第5讲含参方程组 · 章法数学

知识模块 01 · 原讲小节

含参方程组

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

知识讲解定义、性质与方法

方程组中如果有字母参数，这类问题通常被称为含参方程组．

对于这类方程组，我们依然利用主元思想，将字母参数视为数字，其解法与一般方程组类似，加减或代入消元，转化为含参一元一次方程，分类讨论：

例如：我们尝试解关于 $x, y$ 的二元一次方程组 ${\begin{matrix} x + y = 1 ① \\ a x + y = b ② \end{matrix}$ 时，

首先，由①式解出 $y =$ ；

代入②，消去 $y$ ，得到关于 $x$ 的方程；

此时按照含参一元一次方程的解法，对字母系数进行分类讨论：

⑴当时，此时方程组有唯一解 ${\begin{matrix} x =_________ \\ y =_________ \end{matrix}$ ;

⑵当时，此时方程组无解;

⑶当时，此时方程组有无穷多解．

事实上，对于标准形式的二元一次方程组，我们有如下结论：

方程组 ${\begin{matrix} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} \end{matrix}$ （ $a_{1}, a_{2}$ 不同时为 $0$ ， $b_{1}, b_{2}$ 不同时为 $0$ ）解的情况：

①当 $\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}$ 时，有唯一解；

②当 $\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}$ 时，无解；

③当 $\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}}$ 时，有无数解．

利用上述结论可以快速判断方程组解的情况，但当分母含有参数时，需要讨论分母为零的情况，所以有时候会把结论书写成乘积形式，或直接消元转化为一元一次方程讨论．

题目SH-028-001难度 B · 巩固

⑴若关于 $x$ ， $y$ 的方程组 ${\begin{matrix} x - y = 5 \\ a x + 3 y = b - 1 \end{matrix}$ 无解，则 $a$ 的取值为（）．

A． $0$ B． $3$ C． $- 3$ D． $\pm 3$

⑵已知关于 $x$ ， $y$ 的方程组 ${\begin{matrix} 2 x + 3 a y = 2 b - 1 \\ x + 2 y = 10 \end{matrix}$ 有无数组解，则 $a =$ _________， $b =$ ________．

题目SH-028-002难度 C · 综合

已知关于 $x, y$ 的方程组 ${\begin{matrix} 3 a x - 2 b y = 1 \\ 5 x + 6 y = 7 \end{matrix}$ 无解，求关于 $x$ 的方程 $3 (3 a x + 2) + 5 b x = 6$ 的解．

题目SH-028-003难度 C · 综合

解关于 $x, y$ 的方程组 ${\begin{matrix} a x - 2 y = 5 \\ x + y = a \end{matrix}$ ．

题目SH-028-004难度 D · 提升

当 $a, b$ 为何值时，关于 $x, y$ 的方程组 ${\begin{matrix} 3 x - 4 y = b \\ a x + 3 y = b + 2 \end{matrix}$ ；

①有唯一解；②有无数解；③无解．

知识模块 02 · 原讲小节

含参方程组相关题型

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题目SH-028-005难度 C · 综合

若方程组 ${\begin{matrix} 4 x + 3 y = 5 \\ k x - (k - 1) y = 8 \end{matrix}$ 的解中 $x$ 比 $y$ 的相反数大 $1$ ，求 $k$ 的值．

题目SH-028-006难度 C · 综合

关于 $x ， y$ 的方程组 ${\begin{matrix} 3 x - y = 5 \\ 4 a x + 5 b y = - 22 \end{matrix}$ 与 ${\begin{matrix} 2 x + 3 y = - 4 \\ a x - b y = 8 \end{matrix}$ 有相同的解，则 ${(- a)}^{b}$ =．

题目SH-028-007难度 D · 提升

在一次期末考试中，王老师发现全班有近一半的同学在解关于 $x, y$ 的方程组 ${\begin{matrix} 2 a x + 3 y = b \\ (a + 1) x - b y = 3 \end{matrix}$ 时，看错了 $b$ 的符号（正看成负或者负看成正），因此算得的结果是 ${\begin{matrix} x = 3 \\ y = 1 \end{matrix}$ ，求原方程组正确的解．

题目SH-028-008难度 D · 提升

已知关于 $x$ 、 $y$ 的方程组 ${\begin{matrix} x - 2 y = m - 12 \\ 2 x - 3 y = 4 m - 21 \end{matrix}$ 的解满足 $x < y + 1$ ，求满足条件的正整数 $m$ 的值．

题目SH-028-009难度 D · 提升

已知关于 $x, y$ 的方程组 ${\begin{matrix} x + (1 + k) y = 0 \\ (1 - k) x + k y = 1 + k \\ (1 + k) x + (12 - k) y = - 1 - k \end{matrix}$ 有解，求 $k$ 的值．

题目SH-028-010

已知：方程组 ${\begin{matrix} b x - 2 y = a + 3 \\ 2 x + y = 2 b \end{matrix}$ ，请确定 $a$ 、 $b$ 的值，使得方程组：

⑴有唯一解；⑵有无数个解；⑶无解．

题目SH-028-011

如果方程组 ${\begin{matrix} 2 x - y = 7 \\ a x + y = b \end{matrix}$ 和方程 ${\begin{matrix} x + b y = a \\ 3 x + y = 8 \end{matrix}$ 有相同的解，求 $a$ 、 $b$ 的值．

题目SH-028-012

已知关于 $x$ 、 $y$ 的方程组 ${\begin{matrix} x - y = a + 3 \\ 2 x + y = 5 a \end{matrix}$ 的解满足 $x > y > 0$ ，化简： $| a + | 3 - a | |$ ．

题目SH-028-013

如果关于 $x$ 、 $y$ 的方程组 ${\begin{matrix} 2 x - 3 y = m - 1 ① \\ 3 x - 2 y = 2 - m ② \end{matrix}$ 的解满足 $x < 3$ ， $y \geq - 3$ ，求正整数 $m$ 的值．

题目SH-028-014

若关于 $x ， y$ 的方程组 ${\begin{matrix} x + 3 y = 2 n \\ 2 x + (m - 1) y = m \end{matrix}$ 有无穷多组解，求 $m$ 、 $n$ 的值．
解关于 $x 、 y$ 的方程组 ${\begin{matrix} 2 x + 3 y = 5 \\ 2 x + m y = 6 \end{matrix}$ ．
关于 $x ， y$ 的方程组 ${\begin{matrix} x = 1 \\ a x + b y = 6 \end{matrix}$ 与 ${\begin{matrix} 2 x + y = 4 \\ a x - b y = 8 \end{matrix}$ 有相同的解，则 $a b =$ ．
已知方程组 ${\begin{matrix} a x + b y = 2 \\ m x - 7 y = 8 \end{matrix}$ 的解应为 ${\begin{matrix} x = 3 \\ y = - 2 \end{matrix}$ ，由于粗心，小明看错了 $m$ ，解方程组得 ${\begin{matrix} x = - 2 \\ y = 2 \end{matrix}$ ，则 $a \cdot b \cdot m$ 的值是_____________．
$k$ 为何值时，关于 $x ， y$ 的方程组 ${\begin{matrix} 3 x - 5 y = k + 2 \\ 2 x - 3 y = k \end{matrix}$ 的解的和为 $20$ ．

题目SH-028-015

当 $m$ 为何值时，关于 $x ， y$ 的方程组 ${\begin{matrix} (m - 2) x - 2 y = 2 m \\ (m - 2) x + 3 y = 7 m \end{matrix}$ 的解满足 $x y < 0$ ？
三个同学对问题“若方程 ${\begin{matrix} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} \end{matrix}$ 的解是 ${\begin{matrix} x = 3 \\ y = 4 \end{matrix}$ ，求方程组 ${\begin{matrix} a_{1} x + 2 b_{1} y = 5 c_{1} \\ a_{2} x + 2 b_{2} y = 5 c_{2} \end{matrix}$ 的解．”提出各自的想法：甲说：“这个题目好像条件不够，不能解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以 $5$ ，通过换元替代的方法来解决”．参考它们的讨论，你认为该题目的解应该是．
已知关于 $x 、 y$ 方程组 ${\begin{matrix} 3 x + m y = 5 \\ x + n y = 4 \end{matrix}$ 无解， $m$ 和 $n$ 是绝对值小于 $10$ 的整数，求 $m$ 和 $n$ 的值．
已知关于 $x$ 、 $y$ 的方程组 ${\begin{matrix} a x + 2 y = 1 + a \\ 2 x + 2 (a - 1) y = 3 \end{matrix}$ ，分别求出当 $a$ 为何值时，方程组的解为：⑴唯一一组解；⑵无解；⑶有无穷多组解．