第16讲二次函数（四）

知识模块 01 · 原讲小节

对于两顶点在坐标轴上的三角形

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

知识讲解定义、性质与方法

最值问题

对于两顶点在坐标轴上的三角形


法一：	法二：
$S_{△ A B C} = S_{△ B O C} + S_{△ B O A} - S_{△ A O C}$	$S_{△ A B C} = S_{△ A C D} = \frac{1}{2} A D \cdot O C$

知识模块 02 · 原讲小节

对于平面直角坐标系内任意三角形面积

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知识讲解定义、性质与方法

补形法

当三角形的任何一边都不在坐标轴上或与坐标轴平行，因此直接运用三角形的面积公式不易求解，可运用补形法，把三角形补成矩形（或梯形），从而把求一般三角形面积的问题转化为求矩形面积与直角三角形的面积．

水平宽和铅垂高

过三角形的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线．外侧两条直线之间的距离叫做三角形的水平宽，中间的这条直线在三角形内部线段的长度叫做三角形的铅垂高，这时三角形的面积等于水平宽与铅垂高乘积的二分之一．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $C_{1}$ ： $y = - x^{2} + 4$ 与 $x$ 轴负半轴交于点 $A$ ，以点 $A$ 为顶点作抛物线 $C_{2}$ ： $y = - \frac{1}{5} x^{2} + b x + c$ ，交 $C_{1}$ 于点 $B$ ．

⑴求 $b$ ， $c$ 的值；

⑵过 $C_{1}$ 上 $A$ ， $B$ 之间一点 $C$ 作 $x$ 轴的垂线交 $C_{2}$ 于点 $D$ ．当线段 $C D$ 取最大值时，求点 $C$ 的坐标和 $C D$ 的长.

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 6$ 与 $x$ 轴交于点 $A (- 1, 0)$ 、 $B (3, 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，点 $P$ 是第一象限内抛物线上的动点．

⑴求抛物线的解析式；

⑵联结 $B C$ 与 $O P$ ，交于点 $D$ ，当 $P D : O D$ 的值最大时，求点 $P$ 的坐标；

题目SH-080-001

如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x - 3 (a \neq 0)$ 与 $x$ 轴交于 $A (- 3, 0)$ ， $B (1, 0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，直线 $y = - x$ 与该抛物线交于 $E$ 、 $F$ 两点．

⑴求抛物线的表达式．

⑵ $P$ 是直线 $E F$ 下方抛物线上的一个动点，作 $P H ⊥ E F$ 于点 $H$ ，求 $P H$ 的最大值．

题目SH-080-002

如图所示：二次函数 $y = x^{2} - x - 6$ 的图像与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，联结 $A C$ ， $B C$ ．

⑴求直线 $B C$ 的函数表达式；

⑵如图 $1$ ，若点 $M$ 为抛物线上线段 $B C$ 右侧的一动点，联结 $C M$ ， $B M$ ．求 $△ B M C$ 面积的最大值及相应点 $M$ 的坐标；

如图 $1$ ，在平面直角坐标系中，一次函数 $y = \frac{1}{2} x - 2$ 的图像与 $x$ 轴交于点 $B$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，抛物线 $y = \frac{1}{2} x^{2} + b x + c$ 的图像经过 $B$ 、 $C$ 两点，且与 $x$ 轴的负半轴交于点 $A$ ．

⑴求二次函数的表达式；

⑵若点 $D$ 在直线 $B C$ 下方的抛物线上，联结 $D C$ 、 $D B$ ，设四边形 $O C D B$ 的面积为 $S$ ，求 $S$ 的最大值；

已知抛物线 $y = m x^{2} - 2 m x + 3 (m < 0)$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 的左侧），与 $y$ 轴交于点 $C$ ，且 $O B = 3 O A$ ．

⑴求抛物线的解析式；

⑵若 $M$ ， $N$ 是第一象限的抛物线上不同的两点，且 $△ B C N$ 的面积恒小于 $△ B C M$ 的面积，求点 $M$ 的坐标；

⑶若 $D$ 为抛物线的顶点， $P$ 为第二象限的抛物线上的一点，联结 $B P$ ， $D P$ ，分别交 $y$ 轴于 $E$ ， $F$ ，若 $E F = \frac{1}{3} O C$ ，求点 $P$ 的坐标．

抛物线 $y = - x^{2} + b x + 3$ 与 $x$ 轴交于 $A (- 3, 0)$ ， $B (1, 0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，点 $D$ 为抛物线的顶点．

⑴求抛物线的表达式及顶点 $D$ 的坐标；

⑵在直线 $A C$ 上方的抛物线上找一点 $P$ ，使 $S_{△ A C P} = \frac{1}{2} S_{△ A C D}$ ，求点 $P$ 的坐标.

如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x - 4$ 与 $x$ 轴交于 $A (- 3, 0)$ 、 $B (4, 0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

⑴求抛物线解析式；

⑵抛物线对称轴上存在一点 $H$ ，联结 $A H$ 、 $C H$ ，当 $| A H - C H |$ 值最大时，点 $H$ 坐标为________；

题目SH-080-003

⑶若抛物线上存在一点 $P (m, n)$ ， $m n > 0$ ，当 $S_{△ A B C} = S_{△ A B P}$ 时，求点 $P$ 坐标．

题目SH-080-004

如图，已知二次函数 $y = a x^{2} - 2 a x + 3$ 的图像与 $x$ 轴交于点 $A$ 、点 $B$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，其顶点为 $D$ ，直线 $D C$ 的函数关系式为 $y = k x + b$ ，又 $t a n ∠ O B C = 1$ ．

⑴ 求二次函数的解析式和直线 $D C$ 的函数关系式；

⑵ 求 $△ A B C$ 的面积．

如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $A$ 坐标为 $(8, 0)$ ，点 $B$ 在 $y$ 轴的正半轴上，且 $c o t ∠ O A B = \frac{4}{3}$ ，抛物线 $y = - \frac{1}{4} x^{2} + b x + c$ 经过 $A$ 、 $B$ 两点．

⑴求 $b$ 、 $c$ 的值；

⑵若点 $D$ 在这个抛物线上， $△ A O B$ 的面积是 $△ O B D$ 面积的 $8$ 倍，求点 $D$ 的坐标．

题目SH-080-005

在直角坐标系内， $B$ 点坐标为 $(3, 0)$ ， $C$ 点坐标为 $(1, - 4)$ ，若抛物线经过点 $B$ ，顶点为 $C$ ，与 $y$ 轴交于点 $A$ ．点 $M$ 为第三象限内抛物线上一点，且 $S_{△ A B M} = 3$ ，求 $M$ 点的横坐标．

如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $A$ 、 $B$ 为 $x$ 轴上的两点， $C$ 、 $D$ 为 $y$ 轴上的两点，经过 $A$ 、 $C$ 、 $B$ 的抛物线的一部分 $C_{1}$ 与经过 $A$ 、 $D$ 、 $B$ 的抛物线的一部分 $C_{2}$ 组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线称为“蛋线”．已知点 $C$ 的坐标为 $(0, - \frac{3}{2})$ ，点 $M$ 是抛物线 $C_{2}$ ： $y = m x^{2} - 2 m x - 3 m$ $(m < 0)$ 的顶点．

⑴ 求 $A$ 、 $B$ 两点的坐标．

⑵ “蛋线”在第四象限上是否存在一点 $P$ ，令 $△ P B C$ 的面积最大？若存在，求出 $△ P B C$ 面积的最大值；若不存在，请说明理由．

题目SH-080-006

如图，在平面直角坐标系内，抛物线经过原点 $O$ ，点 $B (1, 3)$ ，又与 $x$ 轴相交于点 $A$ ， $∠ B A O = 45 °$ ．点 $P$ 是线段 $A B$ 上的一点，过点 $P$ 作 $P M ∥ O B$ ，与抛物线交于点 $M$ ，且点 $M$ 在第一象限内．

⑴ 求抛物线的表达式；

⑵ 过点 $M$ 作 $M C ⊥ x$ 轴，分别交直线 $A B$ 、 $x$ 轴于点 $N$ 、 $C$ ，若 $Δ A N C$ 的面积等于 $Δ P M N$ 的面积的 $2$ 倍，求 $\frac{M N}{N C}$ 的值.

题目SH-080-007

在平面直角坐标系中，已知抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ 、 $B$ （点 $A$ 在点 $B$ 的左侧），与 $y$ 轴的正半轴交于点 $C$ ，顶点为 $E$ ．

⑴ 若 $b = 2$ ， $c = 3$ ，求此时抛物线顶点 $E$ 的坐标；

⑵ 将⑴中的抛物线向下平移，若平移后，在四边形 $A B E C$ 中满足 $S_{△ B C E} = S_{△ A B C}$ ，求此时直线 $B C$ 的解析式；

⑶ 将⑴中的抛物线作适当的平移，若平移后，在四边形 $A B E C$ 中满足 $S_{△ B C E} = 2 S_{△ A O C}$ ，且顶点 $E$ 恰好落在直线 $y = - 4 x + 3$ 上，求此时抛物线的解析式．