几何4-相似与三角 · 第 130 讲

第2讲比例线段（二）

13 道题3 个知识模块答案解析精校中

本讲答案与解析正在逐题精校，完成后在题卡下方开放。当前请先独立作答，再回来对照。

知识模块 01 · 原讲小节

三角形一边的平行线性质定理

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

知识讲解定义、性质与方法

平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例．

知识模块 02 · 原讲小节

三角形一边的平行线判定定理

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

知识讲解定义、性质与方法

如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．

推论：如果一条直线截三角形的两边延长线（这两边延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．

平行线分线段成比例定理：两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例．
利用、挖掘、创造平行线，是运用平行线分线段成比例定理解题的关键，另一方面，需要熟悉并善于从复杂图形中分解或构造如下基本图形：

（抓住一些已知比值关系的点构造平行线 $\overset{}{\to}$ “ $A$ ”、“ $8$ ”字形）

题目SH-130-001难度 B · 巩固

⑴如图，在等腰梯形 $A B C D$ ， $A D ∥ B C$ ， $A B = C D$ ， $A C = 24$ ， $M$ 为 $A B$ 中点， $B C : A D = 2 : 3$ ， $M D$ 与 $A C$ 交于 $K$ ，则 $C K =__________$ .

⑵如图，在 $△ A B C$ 中， $B D : D C = 3 : 1$ ， $G$ 是 $A D$ 的中点， $B G$ 延长线交 $A C$ 于 $E$ ， $B G : G E$ 的值为 $__________$ .

题目SH-130-002难度 C · 综合

⑴如图，在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 为边 $B C$ 上一点，且 $\frac{B D}{C D} = \frac{3}{2}$ ，点 $E$ 为 $A D$ 的中点，延长 $B E$ 交 $A C$ 于点 $F$ ，则 $\frac{B E}{E F} =$ ．

⑵如图，点 $D$ 、 $E$ 分别在 $△ A B C$ 边 $B C$ 、 $A C$ 上，连接线段 $A D$ 、 $B E$ 交于点 $F$ ，若 $A E : E C = 1 : 3$ ， $B D : D C = 2 : 3$ ，则 $E F : F B =$ ．

题目SH-130-003难度 C · 综合

⑴如图， $□ A B C D$ 中， $E$ 是 $A B$ 的中点，在 $A D$ 上截取 $2 A F = F D$ ， $E F$ 交 $A C$ 于 $G$ ，求 $\frac{A G}{G C}$ 的值．

⑵如图，已知： $□ A B C D$ 的对角线 $A C 、 B D$ 交于点 $O$ ，点 $E$ 在 $B C$ 延长线上， $O E$ 交 $C D$ 于 $F$ ．若 $A B = 8 ， B C = 10 ， C E = 3$ ，求 $C F$ 的长度．

题目SH-130-004难度 D · 提升

⑴如图所示，在 $△ A B C$ 中， $M$ 是 $A C$ 的中点， $E$ 是 $A B$ 上一点，且 $A E = \frac{1}{4} A B$ ，联结 $E M$ 并延长，交 $B C$ 的延长线于点 $D$ ，则 $\frac{B C}{C D} =$ ．

⑵如图，正方形 $A B C D$ 的边长为 $12$ ， $D E = 5$ ， $A E$ 的垂直平分线分别交 $A D$ 、

$A E$ 、 $B C$ 于 $P$ 、 $M$ 、 $Q$ ，则 $P M : M Q =__________$ .

题目SH-130-005难度 C · 综合

如图所示， $△ A B C$ 中， $A D = \frac{1}{3} A B$ ，延长 $B C$ 到点 $F$ ，使 $C F = \frac{1}{3} B C$ ，联结

$D F$ ，交 $A C$ 于点 $E$ ．求证： $D E = E F$ ， $A E = 2 E C$ ．

知识模块 03 · 原讲小节

三角形的重心

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

知识讲解定义、性质与方法

重心的定义：三角形的三条中线交于一点，这个点叫做三角形的重心．
重心的定理：三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的两倍．

$G$ 是 $△ A B C$ 的重心 $\Rightarrow$ $\frac{A G}{G F} = \frac{B G}{G E} = \frac{C G}{G D} = \frac{2}{1}$

（为什么呢？联结 $D E$ ，交 $A F$ 于 $P$ 点）

$\frac{P E}{B F} = \frac{P G}{G F} = \frac{1}{2} \overset{}{\to} \frac{A G}{A F} = \frac{3 + 1}{3 + 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

题目SH-130-006难度 B · 巩固

⑴若点 $G$ 是 $△ A B C$ 的重心， $G D / / B C$ ，则 $A D : A C =$ ；

$G D : B C =$ ．

⑵已知：如图， $A B = A C = 5$ ， $B C = 8$ ， $△ A B C$ 的中线 $A D$ 、 $B E$ 交于点 $G$ ，则 $G D =$ ， $G E =$ ， $S_{△ A G E} =$ ．

⑴ ⑵

题目SH-130-007难度 C · 综合

如图，四边形 $A B C D$ 和四边形 $A C E D$ 都是平行四边形，点 $R$ 是 $D E$ 的中点，联结 $B R$ ，分别交 $A B$ 、 $C D$ 于点 $P$ 、 $Q$ ，则 $B P : P Q : Q R =$ ．

题目SH-130-008难度 D · 提升

已知： $R t △ A B C$ ， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 4$ ， $B C = 3$ ， $G$ 是 $△ A B C$ 的重心．

求：⑴点 $G$ 到直角顶点 $C$ 的距离 $G C$ ；⑵点 $G$ 到斜边 $A B$ 的距离．

题目SH-130-009难度 D · 提升

如图，已知 $△ A B C$ 中， $E$ 、 $F$ 为 $B C$ 的三等分点， $M$ 为 $A C$ 中点， $B M$ 与 $A E, A F$ 分别交于 $G$ 、 $H$ ,求 $B G : G H : H M$ 的值．

题目SH-130-010

如图，在 $△ A B C$ 中， $D$ 为边 $B C$ 上一点，已知 $\frac{D C}{B C} = \frac{3}{7}$ ， $E$ 为 $A D$ 的中点，延长 $B E$ 交 $A C$ 于 $F$ ，则 $\frac{A F}{F C}$ 的值是．

题目SH-130-011

如图，点 $D$ 、 $E$ 分别为 $△ A B C$ 的边 $B C$ 、 $C A$ 上的点，且 $B D : C D = 1 : 1$ ， $A E : C E = 2 : 3$ ， $A D$ 与 $B E$ 相交于点 $F$ ，则 $A F : D F =$ ．

题目SH-130-012

若点 $G$ 是 $△ A B C$ 的重心， $G D / / B C$ ， $C D = 1$ ,则 $A C =$ ；

题目SH-130-013

如图，在梯形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C$ ， $A B = D C$ ．

⑴如果 $P$ 、 $E$ 、 $F$ 分别是 $B C$ 、 $A C$ 、 $B D$ 的中点，求证： $A B = P E + P F$

⑵如果 $P$ 是 $B C$ 上任意一点（端点除外）， $P E ∥ A B$ ， $P F ∥ D C$ ，那么 $A B = P E + P F$ 这个结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．