第3讲一元二次方程根的判别式二

知识模块 01 · 原讲小节

综合练习

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

题目SH-067-001

如果关于 $x$ 的方程 $x^{2} - 2 x - m = 0$ ①没有实数根，那么请说明方程

$x^{2} + 2 m x + m (m + 1) = 0$ ②的根的情况．

题目SH-067-002

已知： $a, b, c$ 是 $△ A B C$ 的三边，当 $m > 0$ 时，关于 $x$ 的方程 $c (x^{2} + m) +$

$b (x^{2} - m) - 2 \sqrt{m} a x = 0$ 有两个相等的实数根．

求证： $△ A B C$ 是直角三角形．

知识模块 02 · 原讲小节

一元二次方程根的判别式

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

知识讲解定义、性质与方法

运用配方法解一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 可得： ${(x + \frac{b}{2 a})}^{2} = \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}}$ ，

当 $b^{2} - 4 a c \geq 0$ 时，直接开平方得： $x + \frac{b}{2 a} = \pm \sqrt{\frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}}} = \pm \frac{\sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ ．

也就是说，一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 只有当系数 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 满足条件 $b^{2} - 4 a c \geq 0$ 时

才有实数根．

这里 $b^{2} - 4 a c$ 叫做一元二次方程根的判别式．通常用符号“ $Δ$ ”标号，记作 $Δ = b^{2} - 4 a c$ ．

当 $Δ = b^{2} - 4 a c > 0$ 时 $\Leftrightarrow$ 方程有两个不相等实数根；
当 $Δ = b^{2} - 4 a c = 0$ 时 $\Leftrightarrow$ 方程有两个相等实数根；
当 $Δ = b^{2} - 4 a c \geq 0$ 时 $\Leftrightarrow$ 方程有两个实数根；
当 $Δ = b^{2} - 4 a c < 0$ 时 $\Leftrightarrow$ 方程没有实数根．

知识模块 03 · 原讲小节

根的判别式的应用

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

题目SH-067-003

运用判别式，判定方程实数根的个数；
利用判别式建立等式、不等式，求方程中参数的值或取值范围；
借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型解几何存在性问题和最值问题；
通过判别式，证明与方程相关的代数问题；当出现了形如一个平方式与两个代数式的积的不等式问题时，可以考虑利用这种结构构造一元二次方程．

题目SH-067-004难度 B · 巩固

已知关于 $x$ 的方程 $m x^{2} + （ 2 m - 1) x + (m + 1) = 0$ ①无实数根，那么请说明方程 $x^{2} + m x - \frac{3 m + 2}{4} = 0$ ②的根的情况．

题目SH-067-005难度 B · 巩固

当 $a, b$ 为何值时，方程 $x^{2} + 2 (1 + a) x + (3 a^{2} + 4 a b + 4 b^{2} + 2) = 0$ 有实根？

题目SH-067-006难度 C · 综合

已知二次方程 $(a b - 2 b) x^{2} + 2 (b - a) x + 2 a - a b = 0$ 有两个相等的实数根，那么 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} =_________$ ．

题目SH-067-007难度 C · 综合

题目SH-067-008

已知：关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 2 m x + (m + 1) (m - 1) = 0$ ：

⑴求证：无论 $m$ 取何值，这个方程总有实数根；

⑵若 $△ A B C$ 的两边的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为 $3$ ，当 $△ A B C$ 为等腰三角形时，求 $m$ 的值及 $△ A B C$ 的周长．

题目SH-067-009

已知关于 $x$ 的方程 $x^{2} - (3 k + 1) x + 2 k^{2} + 2 k = 0$ ．

⑴求证：无论 $k$ 取任何实数值，方程总有实数根；

⑵若等腰 $△ A B C$ 的一边长 $a = 6$ ，另两边长 $b, c$ 恰好是这个方程的两个根，求 $△ A B C$ 的周长．

题目SH-067-010难度 C · 综合

已知 $m, n$ 为整数，关于 $x$ 的二次方程 $x^{2} + (7 - m) x + 3 + n = 0$ 有两个不相等的实数根， $x^{2} + (4 + m) x + n + 6 = 0$ 有两个相等的实数根， $x^{2} - (m - 4) x + n + 1 = 0$ 没有实数根，求 $m, n$ 的值.

题目SH-067-011难度 C · 综合

已知关于 $x$ 的二次方程 $x^{2} + a x + c = 0$ 与 $x^{2} + b x + d = 0$ ，求证：当 $a b = 2 (c + d)$ 时，这两个方程中至少有一个方程有实根．

题目SH-067-012难度 D · 提升

题目SH-067-013

若两个方程 $x^{2} + 4 a x + 4 a^{2} + a = 0$ ， $x^{2} + (2 a - 1) x + a^{2} = 0$ 中至少有一个方程有实数根，则求 $a$ 的取值范围．

题目SH-067-014

若关于 $x$ 的方程 $x^{2} - 2 x + k = 0$ ， $x^{2} - 3 x + k + 4 = 0$ ， $x^{2} - 4 x - k + 8 = 0$ 中，至少有一个方程有实数根，求实数 $k$ 的取值范围．

题目SH-067-015难度 D · 提升

题目SH-067-016

已知关于 $x$ 的方程 $x^{3} + (1 - a) x^{2} - 2 a x + a^{2} = 0$ 有且只有一个实根，求实数 $a$ 的取值范围.

关于 $x$ 的方程 $x^{3} - a x^{2} - 2 a x + a^{2} - 1 = 0$ 只有一个实数根，则 $a$ 的取值范围.

题目SH-067-017难度 C · 综合

在等腰 $△ A B C$ 中， $∠ A, ∠ B, ∠ C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $a = 3$ ， $b$ 和 $c$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} + m x + 2 - \frac{1}{2} m = 0$ 的两个实数根，求 $△ A B C$ 的周长．

题目SH-067-018难度 C · 综合

已知三个二次方程 $x^{2} + 4 a x - (4 a - 3) = 0$ ① $x^{2} + (a - 1) x + a^{2} = 0$ ② $x^{2} + 2 a x - 2 a = 0$ ③中，至少有一个方程有实数根，求实数 $a$ 的取值范围．

题目SH-067-019

当 $k$ 取何值时，关于 $x$ 的方程 $k x^{2} + 2 k x + 1 = x^{2} + 3 x - k$ 有实数根？
已知关于 $x$ 的方程 $x^{2} - 2 (a - 1) x - {(b - 2)}^{2} = 0$ 有两个相等的实数根，求 $a^{2018} + b^{- 1}$ 的值．
⑴已知关于 $x$ 的方程 $a (x^{2} + 1) - 2 b x + c (x^{2} - 1) = 0$ 有两个相等的实数根， $a$ 、 $b$ 、 $c$ 为一三角形的三条边，求此三角形的形状．

⑵若关于 $x$ 的方程 $a (2 x - 1) + b {(x - 1)}^{2} - c x^{2} = 0$ 有两个相等的实数根，且 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 是 $△ A B C$ 的三边，求证： $△ A B C$ 是等腰三角形．

题目SH-067-020

在等腰 $△ A B C$ 中，三边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，其中 $a = 5$ ，若关于 $x$ 的方程 $x^{2} + (b + 2) x + 6 - b = 0$ 有两个相等的实数根，求 $△ A B C$ 的周长．
求方程 $x^{2} + x y + y^{2} - 3 x - 3 y + 3 = 0$ 的实数解(提示：主元法).

题目SH-067-021

若实数 $x, y$ 满足 $(x + 2 y - 2) (3 x + 2 y + 2) + 2 (x^{2} + 4) = 0$ ，求 $x + y$ ．
已知 $p, q, r$ 都是正数，求证：关于 $x$ 的三个方程 $x^{2} - \sqrt{p} x + \frac{q}{8} = 0,$ $x^{2} - \sqrt{q} x + \frac{r}{8} = 0,$ $x^{2} - \sqrt{r} x + \frac{p}{8} = 0$ 中至少有一个方程有两个不等的正根．