第15讲绝对值方程和不等式综合

知识模块 01 · 原讲小节

绝对值方程和不等式综合

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

知识讲解定义、性质与方法

绝对值之朝花夕拾

绝对值的代数意义

⑴① $| a | = {\begin{matrix} _____(a > 0) \\ _____(a = 0) \\ _____(a < 0) \end{matrix}$ ② $| a | = {\begin{matrix} _____(a \geq 0) \\ _____(a < 0) \end{matrix}$ ③ $| a | = {\begin{matrix} _____(a > 0) \\ _____(a \leq 0) \end{matrix}$

⑵常见形式：

①若 $| a | = | b |$ ，则 $a = b$ 或 $a = - b$ ；

② $| a | = | - a |$ ；

③ $\frac{a}{| a |} = \frac{| a |}{a} = {\begin{matrix} _______(a > 0) \\ _______(a < 0) \end{matrix}$

⑶绝对值的非负性：如果若干个非负数的和为 $0$ ，那么这若干个非负数都必为 $0$ ．

例如：若 $| a | + | b - 1 | + | c + 2 | = 0$ ，则 $a =_____$ ， $b =______$ ， $c =_______$ ．

零点分段法

找零点、分区间、定符号、去绝对值符号．

以 $| x | + | x - 3 |$ 为例：

⑴找零点：令每个绝对值为 $0$ ，找出使绝对值为零的 $x$ 的值；

（使 $| x | = 0$ ， $| x - 3 | = 0$ ，得到两个零点为 $0, 3$ ）

⑵用零点将数轴分段（两个零点把数轴分为三段 $x < 0$ ， $0 \leq x < 3$ ， $x \geq 3$ ）；

⑶在每段范围中确定绝对值内部正负，并去绝对值；

⑷化简，合并同类项．

题目SH-020-001难度 B · 巩固

化简： $| - 3 x - 6 | - | - x + 2 |$ ．

知识模块 02 · 原讲小节

绝对值方程（组）

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

知识讲解定义、性质与方法

一、三类基本绝对值方程

绝对值方程	方程化简	备注
$\| a x + b \| = c (c > 0)$	$a x + b = c$ 或 $a x + b = - c$	若 $c = 0$ ，则单解若 $c < 0$ ，则无解
$\| a x + b \| = c x + d$	$a x + b = c x + d$ 或 $a x + b = - c x - d$	需检验根
$\| a x + b \| = \| c x + d \|$	$a x + b = c x + d$ 或 $a x + b = - c x - d$	无需验根

二、含有多个绝对值的方程：

⑴通过零点分段去绝对值，进行分类讨论；

⑵解去绝对值后的常规方程；

⑶检验所得的解是否符合零点分段的范围．

题目SH-020-002难度 B · 巩固

解方程：

⑴ $| 5 - 3 x | = 7$ ； ⑵ $2 | 2 x - 7 | = \frac{5}{2}$ ．

题目SH-020-003难度 C · 综合

解方程：

⑴ $| \frac{1}{2} x - 3 | = 2 x + 1$ ； ⑵ $| \frac{2}{3} x - 3 | = | x - \frac{1}{2} |$ ．

题目SH-020-004难度 D · 提升

解方程： $| 2 - 3 x | + | 2 x - 1 | + 3 x = 3$ ．

题目SH-020-005难度 C · 综合

解方程组：

⑴ ${\begin{matrix} 3 (2 x - y) - 2 | x + y | = 1 \\ 3 | x + y | - 2 (2 x - y) = 11 \end{matrix}$ ； ⑵ ${\begin{matrix} 2 y + | x - 1 | = 5 \\ 2 x + y = 9 \end{matrix}$ ．

Tip：本题中，可由 $2 y + | x - 1 | = 5 \Rightarrow y \leq \frac{5}{2}$ ，又 $2 x + y = 9 \Rightarrow x > 1$ ，去掉绝对值

一些题目可以根据题目中的非负性条件，避免分类讨论

题目SH-020-006难度 D · 提升

解方程组： ${\begin{matrix} | x | + x + y = 10 \\ | y | + x - y = 12 \end{matrix}$ ．

绝对值不等式

三类基本绝对值不等式：

绝对值不等式	不等式化简	几何意义
$\| a x + b \| < c (c > 0)$	$- c < a x + b < c$
$\| a x + b \| > c (c > 0)$	$a x + b > c$ 或 $a x + b < - c$
$c < \| a x + b \| < d$ $(d > c > 0)$	$c < a x + b < d$ 或 $- d < a x + b < - c$

题目SH-020-007难度 B · 巩固

解下列不等式：

⑴ $| 2 x + 1 | < 3$ ； ⑵ $| \frac{1}{2} x + 2 | < 9$ ；

⑶ $| 3 - 2 x | \geq 7$ ； ⑷ $| 5 x - 1 | > 8$ ．

题目SH-020-008难度 C · 综合

解下列不等式：

⑴ $\frac{1}{4} (3 | x | - 1) \leq \frac{1}{2} | x | + 3$ ； ⑵ $| 3 x - 1 | > x + 3$ ；

⑶ $| x + 1 | > 3 x - 2$ ； ⑷ $| 3 x - 1 | < x + 3$ ．

题目SH-020-009难度 C · 综合

解下列不等式：

⑴ $1 < | 5 x - 1 | < 4$ ； ⑵ $5 < | 5 x - 3 | < 10$ ．

题目SH-020-010难度 D · 提升

解关于 $x$ 的不等式： $| 2 x + 1 | \leq 1 + a$ ．

题目SH-020-011

解方程： $\frac{1 + | x |}{4} - \frac{| x | - 2}{8} = 1$ ．
若关于 $x$ 的方程 $| x + 2 | - | x - 5 | = a$ 有无数个解，则 $a$ 应满足的条件为_____________．

题目SH-020-012

解不等式组： ${\begin{matrix} | x + 1 | > 1 \\ \frac{| x | + 3}{2} > 2 \\ \frac{1 + \frac{x}{5}}{4} \leq \frac{\frac{1}{2} - \frac{x}{4}}{5} \end{matrix}$ ．

题目SH-020-013

解方程组： ${\begin{matrix} | x | + y = 5 \\ | x | - y = 3 \end{matrix}$ ．

$| 3 x - 2 | - | x + 1 | = x + 2$ ．

题目SH-020-014

已知 $- 2 < x - 1 < 1$ ，化简 $| 2 x + 3 | - 2 | x + 1 |$ ．
解方程：

⑴ $| - 2 x - 1 | = 9$ ； ⑵ $\frac{| x - 1 | - 1}{2} - 3 = \frac{2 - | x - 1 |}{3}$ ．

题目SH-020-015

解不等式：

⑴ $| 1 - \frac{3 x - 5}{4} | > 3$ ； ⑵ $1 < | 2 x - 3 | < 4$

题目SH-020-016

解方程组 ${\begin{matrix} | x | - 2 | y - 1 | = 2 \\ | x | + | y - 1 | = 12 \end{matrix}$ ．
解方程组： ${\begin{matrix} x + | 2 x + y | = 9 \\ x - 2 y = 10 \end{matrix}$

分类讨论：

题目SH-020-017

解不等式： $| 7 x + 4 | - 4 x > 3$ ．
解方程：

⑴ $| 3 x - 1 | + | x - 2 | = 5$ ⑵ $| 2 x + 1 | - | x + 2 | = 4 x + 3$

题目SH-020-018

解方程组：

⑴ ${\begin{matrix} | x - 1 | + | y + 3 | = 1 \\ | x - 1 | - y = 3 \end{matrix}$ ⑵ ${\begin{matrix} | x + 1 | + | y + 1 | = 3 x - 3 \\ | x - 2 | + | y + 2 | = x + 2 \end{matrix}$

题目SH-020-019

已知关于 $x$ 的一元一次方程 $\frac{x}{3} + a = \frac{| a |}{2} x - \frac{1}{6} (x - 6)$ ，

⑴当 $a$ 取什么值时，方程无解？⑵当 $a$ 取什么值时，方程有无穷多个解?

题目SH-020-020

⑴若关于 $x$ 的方程 $| | x - a | - b | = 3$ ，有三个不相等的解，求 $b$ 的值．

⑵已知方程 $| x | = a x + 1$ 有一个负数解，而没有正数解，求 $a$ 的取值范围．