函数 · 第 076 讲

第12讲二次函数（一）

19 道题6 个知识模块答案解析精校中

本讲答案与解析正在逐题精校，完成后在题卡下方开放。当前请先独立作答，再回来对照。

知识模块 01 · 原讲小节

二次函数的定义

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

知识讲解定义、性质与方法

一般地，形如 $y = a x^{2} + b x + c$ （ $a ， b ， c$ 为常数， $a \neq 0$ ）的函数称为 $x$ 的二次函数．

注意：和一元二次方程类似，二次项系数 $a \neq 0$ ，而 $b$ 、 $c$ 可以为零．二次函数的自变量的取值范围是全体实数．

知识模块 02 · 原讲小节

二次函数的图像及性质

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

知识讲解定义、性质与方法

二次函数的图像是一条曲线，叫做抛物线．

抛物线是轴对称图形，有且只有一条对称轴，对称轴与抛物线的交点是这个抛物线的顶点．

二次函数 $y = a x^{2}$ $（ a \neq 0 ）$ 的性质：

抛物线 $y = a x^{2}$ 的顶点是坐标原点 $(0 ， 0)$ ，对称轴是直线 $x = 0$ （ $y$ 轴）．
函数 $y = a x^{2}$ 的图像与 $a$ 的符号关系．

①当 $a > 0$ 时 $\Leftrightarrow$ 抛物线开口向上 $\Leftrightarrow$ 顶点为其最低点；

②当 $a < 0$ 时 $\Leftrightarrow$ 抛物线开口向下 $\Leftrightarrow$ 顶点为其最高点；

二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ $（ a \neq 0 ）$ 或 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ （ $a \neq 0$ ）的性质

从解析式上看， $y =$ $a {(x - h)}^{2} + k$ 与 $y = a x^{2} + b x + c$ 是两种不同的表达形式，

后者通过配方可以得到前者，即 $y = a {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} + \frac{4 a c - b^{2}}{4 a}$ ，

其中 $h = - \frac{b}{2 a} ， k = \frac{4 a c - b^{2}}{4 a}$

开口方向： ${\begin{matrix} a > 0 \Leftrightarrow 向上 \\ a < 0 \Leftrightarrow 向下 \end{matrix}$

拓展

开口大小： $| a |$ 越大，抛物线开口越小； $| a |$ 越小，抛物线开口越大．

抛物线形状：几条抛物线的解析式中，若 $| a |$ 相等，则其形状相同，即：

若 $a$ 相等，则开口及形状相同，

若 $a$ 互为相反数，则形状相同、开口相反．

对称轴：直线 $x = - \frac{b}{2 a}$ （或 $x = h$ ）

$b$ 和 $a$ 共同决定抛物线对称轴的位置（左同右异）

当 $b = 0$ 时，抛物线的对称轴为 $y$ 轴；

当 $a$ 、 $b$ 同号时，对称轴在 $y$ 轴的左侧；

当 $a$ 、 $b$ 异号时，对称轴在 $y$ 轴的右侧．

顶点坐标： $(- \frac{b}{2 a}, \frac{4 a c - b^{2}}{4 a})$ （或 $(h, k)$ ）
最值：

$a > 0$ 时有最小值 $\frac{4 a c - b^{2}}{4 a}$ （或 $k$ ）；

$a < 0$ 时有最大值 $\frac{4 a c - b^{2}}{4 a}$ （或 $k$ ）．

单调性：二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ （ $a \neq 0$ ）的变化情况（增减性）

①当 $a > 0$ 时，

对称轴的左侧 $x < - \frac{b}{2 a}$ ， $y$ 随着 $x$ 的增大而减小，

对称轴的右侧 $x > - \frac{b}{2 a}$ ， $y$ 随 $x$ 的增大而增大．

②当 $a < 0$ 时，

对称轴的左侧 $x < - \frac{b}{2 a}$ ， $y$ 随着 $x$ 的增大而增大，

对称轴的右侧 $x > - \frac{b}{2 a}$ ， $y$ 随 $x$ 的增大而减小．

知识模块 03 · 原讲小节

与坐标轴的交点

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知识讲解定义、性质与方法

①与 $y$ 轴的交点： $(0 ， c)$ ； $c$ 的大小决定抛物线与 $y$ 轴交点的位置：

当 $c = 0$ 时，抛物线与 $y$ 轴的交点为原点；

当 $c > 0$ 时，交点在 $y$ 轴的正半轴；

当 $c < 0$ 时，交点在 $y$ 轴的负半轴．

②与 $x$ 轴的交点：方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ （或 $a {(x - h)}^{2} + k = 0$ ）的根．

$△ > 0,$ 两个不同交点； $△ = 0$ ，唯一交点； $△ < 0$ ，没有交点.

知识模块 04 · 原讲小节

二次函数图像的画法：五点绘图法

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知识讲解定义、性质与方法

利用配方法将二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 化为顶点式 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ ，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图．

一般我们选取的五点为：顶点、与 $y$ 轴的交点 $(0 ， c)$ 、以及 $(0 ， c)$ 关于对称轴对称的点 $(2 h ， c)$ 、与 $x$ 轴的交点 $(x_{1} ， 0)$ ， $(x_{2} ， 0)$ （若与 $x$ 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）．

画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与 $x$ 轴的交点，与 $y$ 轴的交点．

知识模块 05 · 原讲小节

二次函数的图像信息

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题目SH-076-001

根据抛物线的开口方向判断 $a$ 的正负性．
根据抛物线的对称轴判断 $- \frac{b}{2 a}$ 的大小．
根据抛物线与 $y$ 轴的交点，判断 $c$ 的大小．
据抛物线与 $x$ 轴有无交点，判断 $b^{2} - 4 a c$ 的正负性．
根据抛物线所经过的已知坐标的点，可得到关于 $a ， b ， c$ 的等式．
根据抛物线的顶点，判断 $\frac{4 a c - b^{2}}{4 a}$ 的大小．

点的坐标设法

一次函数 $y = a x + b$ （ $a \neq 0$ ）图像上的任意点可设为 $(x_{1} ， a x_{1} + b)$ ．其中 $x_{1} = 0$ 时，该点为直线与 $y$ 轴交点．
二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ （ $a \neq 0$ ）图像上的任意一点可设为 $(x_{1} ， a {x_{1}}^{2} + b x_{1} + c)$ ．当 $x_{1} = 0$ 时，该点为抛物线与 $y$ 轴交点，当 $x_{1} = - \frac{b}{2 a}$ 时，该点为抛物线顶点．

题目SH-076-002难度 A · 基础

写出下列二次函数的二次项、一次项、常数项？

⑴ $3 y = 3 {(x - 1)}^{2} + 1$ ；

⑵ $y = - 0.5 (x - 1) (x + 4)$ ；

⑶ $s = 3 - 2 t^{2}$ ；

题目SH-076-003难度 A · 基础

关于 $x$ 的函数是二次函数的有．

⑴ $y = 3 x^{2} - 1$ ； ⑵ $y = \sqrt{x^{2} + 5}$ ；

⑶ $y = - x (x - 2)$ ； ⑷ $y = 3 x^{2} - 4 - x^{3}$ ；

⑸ $y = 2 x π^{2}$ ； ⑹ $y = 2 - \frac{1}{3} x^{2}$ ；

⑺ $y = \frac{1}{2 - x^{2}}$ ； ⑻ $\frac{y}{x - 3} = 2 + x$ ；

⑼ $y = (3 + x) (x - 2) + x^{2}$ ； ⑽ $y = a x^{2}$ ；

⑾ $y = a x^{2} + b x + c$ ； ⑿ $y = (a^{2} + 1) x^{2} + b x + c$ ．

题目SH-076-004难度 B · 巩固

⑴已知函数 $y = (m^{2} + m) x^{m^{2} - m} + (m^{2} + 3 m + 2) x + m^{2} + 2 m$ ，当 $m$ 是什么数时，

函数是二次函数？

⑵已知函数 $y = （ m - 1) x^{m^{2} - m}$ ，当 $m$ 是什么数时，函数是开口向下的二次函数？

题目SH-076-005难度 B · 巩固

通过配方法将以下二次函数化为顶点式，写出图像的开口方向、对称轴及顶点坐标．

⑴ $y = - 2 x^{2} + 4 x + 7$ ；

⑵ $y = \frac{3}{2} x^{2} + 3 x + 7$ ；

⑶ $y = a x^{2} - b x - c$ （ $a 、 b 、 c$ 是常数， $a \neq 0$ ）．

题目SH-076-006难度 B · 巩固

⑴已知 $A (- 5, y_{1})$ 、 $B (- 4 ， y_{2})$ 是抛物线 $y = {(x + 3)}^{2} - 2$ 的图像上两点，则 $y_{1}____y_{2}$ ．

⑵开口向下的抛物线对称轴是直线 $x = 2$ ，当自变量 $x$ 取 $2$ 、 $- 1$ 、 $6$ 、 $- 3$ 时，对应的函数值为 $a 、 b 、 c 、 d$ ，则 $a 、 b 、 c 、 d$ 的大小关系是 $__________$ ．

题目SH-076-007难度 B · 巩固

在直角坐标系中，画出二次函数 $y = x^{2} - 1$ 和 $y = - x^{2} + 4 x - 3$ ．

题目SH-076-008难度 B · 巩固

⑴已知函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图像如图所示，根据图像试确定下列代数式的值的符号：

① $a$ 、 $b$ 、 $c$ ； ② $b^{2} - 4 a c$ ； ③ $a - b + c$ ．

⑵已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图像如图所示，则下列 $6$ 个代数式 $b^{2} - 4 a c$ 、 $a b c$ 、 $a - b + c$ 、 $a + b + c$ 、 $2 a - b$ 、 $9 a - 4 b$ 中，其值为负的式子有 $________$ 个．

⑶二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图像如图，给出下列四个结论：

① $4 a c - b^{2} < 0$ ；② $4 a + c < 2 b$ ；③ $3 b + 2 c < 0$ ；④ $m (a m + b) + b < a (m \neq - 1)$ ，其中正确结论的个数是．

知识模块 06 · 原讲小节

二次函数解析式的表示方法

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知识讲解定义、性质与方法

名称	函数形式	温馨提示
一般式	$y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$	已知任意 $3$ 点坐标，可用一般式求解二次函数解析式．
顶点式	$y = a {(x - h)}^{2} + k (a \neq 0)$	已知①顶点坐标；②对称轴；③任意两点坐标的纵坐标 $(x_{1}, y), (x_{2}, y)$ 相同时，可用顶点式求解二次函数解析式．
交点式（两根式）	$\begin{matrix} y = a (x - x_{1}) (x - x_{2}) \\ (a \neq 0) \end{matrix}$	已知①抛物线与 $x$ 轴的两个交点坐标；②对称轴和抛物线与 $x$ 轴一个交点的坐标；③两点 $(x_{1}, y), (x_{2}, y)$ 的纵坐标相同，且知抛物线与 $x$ 轴的一个交点坐标，均可用交点式求解二次函数解析式．
对称式（选讲）	$\begin{matrix} y = a (x - x_{1}) (x - x_{2}) + k \\ (a \neq 0) \end{matrix}$	已知当抛物线经过点 $(x_{1}, k)$ 、 $(x_{2}, k)$ 时，可以用对称式来求二次函数的解析式．温馨提示：对称式上海中考不允许直接使用！

注意

①任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与 $x$ 轴有交点，即 $b^{2} - 4 a c \geq 0$ 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化．②最后答案的表达形式用一般式或者顶点式.

题目SH-076-009难度 B · 巩固

已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ （ $a$ 、 $b$ 、 $c$ 为常数，且 $a \neq 0$ ）经过 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 四个点，其中横坐标 $x$ 与纵坐标 $y$ 的对应值如下表：

	$A$	$B$	$C$	$D$
$x$	$- 1$	$0$	$1$	$3$
$y$	$- 1$	$3$	$5$	$3$

⑴求二次函数解析式；

⑵求 $△ A B D$ 的面积．

题目SH-076-010难度 B · 巩固

⑴与抛物线 $y = - 4 x^{2}$ 形状相同，顶点为 $(2, - 3)$ 的抛物线表达式为 $_________________________$ ．

⑵已知抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 经过点 $A (0, 5)$ 、 $B (4, 5)$ ，那么此抛物线的对称轴是 $__________$ ．

题目SH-076-011难度 B · 巩固

⑴已知抛物线顶点 $(- 1, 7)$ ，且图像经过点 $(- 3, 15)$ ，求此抛物线的解析式．

⑵已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 顶点坐标为 $(4, - 1)$ ，与 $y$ 轴交于点 $(0, 3)$ ，求这条抛物线的解析式．

题目SH-076-012难度 B · 巩固

⑴已知二次函数与 $x$ 轴交于点 $(- 2, 0)$ ， $(4, 0)$ 两点，且过点 $(1, - \frac{9}{2})$ ，求二次函数解析式．

⑵已知抛物线的图像经过 $(- 2, 0)$ ， $(- 3, 9)$ ， $(6, 0)$ ，求其解析式．

题目SH-076-013难度 D · 提升

⑴已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的对称轴为直线 $x = 2$ ，且经过点 $(1 ， 4)$ 、 $(5 ， 0)$ ，求二次函数的解析式．

⑵二次函数 $y = a x^{2} + 4 a x + c$ 的最大值为 $4$ ，且图像过点 $(- 3 ， 0)$ ，求二次函数的解析式．

⑶不论 $m$ 取任何实数，抛物线 $y = x^{2} + 2 m x + m^{2} + m - 1$ 的顶点都在一条直线上，则这条直线的解析式为 $______________$ ．

⑷已知二次函数过点 $(1, - 7)$ ，与横轴的交点为 $(- 3.5, 11)$ 和 $(3, 11)$

①求函数解析式．

②在二次函数图像上存在一点 $P$ ， $P$ 点到两个坐标轴距离相等，求出 $P$ 点坐标．

题目SH-076-014

判断下列函数是不是关于 $x$ 的二次函数．

⑴ $y = \sqrt{3} x^{2} + 2 \sqrt{x} + 5$ ；

⑵ $y = - 5 + 8 x - x^{2}$ ；

⑶ $y = m x^{2} + x$ （ $m$ 是常数）；

⑷ $y = (3 x + 2) (4 x - 3) - 12 x^{2}$ ；

⑸ $y = a x^{2} + b x + c$ $(a > 0)$ ；

⑹ $y = b x^{2} + 1$ （ $b$ 是常数， $b \neq 0$ ）；

⑺ $y = x^{2} + k x + 20$ （ $k$ 为常数）；

⑻ $y = x^{2} + \frac{5}{x^{2}} + 6$ ．

题目SH-076-015

⑴已知函数 $y = (m^{2} - 1) x^{2} - (m^{2} - 2 m - 3) x - m - 1$ ，当 $m$ 为何值时， $y$ 是 $x$ 的二次函数？当 $m$ 为何值时， $y$ 是 $x$ 的一次函数？

⑵已知函数 $y = (a + 1) x^{a^{2} + 1} + (a - 3) x + a$ ，其中 $a$ 为常数，当 $a$ 取什么值时， $y$ 是 $x$ 的二次函数？

题目SH-076-016

⑴如果二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图像如图所示，那么下列判断正确的是（）

A． $b > 0$ ， $c > 0$ B． $b > 0$ ， $c < 0$ C． $b < 0$ ， $c > 0$ D． $b < 0$ ， $c < 0$

⑵已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图像如图所示，则下列结论正确的是（）

A． $a c > 0$ ； B．当 $x > - 1$ 时， $y < 0$ ； C． $b = 2 a$ ； D． $9 a + 3 b + c = 0$ ．

题目SH-076-017

已知二次函数 $y = - \frac{1}{2} x^{2} - x + \frac{7}{2}$
⑴用配方法把该二次函数的解析式化为 $y = a {(x + m)}^{2} + k$ 的形式；
⑵求出该二次函数的开口方向、顶点坐标和对称轴．
九年级数学课本上，用“描点法”画二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图像时，列出了如下的表格：

$x$	$\dots$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$\dots$
$y = a x^{2} + b x + c$	$\dots$	$3$	$0$	$- 1$	$0$	$3$	$\dots$

那么该二次函数在 $x = 5$ 时， $y =$ ．

题目SH-076-018

根据下列条件，分别求出对应的二次函数的解析式．

⑴已知二次函数的图像经过点 $A (1, 0)$ 、 $B (- 3, 0)$ 、 $C (0, - \frac{3}{2})$ ；

⑵已知抛物线的顶点为 $(1, - 3)$ ，且与 $y$ 轴交于点 $(0, 1)$ ；

⑶已知抛物线与 $x$ 轴交于 $(- 3, 0)$ 、 $(5, 0)$ ，且与 $y$ 轴的交点的纵坐标是 $- 3$ ．

题目SH-076-019

二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图像的一部分如图所示，求 $a$ 的取值范围．

【教师寄语】

本讲内容有点难以把控，知识点可能要讲40分钟到50分钟，各位老师如果怕来不及讲，有些例题两问比较类似的话，可以直接拿一道题展示给学生看，剩下一题再给学生做.题目不难，就怕量稍微有点多.