第24讲 整式与分式进阶

⑴已知$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{4}{a^2+b^2}$，求${\left(\frac{b}{a}\right)}^{2018}+{\left(\frac{a}{b}\right)}^{2019}$的值．

⑵设$x,y,z$为整数且满足${\left|x-y\right|}^{2012}+{\left|y-z\right|}^{2013}=1$，求${\left|x-y\right|}^3+{\left|y-z\right|}^3+{\left|z-x\right|}^3$的值．

⑴已知：$6^a=2010$，$335^b=2010$，求$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$的值．

⑵已知：$2^a=3$，$3^b=2$，求$\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}$的值．

⑴已知实数$a,b,c$满足$\left(\frac{1}{a}+b\right)\left(\frac{1}{a}+c\right)+\frac{1}{4}{\left(b-c\right)}^2=0$，求代数式$ab+ac$的值．

⑵已知$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$，$\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=0$，求$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}$的值．

设$abc\ne 0$，$a+b+c=a^2+b^2+c^2=2$，求代数式$\frac{{\left(1-a\right)}^2}{bc}+\frac{{\left(1-b\right)}^2}{ac}+\frac{{\left(1-c\right)}^2}{ab}$的值．

【引入】 例题$5$、$6$引入——部分因式分解求解整数解问题：

求$xy+x+y=6$的整数解．

关于$x$、$y$的方程$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{xy}=\frac{1}{6}$的正整数解$(x,y)$，共有多少组？

关于$x$、$y$的方程$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{xy}=\frac{1}{12}$的正整数解$(x,y)$，共有多少组？

拓展：关于$x,y$的方程$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{xy}=\frac{1}{2016}$的正整数解$(x,y)$，共有多少组？

（计算组数时会涉及到六年级学习的因数个数问题）

已知$x+y+z=6$，求$\frac{1}{xy+2z-8}+\frac{1}{yz+2x-8}+\frac{1}{zx+2y-8}$的值．

⑴已知$\{\begin{array}{c}xy+x+y=17\\ x^{2}y+x{y}^2=66\end{array}$，求$x^4+x^{3}y+x^2{y}^2+x{y}^3+y^4$的值．

⑵已知实数$x$、$y$、$z$满足$x+y=4$，$\left|z+1\right|=xy+2y-9$，求$3x+2y+z$的值．

若正数$a,b,c$满足${\left(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)}^2+{\left(\frac{c^2+a^2-b^2}{2ac}\right)}^2+{\left(\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right)}^2=3$，

求代数式$\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}+\frac{c^2+a^2-b^2}{2ac}+\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$的值．

设$x_1,x_2,x_3,...,x_{2007}$是实数，且满$x_1{x}_2{x}_3...x_{2007}=x_1-x_2{x}_3...x_{2007}=x_1{x}_2-x_3...x_{2007}=$$x_1{x}_2{x}_3...x_{2006}-x_{2007}=1$，则$x_{2000}$的值是$\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_$

1. 已知$a=998$，$b=997$，$c=996$，求$a^2-ab-ac+bc$的值．

2. 已知$abc\ne 0,a+b+c=0$，求$\frac{1}{b^2+c^2-a^2}+\frac{1}{c^2+a^2-b^2}+\frac{1}{a^2+b^2-c^2}$的值．

3. 已知实数$a,b,c$满足$a+b+c=1$，$\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}=1$，求$abc$的值．

4. 证明：$\left(a^2+ab+b^2-\frac{2a^3}{a-b}\right)\left(a^2-ab+b^2-\frac{2a^3}{a+b}\right)=\left(a^2+ab+b^2\right)\left(a^2-ab+b^2\right)$．

已知$a+b+c=0$，且$\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b}+\frac{a-b}{c}=0$．

证明：$\frac{bc+b-c}{b^2{c}^2}+\frac{ca+c-a}{c^2{a}^2}+\frac{ab+a-b}{a^2{b}^2}=0$．

已知$a=-\sqrt{3}+\sqrt{5}+\sqrt{7}$，$b=\sqrt{3}-\sqrt{5}+\sqrt{7}$，$c=\sqrt{3}+\sqrt{5}-\sqrt{7}$，求$\frac{a^4}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}+\frac{b^4}{\left(b-a\right)\left(b-c\right)}+\frac{c^4}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}$的值．