代数3-一次方程与不等式 · 第 026 讲

第3讲方程与方程组综合

33 道题4 个知识模块答案解析精校中

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知识模块 01 · 原讲小节

一次方程与方程组

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

知识讲解定义、性质与方法

二元一次方程组的解法：核心思想——消元！

⒈ 代入消元法

知识模块 02 · 原讲小节

代入法解二元一次方程组的一般步骤

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知识讲解定义、性质与方法

① 从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数，例如 $y$ ，用另一个未知数如 $x$ 的代数式表示出来，即写成 $y = a x + b$ 的形式；

② $y = a x + b$ 代入另一个方程中，消去 $y$ ，得到一个关于 $x$ 的一元一次方程；

③ 解这个一元一次方程，求出 $x$ 的值；

④ 回代求解：把求得的 $x$ 的值代入 $y = a x + b$ 中求出 $y$ 的值，从而得出方程组的解．

⑤ 把这个方程组的解写成 ${\begin{matrix} x = m \\ y = n \end{matrix}$ 的形式．

⒉ 加减消元法

知识模块 03 · 原讲小节

加减法解二元一次方程组的一般步骤

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知识讲解定义、性质与方法

① 变换系数：把一个方程或者两个方程的两边都乘以适当的数，使两个方程里的某一个未知数的系数互为相反数或相等；

② 加减消元：把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；

③ 解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；

④ 回代求解：将求出的未知数的值代入原方程组中，求出另一个未知数的值；

⑤ 把这个方程组的解写成 ${\begin{matrix} x = m \\ y = n \end{matrix}$ 的形式．

题目SH-026-001难度 B · 巩固

解下列方程：

⑴ $\frac{3 x - 1}{2} - \frac{2 x + 9}{3} = - 6$ ；

⑵ $\frac{0.1 x}{0.03} - \frac{0.9 - 0.2 x}{0.7} = 1$ ．

$\frac{0.4 x + 0.9}{0.5} - \frac{x - 5}{2} = \frac{0.02 x + 0.03}{0.03}$ ．

题目SH-026-002难度 C · 综合

解下列方程：

⑴ $\frac{1}{3} \times {\frac{1}{2} \times [\frac{1}{4} (x - 1) + 3] + 1} = 1$ ；

⑵ $\frac{1}{8} {4 [\frac{5}{8} (y - 1) + \frac{3}{8} (1 - y)] - 7 (1 - y)} = 100$ ．

$\frac{10}{42} (14 x + 28) + \frac{1}{15} (5 x + 10) + \frac{1}{12} (4 x + 8) = 2$ ．

题目SH-026-003难度 B · 巩固

解下列方程组：

⑴ ${\begin{matrix} \frac{m}{5} - \frac{n}{2} = 2 \\ 2 m + 3 n = 4 \end{matrix}$ ； ⑵ ${\begin{matrix} 0.3 x + 0.1 y = 1.6 \\ 4 (x + y) - 3 (x - y) = 12 \end{matrix}$ ．

⑴ ${\begin{matrix} m = 5 \\ n = - 2 \end{matrix}$ ； ⑵ ${\begin{matrix} x = 5 \\ y = 1 \end{matrix}$

解下列方程组：

⑴ ${\begin{matrix} 0.3 x + 0.1 y = 1.6 \\ 4 (x + y) - 3 (x - y) = 12 \end{matrix}$ ； ⑵ ${\begin{matrix} 7 + \frac{x - 3 y}{4} = 2 x - \frac{y + 5}{3} \\ \frac{10 (x - y) - 4 (1 - x)}{3} = y \end{matrix}$ ．

题目SH-026-004难度 C · 综合

解下列方程组：

⑴ ${\begin{matrix} x + 2 y + z = 1 \\ x + y + 2 z = 2 \\ 2 x + y + z = 5 \end{matrix}$ ； ⑵ ${\begin{matrix} x - 2 y + 3 z = 0 \\ 3 x + 2 y + 5 z = 12 \\ 2 x - 4 y - z = - 7 \end{matrix}$ ．

解下列方程组：

⑴ ${\begin{matrix} x + 2 y + z = 1 \\ x + y + 2 z = 2 \\ 2 x + y + z = 5 \end{matrix}$ ； ⑵ ${\begin{matrix} 3 x + y - 4 z = - 3 \\ 5 x - 2 y + 8 z = - 5 \\ 2 x + 3 y - 2 z = 3 \end{matrix}$ ．

题目SH-026-005难度 C · 综合

解下列方程组：

⑴ ${\begin{matrix} 2 x + 3 y - z = 16 \\ x : y = 3 : 4 \\ y : z = 2 : 1 \end{matrix}$ ； ⑵ ${\begin{matrix} 3 x = 4 y = 5 z \\ 2 x - 3 y + z = 7 \end{matrix}$ ．

解下列方程组：

⑴ ${\begin{matrix} 2 x + 3 y - z = 16 \\ x : y = 3 : 4 \\ y : z = 2 : 1 \end{matrix}$ ；

题目SH-026-006难度 D · 提升

解下列方程组：

${\begin{matrix} \frac{1}{x} - \frac{2}{y} = 5 \\ \frac{3}{x} - \frac{1}{y} = 7 \end{matrix}$ ； ${\begin{matrix} \frac{2}{x + y} + \frac{5}{x - y} = - 8 \\ \frac{9}{x + y} - \frac{10}{y - x} = - 11 \end{matrix}$ ．

知识模块 04 · 原讲小节

方程组同解问题

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题目SH-026-007难度 C · 综合

已知关于 $x ， y$ 方程组 ${\begin{matrix} x - 5 y = - 6 \\ 2 x - 3 y = - 5 \end{matrix}$ 和方程组 ${\begin{matrix} a x - b y = 2 \\ b x + a y = - 1 \end{matrix}$ 的解相同，求 $a$ 、 $b$ 的值．

题目SH-026-008难度 D · 提升

已知关于 $x ， y$ 方程组 ${\begin{matrix} 2 x + 5 y = - 6 \\ a x - b y = - 4 \end{matrix}$ 和方程组 ${\begin{matrix} 3 x - 5 y = 16 \\ b x + a y = - 8 \end{matrix}$ 的解相同，求 ${(2 a + b)}^{3}$ 的值．

题目SH-026-009难度 C · 综合

大胖和小胖二人解关于 $x$ 、 $y$ 的方程组 ${\begin{matrix} m x + b y = 7 \\ c x - 3 y = 5 \end{matrix}$ ，大胖正确地解得 ${\begin{matrix} x = 2 \\ y = - 1 \end{matrix}$ ，而小胖因把 $c$ 看错了，解得 ${\begin{matrix} x = 1 \\ y = 3 \end{matrix}$ ．请问：⑴小胖把 $c$ 看成了多少，而正确的 $c$ 是多少？⑵ $m$ 、 $b$ 是多少？

题目SH-026-010难度 C · 综合

已知： $3 x^{n + 3} + m - n = 3 p$ ①与 $x^{2 - m} - 3 m + 2 n p = - 1$ ②都是关于 $x$ 的一元一次方程，

⑴若两个方程的解互为相反数，求关于 $x$ 的方程 $\frac{| x - 1 |}{5} + p = 1$ 的解；

⑵若方程①与方程②的解相等，求 $p$ ．

题目SH-026-011

解方程：

⑴ $\frac{0.02 - 0.1 x}{0.03} - 1 = \frac{1 - 3 x}{2.5}$ ； ⑵ $65 % (y - 1) = 37 % (y + 1) + 0.1$ ．

题目SH-026-012

解方程组：

${\begin{matrix} x : y = 1 : \frac{5}{3} \\ y : z = 5 : 6 \\ x + z = 27 \end{matrix}$ ．

题目SH-026-013

解方程组： ${\begin{matrix} \frac{x + 2 y}{3} = \frac{2 y - 3 z}{6} = \frac{x - 3 z}{9} \\ \frac{1}{2} x + y - \frac{3}{2} z = 9 \end{matrix}$ ．

题目SH-026-014

已知 $x$ ， $y$ 满足 ${\begin{matrix} \frac{3}{x} + \frac{1}{y} = \frac{3}{2} \\ \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = - \frac{1}{6} \end{matrix}$ ，可得 $x - y$ 的值为．

题目SH-026-015

已知 $x$ 是方程 $\frac{1}{7} + 2 (3 x - \frac{17}{84}) = \frac{3}{7}$ 的解，求 $6 - 14 (3 x - \frac{17}{84})$ 的值．

题目SH-026-016

已知方程组 ${\begin{matrix} 2 x + 3 y = k \\ 3 x - 4 y = k + 11 \end{matrix}$ 的解 $x$ 、 $y$ 满足 $5 x - y = 3$ ，求 $k$ 的值．

题目SH-026-017

甲乙两人解方程组 ${\begin{matrix} a x + b y = 2 \\ c x - 7 y = 8 \end{matrix}$ ，甲正确的解出了 ${\begin{matrix} x = 3 \\ y = - 2 \end{matrix}$ ，而乙因为粗心，把 $c$ 看错了，解得 ${\begin{matrix} x = - 2 \\ y = 2 \end{matrix}$ ，求 $a, b, c$ 的值．

题目SH-026-018

解下列方程：

⑴ $\frac{x - 3}{2} = 1 - \frac{x + 5}{3}$ ； ⑵ $(20 - 0.125 x) - 7 \frac{5}{8} = 37.5 %$ ；

⑶ $\frac{1.2 - 2 x}{0.2} - \frac{1.5 - 2.5 x}{0.5} - \frac{x - 5}{4} = \frac{1}{2}$ ．

题目SH-026-019

解方程组：

⑴ ${\begin{matrix} \frac{m - 1}{2} + \frac{n}{3} = 3 \\ \frac{m + 1}{3} - \frac{n - 1}{2} = 1 \end{matrix}$ ； ⑵ ${\begin{matrix} \frac{2 x}{3} + \frac{3 y}{4} = \frac{1}{2} \\ \frac{4 x}{5} + \frac{5 y}{6} = \frac{7}{15} \end{matrix}$ ．

题目SH-026-020

解方程组：

${\begin{matrix} \frac{2 (x - y)}{3} = \frac{x + y}{4} - 1 \\ 3 (x + y) = 4 (x - y) + 12 \end{matrix}$ ．

题目SH-026-021

解方程组： ${\begin{matrix} 3 x + 6 y + 4 z = - 3 \\ 2 x + 4 y + 3 z = - 3 \\ - x + 3 y - 5 z = 22 \end{matrix}$ ．
解下列方程组：

${\begin{matrix} \frac{2}{x + y} - \frac{1}{x - y} = 3 \\ \frac{3}{x + y} + \frac{4}{x - y} = 10 \end{matrix}$ ．

题目SH-026-022

已知方程组 ${\begin{matrix} 2 x + 4 y = 2 \\ a x - b y = 0 \end{matrix}$ 和方程组 ${\begin{matrix} 3 x + 5 y = 4 \\ b x + a y = 10 \end{matrix}$ 的解相同，求 $\frac{b}{a}$ 的值．

题目SH-026-023

解下列方程：

⑴ $\frac{1}{6} (7 x - 2) - \frac{3 x - 1}{2} - \frac{1 + 2 x}{3} = 1$ ； ⑵ $\frac{0.02 x + 0.01}{0.03} - \frac{x - 1}{0.6} = 0.5$ ．

题目SH-026-024

解方程：

$(- x + 6) : (x - y) : (4 x + y) = 3 : 14 : 1$ ．

题目SH-026-025

解下列方程组：

⑴ ${\begin{matrix} 2 x + y + z = 15 \\ x + 2 y + z = 16 \\ x + y + 2 z = 17 \end{matrix}$ ； ⑵ ${\begin{matrix} x + y + z = 6 \\ 2 x + 3 y - z = 5 \\ 3 x - y + 2 z = 7 \end{matrix}$ ．

题目SH-026-026

若方程组 ${\begin{matrix} 4 x + 3 y = 5 \\ k x - (k - 1) y = 8 \end{matrix}$ 的解中的 $x$ 的值比 $y$ 的值的相反数大 $1$ ，求 $k$ ．

题目SH-026-027

解方程：

⑴ $\frac{3 x - 1}{2} - \frac{2 x + 9}{3} = - 6$ ； ⑵ $\frac{3}{17} (x - 17) + \frac{3}{13} (17 - x) + \frac{51}{16} = \frac{3}{16} x$ ．

题目SH-026-028

解方程组：

⑴ ${\begin{matrix} 57 x - 15 y = 270 \\ 35 x + 29 y = 204 \end{matrix}$ ； ⑵ ${\begin{matrix} \frac{| x |}{5} + \frac{| y |}{2} = 2 \\ 2 | x | - 4 | y | = 2 \end{matrix}$ ．

题目SH-026-029

解下列方程组：

⑴ ${\begin{matrix} 2 x = 3 y = 6 z \\ x + 2 y + z = 16 \end{matrix}$ ； ⑵ ${\begin{matrix} \frac{x + 2}{3} = \frac{y - 2}{4} = \frac{z + 3}{5} \\ 2 x - y + z = 19 \end{matrix}$ ．

题目SH-026-030

已知方程组 ${\begin{matrix} 3 x - 2 y = 15 \\ x + 2 y = n \end{matrix}$ 和方程组 ${\begin{matrix} x + y = m \\ 2 x - 3 y = 5 \end{matrix}$ 有一个公共解，求 $m$ ， $n$ 的值．

题目SH-026-031

解下列方程：

⑴ $35 % (y - 1) = 37 % (y + 1) + 0.5$ ；

⑵ $2 x - \frac{1}{2} [x - \frac{1}{2} (x - 1)] = \frac{2}{3} (x - 1)$ ．

题目SH-026-032

解方程组： ${\begin{matrix} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{7}{10} \\ \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{8}{15} \\ \frac{1}{x} + \frac{1}{z} = \frac{5}{6} \end{matrix}$ ．
若 $\frac{x - y}{3} = \frac{2 y - z}{4} = \frac{2 z + x}{5} = 1$ ，求 $x$ ， $y$ ， $z$ 的值．
解方程组

${\begin{matrix} 2 (1 - \frac{x}{3}) + \frac{3}{2 y + 1} = - 3 \\ 6 (1 - \frac{x}{3}) - \frac{2}{2 y + 1} = 2 \end{matrix}$ ．

题目SH-026-033

解方程组

${\begin{matrix} \frac{10}{x + y} + \frac{3}{x - y} = - 5 \\ \frac{15}{x + y} - \frac{2}{x - y} = - 1 \end{matrix}$ ．