第8讲 三角形中的动点问题

如图，在平面直角坐标系中，等腰$Rt△ABC$的顶点$A$在$y$轴正半轴上，顶点$B$在$x$轴正半轴上，$OA=4$，$OB=3$．

⑴求点$C$的坐标；

⑵求经过点$B$，$C$的一次函数的解析式；

⑶在$x$轴上是否存在点$P$，使$△PCB$为等腰三角形？若存在，请直接写出点$P$的坐标；若不存在，说明理由．

平面直角坐标系中，直线$AB$：$y=-\frac{3}{4}x+3$与坐标轴分别交于$A$、$B$两点，直线$x=1$交$AB$于点$D$，交$x$轴于点$E$，$P$是直线$x=1$上动点．

⑴直接写出$A$、$B$的坐标：$A\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_$,$B\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_$；

⑵是否存在点$P$使得$△AOP$的周长最小？若存在，请求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．

⑶是否存在点$P$使得$△ABP$是等腰三角形？若存在，请求出点$P$的坐标；若不存在，请说明理由．

四边形$OABC$中，$BC\parallel OA$，$\angle OAB=90°$，$OA=6$，腰$AB$上有一点$D$，$AD=3$，$BD=a$，四边形$ODBC$的面积为$18$，建立如图所示的平面直角坐标系，反比例函数$y=\frac{k}{x}\left(x>0\right)$的图像恰好经过点$C$和点$D$．

⑴求反比例函数关系式；

⑵求出$a$的值及点$C$的坐标；

⑶在$x$轴上是否存在点$P$，使得$△CDP$是等腰三角形？若存在，直接写出点$P$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，在坐标系中，正比例函数$y=-x$的图像与反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图像交于$A$、$B$两点．

⑴试根据图像求$k$的值；

⑵$P$为$y$轴上一点，若以点$A$、$B$、$P$为顶点的三角形是直角三角形，试直接写出满足条件的点$P$所有可能的坐标．

如图所示，直线$L$与$x$轴、$y$轴分别交于$A(6,0)，B(0,3)$两点，点$C(4,0)$为$x$轴上一点，点$P$在线段$AB$（包括端点$A、B$）上运动．

⑴求直线$L$的解析式；

⑵当点$P$的纵坐标为$1$时，按角的大小进行分类，请你确定$△PAC$是哪一类三角形，并说明理由；

⑶是否存在这样的点$P$，使$△POC$为直角三角形？若存在，求出点$P$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，$A\left(-3,4\right)$，在$x$轴上有一动点$P$,过点$P$作$PB\perp PA$，交$y$轴于点$B$,已知$△PAB$是等腰直角三角形，求点$P$的坐标.

在平面直角坐标系中，已知等腰梯形$ABCD$的三个顶点$A(-2,0)$，$B(6,0)$，$C(4,6)$，$D\left(0,6\right)$,对角线$AC$与$BD$相交于点$E$．

⑴求$E$的坐标；

⑵在$y$轴正半轴上求点$P$，使以$P$、$B$、$C$为顶点的三角形为等腰三角形．

如图，已知直线$y=kx-6$经过点$A\left(1,-4\right)$,与$x$轴相交于点$B$.若点$Q$是$y$轴上一点，且$△ABQ$是直角三角形，求点$Q$的坐标.

如图，矩形$AOBC$在直角坐标系中，已知点$A$的坐标为$\left(0,3\right)$，点$B$的坐标为$\left(6,0\right)$，直线$y=\frac{3}{4}x$与$AC$交于点$D$．有一动点$P$从$O$出发，沿线段$OB$以每秒$2$个单位长度的速度运动，当点$P$运动到点$B$时，点$P$停止运动，设运动时间为$t$秒．当$t$为何值时，$△OEP$为直角三角形？

已知点$P$是函数$y=\frac{1}{2}x(x>0)$图像上一点，$PA\perp x$轴于点$A$，交函数$y=\frac{1}{x}(x>0)$图像于点$M$，$PB\perp y$轴于点$B$，交函数$y=\frac{1}{x}(x>0)$图像于点$N$（点$M$、$N$不重合）．

⑴当点$P$的横坐标为$2$时，求$\Delta PMN$的面积；

⑵证明：$MN\parallel AB$；

⑶试问：$△OMN$能否为直角三角形？若能，请求出此时点$P$的坐标；若不能，请说明理由．

备用图

已知$△ABC$为等边三角形，$AB=6$，$P$是$AB$上的一个动点（与$A$、$B$不重合），过点$P$作$AB$的垂线与$BC$相交于点$D$，以$D$为正方形的一个顶点，在$△ABC$内作正方形$DEFG$，其中$D$、$E$在$BC$上，$F$在$AC$上．

⑴设$BP$的长为$x$，正方形$DEFG$的边长为$y$，写出$y$关于$x$的函数解析式及定义域．

⑵当$BP=2$时，求$CF$的长．

⑶$△GDP$是否可能成为直角三角形？若能，求出$BP$的长；若不能，请说明理由．

如图，已知等腰$△OAB$中，$AO=AB=5$,$B$点在$x$轴上，坐标为$\left(8,0\right)$．点$C$是线段$OB$上的一个动点，点$D$与点$O$关于$AC$对称，联结$AD$、$CD$．

⑴求点$A$的坐标和直线$OA$的解析式;

⑵设$AD$与$OB$交于点$E$，当$△AOE$为直角三角形时，求$C$点的坐标;

⑶联结$OD$,当$△OCD$为直角三角形时，求$C$点的坐标．

图$1$ 图$2$

⑶如图$3$，动点$Q$从点$C$出发，沿射线$BC$方向运动．连接$PQ$交$AC$于$D$. 如果动点$Q$也以$1 cm\text{/}s$的速度同时出发．设运动时间为$t(s)$，那么当$t$为何值时，$△DCQ$是等腰三角形？

⑷如图$4$，动点$Q$从点$C$出发，沿射线$BC$方向运动．连接$PQ$交$AC$于$D$,连接$PC$.如果动点$P$,$Q$都以$1 cm\text{/}s$的速度同时出发．请你猜想：在点$P、Q$的运动过程中，$△PCD$和$△QCD$的面积有什么关系？并说明理由.

图$3$ 图$4$

如图，四边形$OABC$为直角梯形，$OA\perp CO$，$CB\parallel OA$，$OA=CO=4$，$BC=3$．点$M$从$O$出发以每秒$2$个单位长度的速度向$A$运动；点$N$从$B$同时出发，以每秒$1$个单位长度的速度向$C$运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点$N$作$NP\perp AO$于点$P$，联结$AC$交$NP$于$Q$，联结$MQ$、$BQ$．

⑴求$△AQM$的面积$S$与运动时间$t$的函数关系式；

⑵当$t$为何值时，$S_{△BCQ}:S_{△AQM}=3:2$？

⑶是否存在某一时刻$t$，使得$△AQM$为直角三角形？若存在，求出相应的$t$值，若不存在，说明理由．