第6讲 一元二次方程根与系数的关系（二）

1. 若关于$x$的二次方程$a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0)$的根是$x_1,x_2$，则$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1{x}_2=\frac{c}{a}$．

2. 若一元二次方程的二次项系数为$1$，$x^2+mx+n=0$（$m,n$为已知常数），如果$m^2-4n\ge 0$，它的两根为$x_1,x_2$，则有$x_1+x_2=-m$，$x_1{x}_2=n$．(待定系数法或求根公式推导韦达定理)

设一元二次方程$4x^2-7x-3=0$的两根是$x_1,x_2$，不解方程，求各式的值．

⑴$\left(x_1-3\right)\left(x_2-3\right)$； ⑵$x_1^2+x_2^2$； ⑶$x_1-x_2$．

题型二：结合韦达定理逆定理，构造一元二次方程

⑴已知$\{\begin{array}{c}a+b=5\\ ab=-6\end{array}$，请写出一个以$a$、$b$为根的一元二次方程．

⑵已知方程$2x^2-3x-2=0$．不解这个方程，利用根与系数的关系，求作一个新的一元二次方程，使新方程的两根分别是$2x^2-3x-2=0$两根的平方．

求作一个关于$y$的一元二次方程，使其两根分别是方程$x^2-2x-1=0$的两根的：

①平方；②相反数；③倒数；④$2$倍；⑤大$3$．

已知$a,b,c$均为实数，且$a+b+c=0,abc=16$，求正数$c$的最小值．

已知$\{\begin{array}{c}x+y+z=5\\ xy+yz+zx=3\end{array}$，$x,y,z$均为实数，则$z$的最大值为．

已知实数$a,b$分别满足$a^2+2a=2$，$b^2+2b=2$，求$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}$的值．

若$ab\ne 1$，且有$5a^2+2001a+9=0$及$9b^2+2001b+5=0$，求$\frac{a}{b}$的值；

已知$2m^2-5m-1=0,\frac{1}{n^2}+\frac{5}{n}-2=0$，且$m\ne n$，求$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$的值．

⑴已知实数$m$，$n$（其中$m\cdot n\ne 1$）分别满足：$19m^2+99m+1=0$，$n^2+99n+19=0$，则$\frac{mn+4m+1}{n}=$________．

⑵实数$a$，$b$满足$a^2+2a-1=0$，$b^4-2b^2-1=0$，且$1-a{b}^2\ne 0$，则代数式${\left(\frac{a{b}^2+b^2+1}{a}\right)}^{2020}$的值为________．

已知四个互不相等的正实数$a,b,c,d$满足：$(a^{2018}-c^{2018})$$(a^{2018}-d^{2018})$$=2018$，

设$x_1,x_2$是一元二次方程$3x^2-5x-12=0$的两根，不解方程，求下列各式的值:

⑴${\left(x_1-x_2\right)}^2$；⑵$\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}$.

求作一个关于$y$的一元二次方程，使其两根分别是方程$x^2-2x-1=0$的两根的平方．

求作一个关于$y$的一元二次方程，使其两根分别是方程$x^2-3x-2=0$的两根的三次方．

已知$x_1$、$x_2$为方程$x^2-10x+1=0$的两个实数根，求作以$\sqrt{x_1}$、$\sqrt{x_2}$为根的一元二次方程．

已知实数$a,b$满足$a^2-15a-5=0,b^2-15b-5=0$，且$a\ne b$，求$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$的值．

已知实数$m$，$n$（其中$m\cdot n\ne 1$）分别满足：$m^2-17m-2=0$，$2n^2+17n-1=0$，则$\frac{mn+2n+1}{m}=$________．

已知关于$x$的一元二次方程$k{x}^2+2(k-1)x+(k-1)=0$，求

⑴$k$为何值时，方程有两个不相等的实数根；

⑵$k$为何值时，方程的两个根一个大于$0$，一个小于$0$；

⑶$k$为何值时，方程的两个根均为负．

若关于$x$的方程$\left(1-m^2\right)x^2+2mx-1=0$的所有根都是比$1$小的正实数根，求实数$m$的取值范围．

已知$m>n>0$，求证：关于$x$的方程$2x^2-\left(3m+n\right)x+mn=0$的一个根大于$n$，另一根小于$n$．

已知$x_1,x_2$是方程$x^2-7x+8=0$的两个根，且$x_1>x_2$，那么求代数式$\frac{2}{x_1}+3x_2^2$的值．

已知关于$x$的二次方程$x^2+\sqrt{m}x+n=0$的两个实数解是$x_1,x_2$，且

$x_1^2+x_2^2+(x_1+x_2){}^2=3$，$\frac{2}{x_1^2}+\frac{2}{x_2^2}=5$，求$m$和$n$的值．

已知实数$a$，$b$满足$a+ab+b=3$，求$a-ab+b$的取值范围．

设$x_1,x_2,x_3,...,x_{2007}$是实数，且满足$x_1{x}_2{x}_3...x_{2007}=x_1-x_2{x}_3...x_{2007}=x_1{x}_2-x_3...x_{2007}=$$x_1{x}_2{x}_3...x_{2006}-x_{2007}=1$，则$x_{2000}$的值是$\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_$

已知关于$x$的一元二次方程$x^2+bx+4b=0$有两个相等的实数根，$y_1,y_2$是关于$y$的一元二次方程$y^2+(2-b)y+4=0$的两个实数根，求作以$\sqrt{y_1},\sqrt{y_2}$为根的一元二次方程．

已知$2x_0$、$3x_0$（$x_0\ne 0$）是关于$x$的方程$2x^2-5mx+3n=0$的两根，方程$x^2-2nx+8m=0$的两根相等．

证明：不论$k$取何值，方程$m{x}^2+\left(n+k-1\right)x+k+1=0$总有实数根．

求方程$x^2+xy+y^2-3x-3y+3=0$的实数解(提示：主元法).

设$x$为实数，$x\ne \frac{7}{3}$，试求$\frac{x^2-2x+21}{6x-14}$的取值范围．

设实数$a,b,c$满足$a+b+c=0,abc=2$．求$\mu ={\left|a\right|}^3+{\left|b\right|}^3+{\left|c\right|}^3$的最小值．