第12讲绝对值方程与不等式

知识模块 01 · 原讲小节

绝对值方程

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

知识讲解定义、性质与方法

我们把绝对值内含有未知数的方程，称为含绝对值方程（以下简称绝对值方程）．如 $| x - 1 | = 2$ 、 $| x - 2 | + | x + 3 | = 5$ 都是绝对值方程．

知识模块 02 · 原讲小节

常见绝对值方程的解法

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

知识讲解定义、性质与方法

⑴ 形如 $| a x + b | = c$ 的方程，可分如下三种情况讨论：

① $c < 0$ ，则方程无解；

② $c = 0$ ，则根据绝对值的定义可知， $a x + b = 0$ ，方程有一解；

③ $c > 0$ ，则根据绝对值的定义可知， $a x + b = \pm c$ ，方程有两解．

例如： $| 2 x - 3 | = 5$

解：原方程可化为 $2 x - 3 = 5$ 或；

解得 $x =$ ．

⑵ 形如 $| a x + b | = c x + d$ 型的绝对值方程的解法：

①根据绝对值的定义得出， $a x + b = \pm (c x + d)$ ，且 $c x + d \geq 0$ ；

②解方程 $a x + b = c x + d$ 和 $a x + b = - (c x + d)$ ，需检验 $c x + d \geq 0$ ．

例如： $| 2 x - 3 | = 3 x + 1$

解：原方程可化为 $2 x - 3 = 3 x + 1$ 或；

解得 $x =$ ；

经检验： $x =$ 是原方程的解．

⑶形如 $| a x + b | = | c x + d | (a c \neq 0)$ 型的绝对值方程的解法：

①根据两数的绝对值相等，则两数相等或互为相反数，可将原方程化为两个方程 $a x + b = c x + d$ 或 $a x + b = - (c x + d)$ ；

②分别解方程 $a x + b = c x + d$ 和 $a x + b = - (c x + d)$ ．（无需检验）

编者注

在解绝对值方程的过程中，由于要去掉绝对值符号，把方程转化为一元一次方程，这样就取消了本身某些非负的限制，在一些情况下就会多出一些增根，此时就需要检验．

注：若分不清楚何时需要检验，建议都检验下！！

题目SH-017-001难度 B · 巩固

解绝对值方程：

⑴ $| 2 x - 4 | = 0$ ； ⑵ $| 2 x - 1 | = 3$ ；

⑶ $| 2 x + 3 | = \frac{5}{2}$ ； ⑷ $| 3 x - 2 | = - 1$ ．

题目SH-017-002难度 C · 综合

⑴ $| \frac{1}{2} x - 1 | = x$ ； ⑵ $| 4 x + 3 | = 2 x + 9$ ．

题目SH-017-003难度 C · 综合

解绝对值方程:

⑴ $| a | = | 2 a - 3 |$ ； ⑵ $| \frac{2}{3} x + 1 | = | \frac{1}{2} x - 2 |$ ．

题目SH-017-004难度 C · 综合

解方程： $\frac{| x + 1 | - 1}{2} - 1 = \frac{2 - | x + 1 |}{3}$ ．

绝对值不等式

知识模块 03 · 原讲小节

绝对值不等式

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

知识讲解定义、性质与方法

我们把绝对值内含有未知数的不等式，称为含绝对值不等式（以下简称绝对值不等式）．如 $| x - 1 | > 2$ 、 $| x - 2 | + | x + 2 | > 15$ 都是绝对值不等式．

知识模块 04 · 原讲小节

常见绝对值不等式解法

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

知识讲解定义、性质与方法

⑴ 最简单的绝对值不等式为 $| x | > a$ （ $a$ 为常数）：

（几何意义：数轴上 $x$ 到原点的距离大于 $a$ ）

①当 $a > 0$ 时，不等式的解集为 $x > a$ 或 $x < - a$ ；

②当 $a = 0$ 时，不等式的解集为 $x > 0$ 或 $x < 0$ （或 $x \neq 0$ ）；

③当 $a < 0$ 时，不等式的解集为 $x$ 为任意实数．

例如： $| 3 x - 1 | > 5$

解：原不等式可化为 $3 x - 1 > 5$ 或；

解得 $x > 2$ 或；

⑵另一种较为简单的绝对值不等式为 $| x | < a$ （ $a$ 为常数）：

（几何意义：数轴上 $x$ 到原点的距离小于 $a$ ）

①当 $a > 0$ 时，不等式的解集为 $- a < x < a$ ；

②当 $a = 0$ 时，不等式无解；

③当 $a < 0$ 时，不等式无解．

例如： $| 3 x - 2 | < 3$

解：原不等式可化为 $< 3 x - 2 <$ ；

解得．

⑶当不等式为绝对值大于（或小于）一个一次代数式时， $| a x + b | > c x + d$ （或 $| a x + b | < c x + d$ ）．

考虑绝对值内部 $a x + b$ 的正负，分类讨论去绝对值．

$| x - 1 | < 2 x - 3$

解： $x - 1 \geq 0$ 时，原不等式可化为 $< 2 x - 3$ ，解得；

$x - 1 < 0$ 时，原不等式可化为 $< 2 x - 3$ ，解得；

综上所述：原不等式的解集为．

注：事实上，本类题型中，确定绝对值内正负的步骤是可以省略的，无须检验，即：

$| a x + b | > c x + d$ 直接转化为 $a x + b > c x + d$ 或 $a x + b < - c x - d$ ，求解两个不等式；

$| a x + b | < c x + d$ 直接转化为 $- c x - d < a x + b < c x + d$ ，求解不等式组即可．

对于含绝对值的不等式组，分别求解每个不等式，取每个不等式解集的公共部分即可．其难点在于解集公共部分的取舍，要注意“或”与“且”的关系．

建议结合绝对值的几何意义进行讲解

题目SH-017-005难度 B · 巩固

解不等式：

⑴ $| \frac{1}{3} x - \frac{7}{2} | > - 3$ ； ⑵ $| 2 - x | < 0$ ； ⑶ $| x - 3 | \geq 0$ ；

⑷ $| x - \frac{1}{2} | \leq 0$ ； ⑸ $| \frac{1}{2} x - 3 | > 0$ ．

题目SH-017-006难度 C · 综合

解下列不等式：

⑴ $| 3 x - 2 | > 4$ ； ⑵ $| 4 x - 2 | \geq 3$ ．

题目SH-017-007难度 C · 综合

解不等式：

⑴ $| x - \frac{1}{8} | < \frac{1}{4}$ ； ⑵ $| 5 - 2 x | \leq 2$ ．

题目SH-017-008难度 D · 提升

解绝对值不等式：

⑴ $| 2 x - 1 | < 2 - 3 x$ ； ⑵ $| x - 2 | \geq 2 x - 10$ ．

题目SH-017-009难度 D · 提升

解绝对值不等式组：

⑴ ${\begin{matrix} | 3 x - 2 | > 1 \\ 1 - \frac{x + 6}{2} \leq \frac{2 x + 1}{3} \end{matrix}$ ； ⑵ ${\begin{matrix} | \frac{1}{2} (x - 3) + 3 | < 2 \\ \frac{2 x + 1}{3} + 8 > \frac{1 - x}{2} \end{matrix}$ ．

题目SH-017-010

$x = 2$ 是方程 $| 3 x - m | = 2 x - \frac{3}{2}$ 的解，则 $m =$ ______________．

$\frac{7}{2}$ 或 $\frac{17}{2}$ ．

题目SH-017-011

解方程： $| \frac{1 - 2 x}{5} | - 4 \frac{1}{2} = 5 \frac{1}{2}$ ．

$| \frac{1 - 2 x}{5} | = 10 \Rightarrow \frac{1 - 2 x}{5} = 10$ 或 $\frac{1 - 2 x}{5} = - 10$ $\Rightarrow x = - \frac{49}{2}$ 或 $\frac{51}{2}$ ．

题目SH-017-012

解关于 $x$ 的绝对值方程： $| 2 x + 6 | = 3 x - 5$ ．

$2 x + 6 = 3 x - 5 \Rightarrow x = 11$

或 $- 2 x - 6 = 3 x - 5 \Rightarrow x = - \frac{1}{5}$ （舍）．

题目SH-017-013

不等式 $| 5 - 3 x | < 9$ 的解集是________________．

$- \frac{4}{3} < x < \frac{14}{3}$ ．

题目SH-017-014

不等式 $| - 2 - \frac{1}{2} x | \leq \frac{3}{2}$ 的解集是______________．

$- 7 \leq x \leq - 1$ ．

题目SH-017-015

解不等式组： ${\begin{matrix} | \frac{1}{2} x - 1 | < 2 \\ \frac{0.3 (x - 4)}{0.4} \leq \frac{0.5 (x - 3)}{0.8} - 1 \end{matrix}$ ．

${\begin{matrix} | \frac{1}{2} x - 1 | < 2 ① \\ \frac{0.3 (x - 4)}{0.4} \leq \frac{0.5 (x - 3)}{0.8} - 1 ② \end{matrix}$ ；

由①得， $- 2 < \frac{1}{2} x - 1 < 2 \Rightarrow - 2 < x < 6$ ；

由②得， $x \leq 1$ ；

∴ $- 2 < x \leq 1$ ．

题目SH-017-016

解方程：

⑴ $| 2 x + 1 | = 5$ ； ⑵ $| 6 - x | = 7$ ．

⑴由 $2 x + 1 = 5$ 或 $2 x + 1 = - 5$ ，得 $x = 2$ 或 $x = - 3$ ．

⑵由 $6 - x = 7$ 或 $6 - x = - 7$ ，得 $x = - 1$ 或 $x = 13$ ．

题目SH-017-017

解方程：

⑴ $| x - 1 | + 3 x = - 5$ ； ⑵ $| x - 1 | = - 2 x + 1$ ．

⑴由题意得 $x - 1 = - 3 x - 5$ 或 $x - 1 = 3 x + 5$ ，解得 $x = - 1$ （舍）或 $x = - 3$ ；

所以原方程的解为 $x = - 3$ ．

⑵ $x - 1 = - 2 x + 1$ 解得 $x = \frac{2}{3}$ ，舍去； $1 - x = - 2 x + 1$ ；解得 $x = 0$ ；

所以原方程的解为 $x = 0$ ．

题目SH-017-018

解方程：

⑴ $| 3 x + 1 | = | 2 + 2 x |$ ； ⑵ $| 5 - 3 x | = | 2 x + 2 |$ ．

⑴ $3 x + 1 = 2 + 2 x$ 或 $3 x + 1 = - 2 - 2 x$ ；解得 $x = 1$ 或 $x = - \frac{3}{5}$ ．

⑵由 $5 - 3 x = 2 x + 2$ 或 $5 - 3 x = - 2 x - 2$ ，得 $x = \frac{3}{5}$ 或 $x = 7$ ．

题目SH-017-019

解绝对值不等式：

⑴ $| x - \frac{1}{1234} | < 0$ ； ⑵ $| x - \frac{1}{1234} | \leq 0$ ；

⑶ $| x - \frac{1}{1234} | > 0$ ； ⑷ $| x - \frac{1}{1234} | \geq 0$ ．

⑴无解；⑵ $x = \frac{1}{1234}$ ；⑶ $x \neq \frac{1}{1234}$ ；⑷ $x$ 为任意实数

题目SH-017-020

解绝对值不等式：

⑴ $| 3 x - 4 | > 4$ ； ⑵ $| \frac{1}{5} - x | > \frac{1}{10}$ ．

⑴ $3 x - 4 > 4$ 或 $3 x - 4 < - 4$ ，即 $x > \frac{8}{3}$ 或 $x < 0$ ．

⑵ $\frac{1}{5} - x > \frac{1}{10}$ 或 $\frac{1}{5} - x < - \frac{1}{10}$ ，解得 $x < \frac{1}{10}$ 或 $x > \frac{3}{10}$

题目SH-017-021

解绝对值不等式：

⑴ $| 5 - x | \leq 2$ ； ⑵ $| - 1 - x | < \frac{3}{2}$ ．

⑴ $- 2 \leq 5 - x \leq 2$ ，解得 $3 \leq x \leq 7$ ；⑵ $- \frac{3}{2} < x + 1 < \frac{3}{2}$ ，解得 $- \frac{5}{2} < x < \frac{1}{2}$ ．

题目SH-017-022

解绝对值不等式： $| 2 x + 1 | > x + 1$ ．

当 $2 x + 1 \geq 0$ 时，即 $x \geq - \frac{1}{2}$ ，则 $2 x + 1 > x + 1$ ，解得 $x > 0$ ，又因为 $x \geq - \frac{1}{2}$ ，所以 $x > 0$

当 $2 x + 1 < 0$ 时，即 $x < - \frac{1}{2}$ ，则 $- (2 x + 1) > x + 1$ ，解得 $x < - \frac{2}{3}$ ，又因为 $x < - \frac{1}{2}$ ，所以 $x < - \frac{2}{3}$

综上所述，原不等式的解集是 $x > 0$ 或 $x < - \frac{2}{3}$ ．

题目SH-017-023

解方程：

⑴ $\frac{2 | x - 1 | - 5}{3} = 1$ ； ⑵ $3 | x - 2 | - 4 = | x - 2 |$ ．

⑴ $| x - 1 | = 4$ ；∴ $x - 1 = 4$ 或 $x - 1 = - 4$

∴ $x = 5$ 或 $x = - 3$

经检验： $x = 5$ 、 $x = - 3$ 是原方程的解

⑵ $| x - 2 | = 2$ ；∴ $x - 2 = 2$ 或 $x - 2 = - 2$

∴ $x = 4$ 或 $x = 0$

经检验： $x = 4$ 、 $x = 0$ 是原方程的解．

题目SH-017-024

解不等式：

⑴ $| 4 x - 5 | > 3 x + 1$ ； ⑵ $| 2 x + 8 | > 3 x - 5$ ．

⑴ $4 x - 5 < - 3 x - 1$ 或 $4 x - 5 > 3 x + 1$ ；

$7 x < 4$ 或 $x > 6$ ；

$x < \frac{4}{7}$ 或 $x > 6$ ．

⑵当 $x \geq - 4$ 时， $2 x + 8 > 3 x - 5$ ， $x < 13$ ，∴ $- 4 \leq x < 13$

当 $x < - 4$ 时， $- 2 x - 8 > 3 x - 5$ ， $x < - \frac{3}{5}$ ，∴ $x < - 4$

综上所述： $x < 13$

题目SH-017-025

解不等式：

⑴ $| 3 x - 1 | < 3 - 2 x$ ； ⑵ $| 5 x - 1 | < x + 4$ ．

$2 x - 3 < 3 x - 1 < 3 - 2 x$ ； ${\begin{matrix} x > - 2 \\ x < \frac{4}{5} \end{matrix}$ ； $∴ - 2 < x < \frac{4}{5}$ ．

⑵ $- x - 4 < 5 x - 1 < x + 4$ ， ${\begin{matrix} x < \frac{5}{4} \\ x > - \frac{1}{2} \end{matrix} \Rightarrow$ $- \frac{1}{2} < x < \frac{5}{4}$ ．

题目SH-017-026

解绝对值不等式组：

${\begin{matrix} | 3 x + 1 | < 2 - x ① \\ | 2 x - 3 | \geq x + 1 ② \end{matrix}$

由 $①$ 得： ${\begin{matrix} 2 - x > 0 \\ x - 2 < 3 x + 1 < 2 - x \end{matrix}$

$∴ {\begin{matrix} x < 2 \\ - \frac{3}{2} < x < \frac{1}{4} \end{matrix}$ ，故 $- \frac{3}{2} < x < \frac{1}{4}$

由 $②$ 得： $2 x - 3 \leq - x - 1$ 或 $2 x - 3 \geq x + 1$ ，故 $x \leq \frac{2}{3}$ 或 $x \geq 4$

综上，不等式组的解集： $- \frac{3}{2} < x < \frac{1}{4}$

题目SH-017-027

求满足不等式 $- 1 < | 3 x - 1 | + 2 x \leq 7$ 的所有的整数之和．

由题， ${\begin{matrix} | 3 x - 1 | > - 2 x - 1 ① \\ | 3 x - 1 | \leq - 2 x + 7 ② \end{matrix}$

由 $①$ 得： $3 x - 1 < 2 x + 1$ 或 $3 x - 1 > - 2 x - 1$ ， $∴ x < 2$ 或 $x > 0$ ，故 $x$ 为一切实数

由 $②$ 得： $2 x - 7 \leq 3 x - 1 \leq - 2 x + 7$ ， $∴ - 6 \leq x \leq \frac{8}{5}$

综上， $- 6 \leq x \leq \frac{8}{5}$ ，故整数解： $- 6, - 5, - 4, - 3, - 2, - 1, 0, 1$

所以所有整数解之和： $- 20$ ．