜ 60 °$

$2 c o s 3 0^{°} - t a n 6 0^{°} + \frac{1}{s i n 3 0^{°} - 2 c o t 4 5^{°}} =$ ________．
已知一个坡的坡比为 $i$ ，坡角为 $α$ ，则下列等式成立的是（）

$A ． i = s i n α$ $B ． i = c o s α$ $C ． i = t a n α$ $D ． i = c o t α$

在高为 $100$ 米的楼顶测得地面上某目标的俯角为 $α$ ，那么楼底到该目标的水平距离是________米．
如图，一艘海轮位于灯塔 $P$ 的北偏东 $60 °$ 方向，距离灯塔 $86 n$ $m i l e$ 的 $A$ 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 $P$ 的南偏东 $45 °$ 方向上的 $B$ 处，此时， $B$ 处与灯塔 $P$ 的距离约为________ $m i l e$ ．（结果取整数，参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.7$ ， $\sqrt{2} \approx 1.4$ ）

如图，在边长相同的小正方形网格中，点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 都在这些小正方形的顶点上， $A B$ 与 $C D$ 相交于点 $P$ ，则 $t a n ∠ A P D$ 的值为________．

知识模块 02 · 原讲小节

平面向量

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题目SH-159-001

已知 $\vec{b} = - 2 \vec{a}$ （ $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 均为非零向量），那么下列判断错误的是（）

A． $| \vec{b} | = 2 | \vec{a} |$ B． $2 \vec{a} + \vec{b} = 0$ C． $\vec{a} ∥ \vec{b}$ D． $\vec{b} \neq \vec{a}$

题目SH-159-002

已知非零向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 之间满足 $\vec{a} = - 3 \vec{b}$ ，下列判断正确的是（）

A． $\vec{a}$ 的模为 $3$ B． $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的模之比为 $- 3 : 1$

C． $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 平行且方向相同 D． $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 平行且方向相反

题目SH-159-003

下列说法中，错误的是（）

题目SH-159-004

A．长度为 $1$ 的向量叫做单位向量

B．如果 $k \neq 0$ ，且 $\vec{a} \neq \vec{0}$ ，那么 $k \vec{a}$ 的方向与 $\vec{a}$ 的方向相同

C．如果 $k = 0$ 或 $\vec{a} = \vec{0}$ ，那么 $k \vec{a} = \vec{0}$

D．如果 $\vec{a} = \frac{5}{2} \vec{c}$ ， $\vec{b} = \frac{1}{2} \vec{c}$ ，其中 $\vec{c}$ 是非零向量，那么 $\vec{a} ∥ \vec{b}$

如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $A C$ 与 $B D$ 相交于点 $O$ ，点 $E$ 、 $F$ 分别是 $O A$ 、 $O D$ 的中点，如果 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{B O} = \vec{b}$ ，那么 $\vec{E F} =$ ________．

知识模块 03 · 原讲小节

圆

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题目SH-159-005

已知点 $P$ 在半径为 $5$ 的 $⊙ O$ 外，如果设 $O P = x$ ，那么 $x$ 的取值范围是________．
已知等腰三角形的腰长为 $6 c m$ ，底边长为 $4 c m$ ，以等腰三角形的顶角的顶点为圆心 $5 c m$ 为半径画圆，那么该圆与底边的位置关系是（）

A．相离B．相切C．相交D．不能确定

如果 $⊙ O_{1}$ 和 $⊙ O_{2}$ 内含，圆心距 $O_{1} O_{2} = 4$ ， $⊙ O_{1}$ 的半径长是 $6$ ，那么 $⊙ O_{2}$ 的半径 $r$ 的取值范围是 $($ 　　 $)$

A． $0 < r < 2$ B． $2 < r < 4$ C． $r > 10$ D． $0 < r < 2$ 或 $r > 10$

如图，已知 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 3$ ， $B C = 4$ ，如果以点 $C$ 为圆心的圆与斜边 $A B$ 有公共点，那么 $⊙ C$ 的半径 $r$ 的取值范围是 $($ 　　 $)$

题目SH-159-006

A． $0 \leq r \leq \frac{12}{5}$ B． $\frac{12}{5} \leq r \leq 3$ C． $\frac{12}{5} \leq r \leq 4$ D． $3 \leq r \leq 4$

已知 $⊙ O_{1}$ 和 $⊙ O_{2}$ 的半径长分别为 $3$ 和 $4$ ，若 $⊙ O_{1}$ 和 $⊙ O_{2}$ 内切，那么圆心距 $O_{1} O_{2}$ 的长等于________．
如图，已知 $⊙ O$ 中， $∠ A O B = 120 °$ ，弦 $A B = 18$ ，那么 $⊙ O$ 的半径长等于________．

题目SH-159-007

如图，在直角坐标系中，以点 $P$ 为圆心的弧与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点，已知点 $P$ 的坐标为 $(1, y)$ ，点 $A$ 的坐标为 $(- 1, 0)$ ，那么点 $B$ 的坐标为________．

题目SH-159-008

如果大小不同的两个圆外切时的圆心距为 $5$ 厘米，并且它们内切时的圆心距为 $1$ 厘米，那么其中较大圆的半径为________厘米．

去年一模共有4个区考了圆（奉贤/金山/崇明/闵行）

抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 上部分点的横坐标 $x$ ，纵坐标 $y$ 的对应值如下表所示：

x	…	﹣2	﹣1	0	1	2	…
y	…	0	4	6	6	4	…

从上表可知，下列说法中，错误的是（）

A．抛物线与轴的一个交点坐标为 $（ - 2, 0 ）$

B．抛物线与轴的交点坐标为 $（ 0, 6 ）$

C．抛物线的对称轴是直线 $x = 0$

D．抛物线在对称轴左侧部分是上升的

题目SH-159-009

在 $△ A B C$ 中， $∠ B = 45 °$ ，点 $D$ 在边 $B C$ 上， $A D = A C$ ，点 $E$ 在边 $A D$ 上， $∠ B C E = 45 °$ ，

若 $A B = 5 \sqrt{2}$ ， $A E = 2 D E$ ，则 $A C =$ ________．

题目SH-159-010

如图，已知 $D$ 是 $△ A B C$ 中的边 $B C$ 上的一点， $∠ B A D = ∠ C ， ∠ A B C$ 的平分线交边 $A C$ 于 $E$ ，交 $A D$ 于 $F$ ， $B F = \frac{5}{2} E F$ ， $A B = 4$ ，则 $B D =$ ________， $B C =$ ________．

题目SH-159-011

如图，在梯形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C$ ， $A C$ 与 $B D$ 相交于点 $O$ ，如果 $B C = 2 A D$ ，那么 $S_{△ A D C} ： S_{△ A B C}$ 的值为________．

题目SH-159-012

已知 $⊙ A$ 与 $⊙ B$ 的半径分别是 $6$ 和 $8$ ，圆心距 $A B = 2$ ，那么 $⊙ A$ 与 $⊙ B$ 的位置关系是

（A）相交；（B）内切；（C）外切；（D）内含.

（松江一模）

如图，在直角坐标平面 $x O y$ 中，点 $A$ 坐标为 $(3, 2)$ ， $∠ A O B = 90 °$ ， $∠ O A B = 30 °$ ， $A B$ 与 $x$ 轴交于点 $C$ ，那么 $A C : B C$ 的值为________．

题目SH-159-013

（徐汇一模）

在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 3$ ， $B C = 4$ （如图），将 $△ A C B$ 绕点 $A$ 顺时针方向旋转得 $△ A D E$ （点 $C$ 、 $B$ 的对应点分别为 $D$ 、 $E)$ ，点 $D$ 恰好落在直线 $B E$ 上和直线 $A C$ 交于点 $F$ ，则线段 $A F$ 的长为________．

题目SH-159-014

（黄浦一模）

如图，菱形 $A B C D$ 内两点 $M$ 、 $N$ ，满足 $M B ⊥ B C$ ， $M D ⊥ D C$ ， $N B ⊥ B A$ ， $N D ⊥ D A$ ，若四边形 $B M D N$ 的面积是菱形 $A B C D$ 面积的 $\frac{1}{5}$ ，则 $c o s A =$ ________．

题目SH-159-015

（长宁、金山一模）

如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $A B = 2$ ， $B C = 4$ ，点 $P$ 在边 $B C$ 上，联结 $A P$ ，将 $△ A B P$ 绕着点 $A$ 旋转，使得点 $P$ 与边 $A C$ 的中点 $M$ 重合，点 $B$ 的对应点是点 $B'$ ，则 $B B'$ 的长等于________．

题目SH-159-016

如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 5$ ， $B C = 3$ ，点 $E$ 是边 $A B$ 上一点，且 $B E = 4$ ，作 $E F ⊥ D E$ ，交 $B C$ 于 $F$ ，并以 $D E$ 、 $E F$ 为边作矩形 $E F G H$ ，联结 $B G$ ，分别交 $E F$ 和 $D C$ 于点 $M$ 、 $N$ ，则 $t a n ∠ N B C =$ ________， $\frac{B M}{N G} =$ ________， $E M =$ ________．

题目SH-159-017

如图，过锐角 $△ A B C$ 的顶点 $A$ 作 $D E ∥ B C$ ， $A B$ 恰好平分 $∠ D A C$ ， $A F$ 平分 $∠ E A C$ 交 $B C$ 的延长线于点 $F$ ．在 $A F$ 上取点 $M$ ，使得 $A M = \frac{1}{3} A F$ ，联结 $C M$ 并延长交直线 $D E$ 于点 $H$ ．若 $A C = 2$ ， $△ A M H$ 的面积是 $\frac{1}{12}$ ，则 $s i n ∠ A C B =$ ________．