统计与概率 · 第 141 讲

第1讲等可能事件

13 道题5 个知识模块答案解析精校中

本讲答案与解析正在逐题精校，完成后在题卡下方开放。当前请先独立作答，再回来对照。

知识模块 01 · 原讲小节

加乘原理

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

知识讲解定义、性质与方法

等可能事件

一、加乘原理

⑴加法原理：如果完成一件事有 $n$ 类方法（每一类中的任何一种方法都能独立完成这件事情），第 $1$ 类中有 $m_{1}$ 种不同的方法，第 $2$ 类中有 $m_{2}$ 种不同的方法，…，第 $n$ 类中有 $m_{n}$ 种不同的方法，则完成这件事一共有 $N = m_{1} + m_{2} + \dots + m_{n}$ 种不同的方法．

加法原理适用的范围：完成一件事的方法分为几类，每一类中的每一种方法都能完成任务．我们可以简单记为“加法分类，类类独立”．

例

小峰要到学而思楼下的奶茶店买奶茶，他可以坐公交或者地铁，已知公交有三条线可以到达，地铁有两条线可以到达，问小峰有多少种方案可以到达目的地？

解析：分类，方案一：公交， $3$ 个，方案二：地铁， $2$ 个

∴共 $3 + 2 = 5$ 个方案．

⑵乘法原理：如果完成一件事需要 $n$ 个步骤（缺一不可），第 $1$ 步有 $m_{1}$ 种不同的方法，第 $2$ 步有 $m_{2}$ 种不同的方法，…，第 $n$ 步有 $m_{n}$ 种不同的方法，则完成这件事一共有 $N = m_{1} m_{2} \dots m_{n}$ 种不同的方法．

乘法原理适用的范围：这件事要分为几个彼此互不影响的独立步骤来完成，这几步是缺一不可的．我们可以简单记为“乘法分步，步步相关”．

例

小峰要从上海去合肥，再从合肥去北京，已知他从上海去合肥可以坐汽车，飞机或者火车，从合肥去北京可以坐飞机或者火车，问小峰从上海到北京有多少种走法？

解析：如图

分步，第一步：上海去合肥， $3$ 个选择；第二步：合肥到北京， $2$ 个选择

∴共 $3 \times 2 = 6$ 个方案．

知识模块 02 · 原讲小节

确定事件与不确定事件

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知识讲解定义、性质与方法

⑴确定事件：必然事件和不可能事件统称为确定事件；

①必然事件：无需通过试验就能够预先确定它们在每一次实验中都一定会发生的事件；

②不可能事件：在每一次试验中都一定不会发生的事件；

⑵不确定事件：无法预先确定在一次试验中是否会发生的事件（也叫随机事件）．

知识模块 03 · 原讲小节

等可能事件

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知识讲解定义、性质与方法

如果一次试验由 $n$ 个基本事件组成，而且所有结果出现的可能性都是相等的，那么每一个基本事件互为等可能事件．

题目SH-141-001难度 A · 基础

⑴．下列事件：

①在足球赛中，中国队战胜巴西队．

②抛掷 $1$ 枚硬币，硬币落地时正面朝上．

③任取两个正整数，其和大于 $1$ .

④长为 $3 c m$ ， $5 c m$ ， $9 c m$ 的三条线段能围成一个三角形．

其中确定事件有（）

A． $1$ 个B． $2$ 个C． $3$ 个D． $4$ 个

⑵．下列事件中，属于确定事件的个数是（）

①石头孵出小鸡；

②投掷一枚普通的骰子，掷得的点数小于 $10$ ；

③射击运动员射击一次，命中 $10$ 环；

④在一个只装有红球的袋中摸出白球．

A． $0$ B． $1$ C． $2$ D． $3$

⑶．下列事件中，是必然事件的为（）

A． $3$ 天内会下雨

B．打开电视机，正在播放广告

C． $367$ 人中至少有 $2$ 人公历生日相同

D．某妇产医院里，下一个出生的婴儿是女孩

⑷．在一个不透明的盒子里装有 $3$ 个黑球和 $1$ 个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出 $2$ 个球，下列事件中，不可能事件是（）

A．摸出的 $2$ 个球都是白球 B．摸出的 $2$ 个球有一个是白球

C．摸出的 $2$ 个球都是黑球 D．摸出的 $2$ 个球有一个是黑球

题目SH-141-002难度 B · 巩固

现有 $5$ 幅不同的国画， $2$ 幅不同的油画， $7$ 幅不同的水彩画，从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有多少种不同的选法？

盛盛用红黄蓝绿四面旗子挂在旗杆上来表示信号，每次可以挂一面、两面或三面旗子，不同的顺序表示不同的信号，共可以表示多少种不同的信号？

知识模块 04 · 原讲小节

概率（ P ）

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知识讲解定义、性质与方法

概率：用来表示某事件发生的可能性大小的数叫做这个事件的概率（probability）.

一般对于事件 $A$ 的概率，用“ $P (A)$ ”表示

不可能事件必定不发生，规定用“ $0$ ”作为不可能事件的概率；而必然事件必定发生，就规定用“ $1$ ”作为必然事件的概率. （确定事件的概率必为 $0$ 或 $1$ ）

随机事件的概率是大于 $0$ 且小于 $1$ 的一个数，通常可以写成纯小数、百分数或真分数.

传统的随机事件（不确定事件）有： $0 < P (A) < 1$ ．

等可能试验为一项具有以下特点的、可以反复进行的试验：

①试验结果是有限个，各种结果可能出现的机会是均等的；

②任何两个结果不可能同时出现．

一般地，如果一个试验共有 $n$ 个等可能的结果，事件 $A$ 包含其中的 $k$ 个结果，那么事件 $A$ 的概率：

P (A) = \frac{事 件 A 包 含 的 可 能 结 果 数}{所 有 的 可 能 结 果 总 数} = \frac{k}{n}

题目SH-141-003难度 B · 巩固

⑴ 如图，图形由边长均相等的小正方形组成，将一粒米粒随机地撒在图形上，那么米粒最终停留在蓝色区域的概率是__________．

⑵ 如图，有甲、乙两种地板样式，如果小球分别在上面自由滚动，设小球在甲种地板上最终停留在蓝色区域的概率为 $P_{1}$ ，在乙种地板上最终停留在蓝色区域的概率为 $P_{2}$ ，则（）

甲乙

A． $P_{1} > P_{2}$ B． $P_{1} < P_{2}$ C． $P_{1} = P_{2}$ D．以上都有可能

⑴ 正方形地板由 $9$ 块边长均相等的小正方形组成，米粒随机地撒在如图所示的正方形地板上．那么米粒最终停留在蓝色区域的概率是（）

A． $\frac{1}{3}$ B． $\frac{2}{9}$ C． $\frac{2}{3}$ D． $\frac{4}{9}$

⑵ 如图为四个正方形所构成的图形，且较小的正方形的顶点是较大正方形各边的中点，在正方形 $A B C D$ 内投入一粒米，则米粒落在阴影部分的概率为__________.

题目SH-141-004难度 B · 巩固

⑴ 盒子里装有 $5$ 个红球， $3$ 个白球，它们除去颜色不同外其他完全相同，从盒子里摸出一个球，再放回去，把球搅拌均匀后再摸出一个球，两次都摸到红球的概率是多少？

⑵ 盒子里装有 $5$ 个红球， $3$ 个白球，它们除去颜色不同外其他完全相同，从盒子里摸出一个球，再放回去，把球搅拌均匀后再摸出一个球，两次都摸到白球的概率是多少？

⑶ 盒子里装有 $5$ 个红球， $3$ 个白球，它们除去颜色不同外其他完全相同，第一次取出一个球，然后不把这个球放进去，第二次再取出一个球，问两次都取出红球的概率是多少？

题目SH-141-005难度 C · 综合

有两颗骰子，每颗上都有 $1 ~ 6$ 点，如果同时掷出两颗骰子，在掷出的点数之和上下注，那么在多少点上下注赢的可能性最大？

题目SH-141-006难度 D · 提升

在 $1, 2, 3, \dots, 40$ 中任意挑两个不同的数字，它们的差的绝对值为素数的概率是多少？

知识模块 05 · 原讲小节

树状图、标数法求概率

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题目SH-141-007难度 C · 综合

甲乙每人取出 $100$ 元放在一起进行游戏，约定谁游戏先胜 $3$ 局，谁就赢得所有的 $200$ 元（假设两人在每局中取胜的可能性是相等的）．游戏开始，甲先胜了 $2$ 局，一件意外的事情中断了他们的游戏,结果在在分配整个奖金的时候出现了分歧．甲说：我开始就胜了 $2$ 局，马上就要赢第 $3$ 局了，我至少应该得 $180$ 元．乙说，如果继续下去，我有 $\frac{1}{4}$ 的机会先胜 $3$ 局，所以我至少应该得 $50$ 元．两人争执不下，请你给一个令人信服的解决方案．

小悦与阿奇比赛下象棋，两人水平相当，约定赛 $7$ 局，先赢 $4$ 局者胜.现在已经比赛了 $3$ 局，小悦胜了 $2$ 局，阿奇胜了 $1$ 局.请问：小悦最后胜利的概率有多少？

题目SH-141-008难度 D · 提升

甲乙丙丁四人相互传球，第一次甲传给乙丙丁中的任意一人，第二次由持球者再传给其他三人中的任意一人，这样共传了 $4$ 次，假设每次传给每个人的可能性是相同的，那么第四次仍传回到甲的概率是多少？

从图中易知，第二次传给乙有 $7$ 种情况，故总可能有 $7 \times 3 = 21$ 种，而四次传球，共有 $3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81$ 种情况，故概率为 $\frac{21}{81} = \frac{7}{27}$

题目SH-141-009难度 D · 提升

如图，格线表示了允许小球滑落的通道．每一个小球在交点处有一半的可能性向左滑落，有一半的可能性向右滑落．从 $A$ 点放一个小球让其落下．请问：小球最终落到 $B$ 点的概率是多少？

如图，格线表示了允许小球滑落的通道.每一个小球在交点处有 $\frac{2}{3}$ 的可能性向右滑落，有 $\frac{1}{3}$ 的可能性向左滑落.从 $A$ 点放一个小球让其落下.请问：小球最终落到 $B$ 点的概率是多少？

【拓展知识】

彩票纠纷

故事发生在某市，恰逢年尾之际，某市发行一种刮刮乐彩票，规则是共发行 $10000$ 张，其中有 $100$ 张中奖．该市百姓并不打算购买，大虎与小虎两兄弟抱着支持福利事业的态度去买彩票．结果没想到买完彩票后，却发生了争执．

当时情况是这样的，哥俩用自己的全部家当各买了一张刮刮乐，大哥大虎先刮的刮刮乐，并开心的告诉还未来得及刮奖的弟弟小虎自己中奖了，弟弟突然不高兴，两人争执不清，只能请老虎讨个公道．

老虎：小虎，你为何要与你哥哥大虎争论？

小虎：他好不地道，将我的彩票中奖概率弄低了，他应当赔偿我奖金．

大虎：弟弟彩票明明没有刮开，我又如何影响他的中奖概率？

刮刮乐给老虎看了看，确实未刮开．

老虎：小虎啊，彩票既未刮开，为何责怪你兄长，实在是无理取闹．

小虎：请听我一言，如果哥哥不告诉我他有没有中奖，那么分两个情况，若他中奖，概率为 $\frac{100}{10000}$ ，我再中奖的概率就是 $\frac{100}{10000} \times \frac{99}{9999}$ ；若他未中奖，概率为 $\frac{9900}{10000}$ ，我再中奖概率就是 $\frac{9900}{10000} \times \frac{100}{9999}$ ，我的中奖概率应该为 $\frac{100}{10000} \times \frac{99}{9999} + \frac{9900}{10000} \times \frac{100}{9999} = \frac{1}{100}$ ．如今他告诉我他中奖了，那么还剩 $99$ 张中奖的彩票，那么我的中奖概率就是 $\frac{99}{9999} = \frac{11}{1111} < \frac{1}{100}$ ．这难道不是将我的中奖概率弄低了么？

老虎：小虎所言确实有理，大虎的一句话确实让小虎彩票中奖概率变低了．然而彩票在小虎你买的时候就就已然决定有无中奖，与大虎的这句话并无关系，概率只表示发生的可能性大小，并不能决定是否发生．

最后这场争执也平息了下来．

（作者注：彩票有风险！大虎影响概率虽无罪，但他剧透有罪啊，中奖了瞎嘚瑟个啥！）

题目SH-141-010

如图所示，王老师从重庆到南京，他可以乘飞机、汽车直接到达，也可以先到武汉，再由武汉到南京.他从重庆到武汉可乘船，也可乘火车；又从武汉到南京可以乘船、火车或者飞机，那么王老师从重庆到南京有_________种不同走法．

一袋中装有除颜色外都相同的红球和黄球共 $10$ 个，其中红球 $6$ 个.从袋中任意摸出一球，请问：

⑴ “摸出的球是白球”是__________事件，它的概率是________．

⑵ “摸出的球是黄球”是__________事件，它的概率是________．

⑶ “摸出的球是红球或黄球”是__________事件，它的概率是________．

（每小题第一空填“必然，不可能或者不确定”）

题目SH-141-011

⑴ 在一个不透明的布袋中装有 $8$ 个白球和 $4$ 个红球，它们除了颜色不同外，其余均相同．从中摸出一个球，再放回去，把球搅拌均匀后再摸出一个球，两次都摸到白球的概率是________．

⑵ 某班从三名男生（含小强）和五名女生中，选四名学生参加学校举行的“中华古诗文朗诵大赛”，规定女生选 $n$ 名，若男生小强参加是必然事件，则 $n =$ ________．

⑴ 如图，假设可以随意在图中取点，那么这个点取在阴影部分的概率是 $($ 　　 $)$

A． $\frac{1}{3}$ B． $\frac{1}{2}$ C． $\frac{3}{7}$ D． $\frac{3}{8}$

⑵ 如图，由边长为 $1$ 的小正方形组成的 $4 \times 4$ 网格中， $△ A B C$ 的三个顶点均在格点上，若向正方形网格中投针，所投的针都随机落在正方形网格中，则落在 $△ A B C$ 内部的概率是________．

题目SH-141-012

如图，正三角形网络中，已有两个小正三角形被涂黑，再将图中其余小正三角形涂黑一个，使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形的概率是________．

随意安排甲、乙、丙三人在 $3$ 天节假日值班，每人值班一天.

⑴ 其中甲排在乙之前的概率是________．

⑵ 甲没在第一天值班的概率是________．

题目SH-141-013

从分别写有 $- 1$ ， $- 2$ ， $1$ ， $2$ 的四张卡片中随机抽取两张，把第一张卡片上的数字作为 $a$ ，第二张卡片上的数字作为 $b$ ，则 $a$ ， $b$ 之和大于0的概率是________．
一个骰子，六个面上的数字分别为 $1$ 、 $2$ 、 $3$ 、 $4$ 、 $5$ 、 $6$ ，投掷两次，向上面的数字和是 $3$ 的倍数的概率是多少？
小王和小刘做游戏，将一枚普通的骰子抛掷两次，求出两个点数之和，约定：如果两数和为奇数，则小王得 $1$ 分；如果两数和为偶数，则小刘得 $1$ 分.小莉过来看到后说：和为偶数的有 $2, 4, 6, 8, 10, 12$ ，共有六种可能；和为奇数的有 $3, 5, 7, 9, 11$ ，共有五种可能，这个游戏规则不公平.你觉得这个游戏公平吗？请说明理由.