代数3-一次方程与不等式 · 第 027 讲

第4讲含参方程

19 道题3 个知识模块答案解析精校中

本讲答案与解析正在逐题精校，完成后在题卡下方开放。当前请先独立作答，再回来对照。

知识模块 01 · 原讲小节

含参方程

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

知识讲解定义、性质与方法

我们已经学习了一元一次方程的基本解法：去分母—去括号—移项—合并同类项—系数化为 $1$ ．

在合并同类项之后，一元一次方程可化为最简形式 $a x = b$ ．其中 $x$ 表示未知数， $a$ 和 $b$ 是用字母表示的已知数．对未知数 $x$ 来说，字母 $a$ 是 $x$ 的系数，叫做字母系数，字母 $b$ 是常数项．

而当方程中含有参数时，利用主元思想，将参数字母视为数字，其解法与一般一元一次方程的解法是类似的，即去分母—去括号—移项—合并同类项，只在“系数化为 $1$ ”这一步，要对 $x$ 的系数是不是为 $0$ 进行分类讨论：

$a x = b$

⑴当 $a \neq 0$ 时，方程两边直接除以 $a$ ，得 $x =$ ．

⑵当 $a = 0$ 时，此时方程变为 $0 \cdot x = b$ ，方程是否有解，需要对 $b$ 进行分类讨论：

①当 $b = 0$ 时，此时 $0 \cdot x = 0$ ，方程的解是．

②当 $b \neq 0$ 时，此时 $0 \cdot x = b \neq 0$ ，方程的解是．

当然，如果事先知道了含字母系数的一元一次方程的解的情况，也可以反推出字母系数的取值范围．

重难点

：

①由于参数的引入，字母较多，需分清楚哪个字母为主元，书写成“ $a x = b$ ”形式；

②系数化为 $1$ 时，勿遗漏 $a = 0$ 的情况；

③系数化为 $1$ 时，在 $a = 0$ 的情况下，分清无解还是任意解的情况．

④无数个解 $\neq$ 任意解

题目SH-027-001难度 A · 基础

下列关于 $x$ 的方程说法正确的有（）个

① $3 x = a + 2$ 的解为 $x = \frac{a + 2}{3}$ ； ② $(a + 1) x = 1$ 的解为 $x = \frac{1}{a + 1}$ ；

③ $(a + 1) x = b$ 的解为 $x = \frac{b}{a + 1}$ ； ④ $(a^{2} + 1) x = b$ 的解为 $x = \frac{b}{a^{2} + 1}$ ；

⑤ ${(a + 1)}^{2} x = 1$ 的解为 $x = \frac{1}{{(a + 1)}^{2}}$ ．

A． $1$ B． $2$ C． $3$ D． $4$

$B$

常见易错题，当一次项系数一定不为 $0$ 时，可以直接除以系数化为 $1$ ，否则一定要分类讨论

题目SH-027-002难度 B · 巩固

解关于 $x$ 的方程：

⑴ $(a - 2) x = 100$ ； ⑵ $2 x + a x = a + 2$ ；

⑶ $2 a x - 3 = 3 - 5 x$ ．

题目SH-027-003难度 C · 综合

解关于 $x$ 的方程： $(3 a - 11) x = 11 b - a$ ．

题目SH-027-004难度 C · 综合

知识模块 02 · 原讲小节

解关于 x 的方程

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

知识讲解定义、性质与方法

⑴ $m (x - 1) = 3 x + 2$ ； ⑵ $\frac{x}{a} - \frac{x}{b} = 1 (a b \neq 0)$ ．

题目SH-027-005难度 D · 提升

解关于 $x$ 的方程： $(m + 1) (m - 2) x = (m - 2) (m + 3)$ ．

知识模块 03 · 原讲小节

含参方程相关题型

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

题目SH-027-006难度 B · 巩固

⑴若关于 $x$ 的方程 $(5 a - 1) x = 3$ 无解，则 $a =$ __________．

⑵若关于 $x$ 的方程 $(3 a + 2) x = 2 b - 3$ 有无数个解，则 $a =$ _________， $b =$ _________．

题目SH-027-007难度 C · 综合

⑴已知关于 $x$ 的方程 $a (2 x - 1) = 3 x - 2$ 无解,试求 $a$ 的值．

⑵已知关于 $x$ 的方程 $2 a (x - 1) = (5 - a) x + 3 b$ 有无数多个解，求 $a$ ， $b$ 的值．

⑴由题意得 $2 a - 3 = 0$ , $a - 2 \neq 0$ ，即 $a = \frac{3}{2}$ 时无解．

⑵ $2 a x - 2 a = 5 x - a x + 3 b$ ，即 $(3 a - 5) x = 2 a + 3 b$ ，故 $3 a - 5 = 0$ 且 $2 a + 3 b = 0$ ，即 $a = \frac{5}{3}$ ， $b = - \frac{10}{9}$ ．

题目SH-027-008难度 C · 综合

⑴已知关于 $x$ 的方程 $2 m x - 6 = (m + 2) x$ 有正整数解，求整数 $m$ 的值．

⑵已知关于 $x$ 的方程 $2 m x - 6 = (m + 1) x + 2 m$ 的解是正整数，求整数 $m$ 的值．

题目SH-027-009难度 D · 提升

如果 $a$ 、 $b$ 为定值，关于 $x$ 的方程 $\frac{x - 2 b k}{3} = \frac{3 k x + a}{5} - 1$ ，无论 $k$ 为何值，它的根总是 $1$ ，求 $a$ 、 $b$ 的值．

题目SH-027-010难度 E · 挑战

当 $a$ 取任意数时，式子 $\frac{m a - 2}{n a + 3}$ （ $n a + 3 \neq 0$ ）的值都是一个定值，其中 $m - n = 6$ ，求 $m$ 、 $n$ 的值．

题目SH-027-011

已知：关于 $x$ 的方程 $\frac{x + m}{3} - \frac{2 x - 1}{2} = m$ 的解为非正数，求 $m$ 的取值范围．

题目SH-027-012

若关于 $x$ 的方程 $3 (x - 2 a) = 4 a - 5 (x - 4)$ 的解，与不等式 $\frac{x + 5}{3} - 1 < \frac{3 x + 2}{2}$ 的最小整数解的值相同，求 $a$ 的取值．

题目SH-027-013

已知方程 $3 (x - k) + 5 (x + k) = 20$ 有正整数解，且 $k$ 为正整数，求 $k$ 的值．

题目SH-027-014

解下列关于 $x$ 的方程：

⑴ $a (2 x - 1) = 3 x - 2$ ； ⑵ $a + \frac{a x}{a + 2} = \frac{4 x}{a + 2} + 4$ ．

题目SH-027-015

如果不论 $m$ 为何值时， $x = - 1$ 总是关于 $x$ 的方程 $1 - \frac{m x + b}{3} = \frac{2 x - a m}{4}$ 的解，试求 $a$ 、 $b$ 的值．

题目SH-027-016

下列关于 $x$ 的方程说法正确的有（）个

① $(| a | + 1) x = 1$ 的解为 $x = \frac{1}{| a | + 1}$ ； ② $| a + 1 | x = 1$ 的解为 $x = \frac{1}{| a + 1 |}$ ；

③ $(| a | + | b |) x = 1$ 的解为 $x = \frac{1}{| a | + | b |}$ ； ④ $| a + b | x = 1$ 的解为 $x = \frac{1}{| a + b |}$ ．

A． $0$ B． $1$ C． $3$ D． $4$

题目SH-027-017

解关于 $x$ 的方程：

⑴ $a x + x = 3$ ；

⑵ $2 m - (m + n) x = (m - n) x$ ．

题目SH-027-018

解关于 $x$ 方程： $a (2 x + 1) - b = x$
已知关于 $x$ 的方程 $4 x - 2 m = 3 x - 1$ 的解是 $x = 2 x - 3 m$ 的解的 $2$ 倍，求 $m$ 的值．
已知关于 $x$ 的方程 $9 x - 3 = k x + 14$ 有整数解，那么满足条件的所有整数 $k$ =_______．
若 $a$ 为定值，关于 $x$ 的一元一次方程 $(a - 1) m + x = 3$ ，无论 $m$ 为何值时，它的解总是 $x = 3$ ，求 $a$ 的值．

题目SH-027-019

若 $a$ 、 $b$ 为定值，关于 $x$ 的一元一次方程 $\frac{2 k x + a}{3} - \frac{x - b k}{6} = 2$ ，无论 $k$ 为何值时，它的解总是 $x = 1$ ，求 $2 a + 3 b$ 的值．
解关于 $x$ 的方程： $(a + 2 a + \dots + 10 a) x = 11 a$ ．
解关于 $x$ 的方程： $\frac{1}{3} m (x - n) = \frac{1}{4} (x + 2 m)$ ．
$k$ 为何正数时，关于 $x$ 的方程 $k^{2} x - k^{2} = 2 k x - 5 k$ 的解是正数？