第11讲四边形中的动点问题（二）

知识模块 01 · 原讲小节

四边形中的动点问题（二）

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

知识讲解定义、性质与方法

菱形的存在性问题

点的存在性——平行四边形．

方法与技巧
：

已知以点 $A$ 、点 $B$ 为顶点的四边形为平行四边形，寻找平行四边形的另外

两个顶点 ${\begin{matrix} A B 为对角线 \\ A B 为边 \end{matrix}$ ．

点的存在性——特殊平行四边形

方法与技巧

在 “平行四边形”的前提下，根据所要求的特殊平行四边形的性质进行求解

性质

判定

矩形

矩形的四个角都是直角．

矩形的两条对角线相等．

三个角是直角的四边形是矩形．

对角线相等的平行四边形是矩形．

菱形

菱形的四条边都相等．

菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角

四条边都相等的四边形是菱形．

对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

矩形存在性：转化为直角三角形存在性（两垂一圆），然后对称补全
菱形存在性：转化为等腰三角形存在性（两圆一垂），然后对称补全

菱形的存在性问题，讨论情况以平行四边形为基础，再结合菱形邻边相等、对角线垂直平分的性质进行计算

知识模块 02 · 原讲小节

涉及到的函数知识点

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

知识讲解定义、性质与方法

中点公式：若在平面直角坐标系中， $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ ，

则线段 $A B$ 的中点 $O$ 的坐标为 $O (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}, \frac{y_{1} + y_{2}}{2})$

两直线平行：在坐标系中，直线 $l_{1}$ ： $y_{1} = k_{1} x + b_{1}$ ，直线 $l_{2}$ ： $y_{2} = k_{2} x + b_{2}$ ，若 $l_{1} / / l_{2}$ ，则 $k_{1} = k_{2}$ 且 $b_{1} \neq b_{2}$
两直线垂直：在坐标系中，直线 $l_{1}$ ： $y_{1} = k_{1} x + b_{1}$ ，直线 $l_{2}$ ： $y_{2} = k_{2} x + b_{2}$ ，若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则 $k_{1} \cdot k_{2} = - 1$ 【拓】
两点间距离公式：已知点 $A (x_{1}, y_{1})$ ，点 $B (x_{2}, y_{2})$ ，则 $A B = \sqrt{{(x_{1} - x_{2})}^{2} + {(y_{1} - y_{2})}^{2}}$

题目SH-075-001难度 B · 巩固

如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $y = x - 2$ 与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别相交于点 $A$ 和点 $B$ ，点 $C$ 在 $y$ 轴的正半轴上，且 $O C = 2 O B$ ．

⑴求线段 $B C$ 的长度；

⑵如果点 $D$ 在直线 $A B$ 上，且以 $B, C, D, E$ 为顶点的四边形为菱形，请直接写出点 $E$ 的坐标．

题目SH-075-002难度 D · 提升

如图，平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $y = - \sqrt{3} x + 2 \sqrt{3}$ 与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别交于点 $A$ ， $B$ ．

⑴求 $△ A O B$ 的面积．

⑵点 $P$ 是 $y$ 轴上的点，在坐标平面内是否存在点 $Q$ ，使以 $A, B, P, Q$ 为顶点的四边形使菱形？若存在，请直接写出 $Q$ 点的坐标；若不存在，请说明理由．

梯形的存在性问题

点的存在性——梯形．

【方法与技巧】：

已知 $△ A B C$ 和直线 $l$ ，在 $l$ 上找点 $P$ ，使以点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $P$ 为顶点的四边形

为梯形．

分别过点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 作 $B C$ 、 $A C$ 、 $A B$ 的平行线与直线 $l$ 相交．
检验以点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $P$ 为顶点的四边形是否为平行四边形．

点的存在性——特殊梯形

【方法与技巧】

在 “梯形”的前提下，根据所要求的特殊的平行四边形的性质进行求解

性质

判定

等腰梯形

同一底上的两底角相等

两条对角线相等

在同一底边上的两个

内角相等的梯形

对角线相等的梯形

直角梯形

直角梯形斜腰的中点到直角腰的二端点距离相等

一腰垂直于底的梯形．

题目SH-075-003难度 C · 综合

如图，直线 $l_{1} : y = - \frac{3}{4} x + b$ 分别与 $x$ 轴、 $y$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点，与直线 $l_{2} : y = k x - 6$ 交于点 $C (2, \frac{3}{2})$ ．

（1）求点 $A$ 和点 $B$ 坐标．

（2）在线段 $B C$ 上有一点，过点 $E$ 作 $y$ 轴的平行线交直线 $l_{2}$ 于点 $F$ ，设点 $E$ 的横坐标为 $m$ ，若四边形 $O B E F$ 是平行四边形时，求出此时 $m$ 的值．

（3）若点 $P$ 为 $x$ 轴正半轴上一点，且 $S_{△ A B P} = \frac{15}{2}$ ，则在 $y$ 轴上是否存在一点 $Q$ ，使得 $P$ 、 $Q$ 、 $A$ 、 $B$ 四个点能构成一个梯形．若存在，求出所有符合条件的 $Q$ 点坐标；若不存在，请说明理由．

题目SH-075-004难度 D · 提升

如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l_{1}$ 经过 $O (0, 0)$ 、 $A (1, 2)$ 两点，将直线 $l_{1}$ 向下平移 $6$ 个单位得到直线 $l_{2}$ ，交 $x$ 轴于点 $C$ ， $B$ 是直线 $l_{2}$ 上一点，且四边形 $A B C O$ 是平行四边形．

（1）求直线 $l_{2}$ 的表达式及 $B$ 点的坐标．

（2）若 $D$ 是平面直角坐标系内的一点，且以 $O$ 、 $A$ 、 $C$ 、 $D$ 四个点为顶点的四边形是等腰梯形，求点 $D$ 的坐标．

题目SH-075-005难度 D · 提升

如图，如图，一次函数 $y = - \frac{\sqrt{3}}{3} x + b$ 的图像与 $x$ 轴交于点为 $A (- 4 \sqrt{3}, 0)$ ，与 $y$ 轴交于点为 $B$ ．

（1）求点 $B$ 坐标及 $∠ B A O$ 度数．

（2）如果点 $C$ 坐标为 $(0, 2)$ ，四边形 $A B C D$ 是直角梯形，求点 $D$ 的坐标

题目SH-075-006难度 E · 挑战

如图，在平面直角坐标系中，已知点 $A (0, 2)$ ，点 $P$ 是 $x$ 轴上一动点，以线段 $A P$ 为一边，在其一侧作等边三角形 $A P Q$ ．当点 $P$ 运动到原点 $O$ 处时，记 $Q$ 的位置为 $B$ ．

⑴求点 $B$ 的坐标；

⑵当点 $P$ 在 $x$ 轴上运动（ $P$ 不与 $O$ 重合）时，求证： $∠ A B Q = 90 °$ ；

⑶是否存在点 $P$ ，使得以 $A$ 、 $O$ 、 $Q$ 、 $B$ 为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

题目SH-075-007

在平面直角坐标系中， $B C / / O A$ ， $B C = 3$ ， $O A = 6$ ， $A B = 3 \sqrt{5}$ ．

⑴直接写出点 $B$ 的坐标；

⑵已知 $D$ 、 $E (2, 4)$ 分别为线段 $O C$ 、 $O B$ 上的点， $O D = 5$ ，直线 $D E$ 交 $x$ 轴于点 $F$ ，求直线 $D E$ 的解析式；

⑶在⑵的条件下，点 $M$ 是直线 $D E$ 上的一点，在 $x$ 轴上方是否存在另一个点 $N$ ，使以 $O$ 、 $D$ 、 $M$ 、 $N$ 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点 $N$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

题目SH-075-008

如图，已知 $A$ 、 $B$ 是双曲线 $y = \frac{2}{x}$ 上的两个点， $A$ 、 $B$ 的横坐标分别为 $2$ 和 $- 1$ ，

$B C ⊥ x$ 轴，垂足为 $C$ ．在双曲线上是否存在点 $D$ 使得以 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 为顶点的四边形是梯形？如果存在，求点 $D$ 的坐标；如果不存在，请说明理由

题目SH-075-009

如图，一次函数 $y = \frac{1}{3} x + b$ 的图象与 $x$ 轴相交于点 $A (6, 0)$ 、与 $y$ 轴相交于点 $B$ ，点 $C$ 在 $y$ 轴的正半轴上， $B C = 5$ ．

⑴求一次函数的解析式和点 $B$ 、 $C$ 的坐标；

⑵如果四边形 $A B C D$ 是等腰梯形，求点 $D$ 的坐标．

题目SH-075-010

如图，在平面直角坐标系中，直线 $l : y = - \frac{\sqrt{3}}{3} x + 4$ 与 $y$ 轴、 $x$ 轴分别交于点 $E$ 、 $F$ ，边长为 $2 \sqrt{3}$ 的等边 $△ A B C$ ，边 $B C$ 在 $x$ 轴上，将此三角形沿着 $x$ 轴的正方向平移，在平移过程中，得到 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，当点 $B_{1}$ 与原点重合时，解答下列问题：

⑴求出点 $A_{1}$ 的坐标，并判断点 $A_{1}$ 是否在直线 $l$ 上；

⑵求出边 $A_{1} C_{1}$ 所在直线的解析式；

⑶在坐标平面内找一点 $P$ ，使得以 $P$ 、 $A_{1}$ 、 $C_{1}$ 、 $F$ 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出 $P$ 点坐标．

题目SH-075-011

如图，在平面直角坐标系中，直线 $y = x + 4$ 与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别交于点 $D$ 、 $C$ ，直线 $A B$ 与 $y$ 轴交于点 $B (0, - 2)$ ，与直线 $C D$ 交于点 $A (m, 2)$ ．

⑴求直线 $A B$ 的解析式；

⑵点 $E$ 是射线 $C D$ 上一动点，过点 $E$ 作 $E F / / y$ 轴，交直线 $A B$ 于点 $F$ ，若以 $O$ 、 $C$ 、 $E$ 、 $F$ 为顶点的四边形是平行四边形，请求出点 $E$ 的坐标；

⑶设 $P$ 是射线 $C D$ 上一点，在平面内是否存在点 $Q$ ，使以 $B$ 、 $C$ 、 $P$ 、 $Q$ 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点 $Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

题目SH-075-012

如图，在梯形 $A B C D$ 中， $A D / / B C$ ， $∠ B = 90 °$ ， $A D = 8 c m$ ， $A B = 6 c m$ ， $B C = 10 c m$ ，点 $Q$ 从点 $A$ 出发以 $1 c m / s$ 的速度向点 $D$ 运动，点 $P$ 从点 $B$ 出发以 $2 c m / s$ 的速度在线段 $B C$ 间往返运动， $P$ 、 $Q$ 两点同时出发，当点 $Q$ 到达点 $D$ 时，两点同时停止运动．

⑴当 $t$ 为何值时，四边形 $P C D Q$ 的面积为 $36$ ？

⑵ $0 < t < 5$ 时，若 $D P \neq D Q$ ，当 $t$ 为何值时， $△ D P Q$ 是等腰三角形？

题目SH-075-013

在矩形 $A B C D$ 中， $B C = 20 c m$ ， $P$ 、 $Q$ 、 $M$ 、 $N$ 分别从 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 出发沿 $A D$ 、 $B C$ 、 $C B$ 、 $D A$ 方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止，已知在相同时间内，若 $B Q = x c m (x \neq 0)$ ，则 $A P = 2 x c m$ ， $C M = 3 x c m$ ， $D N = x^{2} c m$

⑴当 $x$ 为何值时，以 $P Q$ ， $M N$ 为两边，以矩形的边（ $A D$ 或 $B C$ ）的一部分为第三边构成一个三角形；

⑵当 $x$ 为何值时，以 $P$ 、 $Q$ 、 $M$ 、 $N$ 为顶点的四边形是平行四边形；

⑶以 $P$ 、 $Q$ 、 $M$ 、 $N$ 为顶点的四边形能否为等腰梯形？如果能，求 $x$ 的值；如果不能，请说明理由．

备用图

题目SH-075-014

如图，已知直线 $A Q$ 与 $x$ 轴负半轴交于点 $A$ ，与 $y$ 轴正半轴交于点 $Q$ ， $∠ Q A O = 45 °$ ，直线 $A Q$ 在 $y$ 轴上的截距为 $2$ ，直线 $B E : y = - 2 x + 8$ 与直线 $A Q$ 交于点 $P$ ．

⑴求直线 $A Q$ 的解析式；

⑵在 $y$ 轴正半轴上取一点 $F$ ，当四边形 $B P F O$ 是梯形时，求点 $F$ 的坐标．

⑶若点 $C$ 在 $y$ 轴负半轴上，点 $M$ 在直线 $P A$ 上，点 $N$ 在直线 $P B$ 上，是否存在以 $Q$ 、 $C$ 、 $M$ 、 $N$ 为顶点的四边形是菱形，若存在请求出点 $C$ 的坐标；若不存在请说明理由．

如图，平面直角坐标系中（点 $O$ 为原点），已知点 $C (0, - 3)$ ，点 $D (0, 1)$ ．

$P$ 为平面内一点，在直线 $y = - 2 x$ 上求一点 $Q$ ，使 $D$ 、 $C$ 、 $P$ 、 $Q$ 是一个菱形的四个顶点．

思考：此时点 $P$ 的坐标是？

在平面直角坐标系中，过点 $(4, 6)$ 的直线 $y = k x + 3$ 与 $y$ 轴相交于点 $A$ ，将直线向下平移 $\frac{5}{2}$ 个单位，所得到的直线 $l$ 与 $y$ 轴相交于点 $B$ ．

⑴求直线 $l$ 的表达式．

⑵点 $C$ 位于第一象限且在直线 $l$ 上，点 $D$ 在直线 $y = k x + 3$ ．如果以点 $A, B, C, D$ 为顶点的四边形使菱形，求点 $C$ 的坐标．

题目SH-075-015

在平面直角坐标系中，点 $O$ 是坐标原点，正比例函数 $y = k x$ ( $x$ 为自变量)的图像与双曲线 $y = - \frac{2}{x}$ 交点 $A$ ，且 $A$ 的横坐标为 $- \sqrt{2}$ ．

⑴ 求 $k$ 的值．

⑵ 将直线 $y = k x$ （ $x$ 为自变量）向上平移 $4$ 个单位得到直线 $B C$ ，直线 $B C$ 分别交 $x$ 轴、 $y$ 轴于 $B$ 、 $C$ ，如果点 $D$ 在直线 $B C$ 上，在平面直角坐标系中求一点 $P$ ，使以 $O$ 、 $B$ 、 $D$ 、 $P$ 为顶点的四边形是菱形．