第8讲倍长中线 · 章法数学

题目SH-115-001

倍长中线

题目SH-115-002

倍长中线，构造全等三角形：（中心对称）

题目SH-115-003

如图，已知点 $O$ 为线段 $A B$ 中点．

延长 $C O$ 至 $C'$ ，使得 $O C' = O C$ ，联结 $B C'$ ．

在 $△ A O C$ 和 $△ B O C'$ 中 ${\begin{matrix} ______________ \\ __________ ____ \\ ______________ \end{matrix}$

$∴ △ A O C ≌ △ B O C' ()$

$∴ ∠ A = ∠ O B C'$ （）

$∴$ $A C ∥ B C'$ （）

题目SH-115-004难度 C · 综合

已知：如图在 $△ A B C$ 中， $A B = 5$ ， $A C = 3$ ， $B C$ 边上的中线 $A D = 2$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

题目SH-115-005难度 C · 综合

如图，已知在 $△ A B C$ 中， $A D$ 是 $B C$ 边上的中线， $E$ 是 $A D$ 上一点， $B E = A C$ ，延长 $B E$ 交 $A C$ 于 $F$ ．求证： $A F = E F$ ．

题目SH-115-006难度 C · 综合

如图所示，已知 $△ A B C$ 中， $A D$ 平分 $∠ B A C$ ， $E$ 、 $F$ 分别在 $B D$ 、 $A D$ 上． $D E = C D$ ， $E F = A C$ ．求证： $E F ∥ A B$ ．

题目SH-115-007难度 D · 提升

已知 $A D$ 为 $△ A B C$ 的中线， $∠ A D B$ ， $∠ A D C$ 的平分线分别交 $A B$ 于 $E$ 、交 $A C$ 于 $F$ ．求证： $B E + C F > E F$ ．

题目SH-115-008难度 E · 挑战

已知：如图， $△ A B C$ 中， $D$ 是 $B C$ 中点， $M$ 、 $N$ 分别在边 $A B$ 、 $A C$ 上，且 $D M ⊥ D N$ ，若 $B M^{2} + C N^{2} = D M^{2} + D N^{2}$ ，求证： $A D^{2} = \frac{1}{4} (A B^{2} + A C^{2})$ ．

题目SH-115-009难度 D · 提升

在梯形 $A B C D$ 中， $A B ∥ C D$ ， $∠ A = 90 °$ ， $A B = 2$ ， $B C = 3$ ， $C D = 1$ ， $E$ 是 $A D$ 中点，试判断 $E C$ 与 $E B$ 的位置关系，并写出推理过程．

题目SH-115-010难度 E · 挑战

已知：如图，在 $△ A B C$ 外作正方形 $A B D E$ 和正方形 $A C G F$ , $M$ 是 $B C$ 的中点．

求证： $A M = \frac{1}{2} E F$ 且 $A M ⊥ E F$ ．

题目SH-115-011

已知：如图，在正方形 $A B C D$ 中， $M$ 是 $B C$ 的中点，点 $P$ 在 $D C$ 边上，且 $A P = A B + C P$ ．求证： $∠ B A P = 2 ∠ B A M$ ．

题目SH-115-012

已知， $△ A B C$ 中， $A D$ 平分 $∠ B A C$ ， $M$ 为 $B C$ 中点， $A D ∥ E M$ ， $E M$ 交 $A B$ 于 $F$ ，求证： $B F = C E$ ．

题目SH-115-013

如图， $A M$ 是 $△ A B C$ 的中线， $A M$ 平分 $∠ B A D$ ， $C D ∥ A B$ ，求证： $A B = A D + C D$ ．

题目SH-115-014

如图， $C$ 是 $A B$ 中点，点 $E$ 在 $C D$ 上， $A E = B D$ ，求证： $∠ A E C = ∠ C D B$ ．

题目SH-115-015

已知 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $B D$ 为 $A B$ 的延长线，且 $B D = A B$ ， $C E$ 为 $△ A B C$ 的 $A B$ 边上的中线．求证 $C D = 2 C E$ ．

题目SH-115-016

如图，已知在 $△ A B C$ 中， $A D$ 是 $B C$ 边上的中线， $E$ 是 $A D$ 上一点，延长 $B E$ 交 $A C$ 于 $F$ ，

$A F = E F$ ，求证： $A C = B E$ ．

题目SH-115-017

已知：如图所示， $A B / / C D$ ， $B E$ 平分 $∠ A B C$ ， $E$ 在 $A D$ 上，且 $E$ 为 $A D$ 中点．

求证： $A B + C D = B C$ ．

题目SH-115-018

已知：如图， $R t △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $D$ 是 $B C$ 中点， $M$ 、 $N$ 分别在边 $A B$ 、 $A C$ 上，且 $D M ⊥ D N$ ，以线段 $B M$ 、 $M N$ 、 $C N$ 为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形，还是直角三角形，或者是钝角三角形？

题目SH-115-019

如图所示，在等腰直角三角形 $A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $D$ 为 $A C$ 边上的中点，过 $D$ 点作 $D E ⊥ D F$ ，交 $A B$ 于点 $E$ ，交 $B C$ 于点 $F$ ．若 $A E = 4$ ， $F C = 3$ ，求 $E F$ 长．

题目SH-115-020

如图所示，在 $△ A B C$ 和 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 中， $A D$ 、 $A^{'} D^{'}$ 分别是 $B C$ 、 $B^{'} C^{'}$ 上的中线，且 $A B = A^{'} B^{'}$ ， $A C = A^{'} C^{'}$ ， $A D = A^{'} D^{'}$ ，求证 $△ A B C ≌ △ A^{'} B^{'} C^{'}$ ．