第4讲等腰三角形的存在性问题

知识模块 01 · 原讲小节

等腰三角形的存在性问题

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知识讲解定义、性质与方法

判定一个三角形为等腰三角形的基本方法是：

① 从定义入手，证明一个三角形的两条边相等；

② 从角入手，证明一个三角形的两个角相等．

解题中的常用技巧，构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质为解题服务，

常用的构造方法有：
1、“角平分线 + 平行线”构造等腰三角形；
2、“角平分线 + 垂线”构造等腰三角形；
3、用“垂直平分线”构造等腰三角形；
4、用“三角形中角的2倍关系”构造等腰三角形．

压轴题中点的存在性——等腰三角形

几何法： ①分别以点 $A$ 、 $B$ 为圆心， $A B$ 为半径作圆，找点 $P_{1}$ ， $P_{2}$ ， $P_{3}$ ， $P_{4}$ ．（检验）

②作线段 $A B$ 的垂直平分线 $k$ ，找点 $P_{5}$ ．（检验）

代数法：设点 $P$ 的坐标为 $(m ， n)$ ，求出 $A B$ 、 $A P$ 、 $B P$ 的长度，分类讨论：

① $A B = A P$ ；② $A B = B P$ ；③ $A P = B P$ ．求出点 $P$ $(m ， n)$ ．（检验）

在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $D$ 的坐标为 $(3, 4)$ ，点 $P$ 是 $x$ 轴正半轴上的一个动点，如果 $△ D O P$ 是等腰三角形，则 $P$ 点坐标为________．

题目SH-156-001

已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 经过 $A (- 1, 0)$ 、 $B (3, 0)$ 、 $C (0, 3)$ 三点，直线 $l$ 是抛物线的对称轴．

⑴求抛物线的函数关系式；

⑵设点 $P$ 是直线 $l$ 上的一个动点，当 $△ P A C$ 的周长最小时，求点 $P$ 的坐标；

⑶在直线 $l$ 上是否存在点 $M$ ，使 $△ M A C$ 为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点 $M$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

题目SH-156-002

已知抛物线 $y = a {(x - 2)}^{2} + c$ 经过点 $A (- 2, 0)$ 和 $C (0, \frac{9}{4})$ ，与 $x$ 轴交于另一点 $B$ ，顶点为 $D$ ．

⑴求抛物线的解析式，并写出 $D$ 点的坐标；

⑵点 $E$ ， $F$ 分别在线段 $A B$ ， $B D$ 上 $(E$ 点不与 $A$ ， $B$ 重合），且 $∠ D E F = ∠ D A B$ ，则 $△ D E F$ 能否为等腰三角形？若能，求出 $B E$ 的长；若不能，请说明理由；

题目SH-156-003

【 $2021$ 崇明】

如图， $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 6$ ， $B C = 8$ ．点 $D$ 为斜边 $A B$ 的中点， $E D ⊥ A B$ ，交边 $B C$ 于点 $E$ ，点 $P$ 为射线 $A C$ 上的动点，点 $Q$ 为边 $B C$ 上的动点，且运动过程中始终保持 $P D ⊥ Q D$ ．

⑴求证： $△ A D P ∽ △ E D Q$ ；

⑵设 $A P = x$ ， $B Q = y$ ．求 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式，并写出该函数的定义域；

⑶联结 $P Q$ ，交线段 $E D$ 于点 $F$ ．当 $△ P D F$ 为等腰三角形时，求线段 $A P$ 的长．

题目SH-156-004

【 $2021$ 虹口】

如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $A B = 3$ ， $B C = 4$ ，过点 $A$ 作射线 $A M ∥ B C$ ，点 $D$ 、 $E$ 是射线 $A M$ 上的两点（点 $D$ 不与点 $A$ 重合，点 $E$ 在点 $D$ 右侧），联结 $B D$ 、 $B E$ 分别交边 $A C$ 于点 $F$ 、 $G$ ， $∠ D B E = ∠ C$ .

⑴当 $A D = 1$ 时，求 $F B$ 的长；

⑵设 $A D = x$ ， $F G = y$ ，求 $y$ 关于 $x$ 的函数关系式，并写出 $x$ 的取值范围；

⑶联结 $D G$ 并延长，交边 $B C$ 于点 $H$ ，如果 $△ D B H$ 是等腰三角形，请直接写出 $A D$ 的长．

题目SH-156-005

已知 $A B = 5$ ， $A D = 4$ ， $A D ∥ B M$ ， $c o s B = \frac{3}{5}$ （如图），点 $C$ 、 $E$ 分别为射线 $B M$ 上的动点（点 $C$ 、 $E$ 都不与点 $B$ 重合），联结 $A C$ 、 $A E$ ，使得 $∠ D A E = ∠ B A C$ ，射线 $E A$ 交射线 $C D$ 于点 $F$ ． $B C = x$ ， $\frac{A F}{A C} = y$ ．

⑴如图，当 $x = 4$ 时，求 $A F$ 的长；

⑵联结 $B D$ 交 $A E$ 于点 $P$ ，若 $△ A D P$ 是等腰三角形，直接写出 $x$ 的值．

题目SH-156-006

如图，在平面直角坐标系中,已知点 $A$ 的坐标为 $(3, 1)$ ,点 $B$ 的坐标为 $(6, 5)$ ,点 $C$ 的坐标为 $(0, 5)$ ,某二次函数的图像经过 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 三点．

⑴求这个二次函数的解析式;

⑵假如点 $Q$ 在该二次函数图像的对称轴上,且 $△ A C Q$ 是等腰三角形,请直接写出点 $Q$ 坐标．

题目SH-156-007

如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 6$ ， $B C = 8$ ，动点 $P$ 以 $2$ 个单位/秒的速度从点 $A$ 出发，沿 $A C$ 向点 $C$ 移动，同时动点 $Q$ 以 $1$ 个单位/秒的速度从点 $C$ 出发，沿 $C B$ 向点 $B$ 移动，当 $P$ 、 $Q$ 两点中其中一点到达终点时则停止运动．在 $P$ 、 $Q$ 两点移动过程中，当 $△ P Q C$ 为等腰三角形时， $t$ 的值为________．

题目SH-156-008

如图，已知四边形 $A B C D$ 是矩形， $c o t ∠ A D B = \frac{3}{4}$ ， $A B = 16$ ．点 $E$ 在射线 $B C$ 上，点 $F$ 在线段 $B D$ 上．

⑴求线段 $B D$ 的长；

⑵当 $△ D B E$ 为等腰三角形时，求线段 $B E$ 的长．

题目SH-156-009

如图，已知锐角 $∠ M B N$ 的正切值等于 $3$ ， $△ P B D$ 中， $∠ B D P = 90 °$ ，点 $D$ 在 $∠ M B N$ 的边 $B N$ 上，点 $P$ 在 $∠ M B N$ 内， $P D = 3$ ， $B D = 9$ ．直线 $l$ 经过点 $P$ ，并绕点 $P$ 旋转，交射线 $B M$ 于点 $A$ ，交射线 $D N$ 于点 $C$ ．设 $\frac{C A}{C P} = x$ ，

⑴ 求 $x = 2$ 时，点 $A$ 到 $B N$ 的距离；

⑵ 设 $△ A B C$ 的面积为 $y$ ，求 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式，并写出函数的定义域；

⑶ 当 $△ A B C$ 因 $l$ 的旋转成为等腰三角形时，求 $x$ 的值．

备用图

题目SH-156-010

【 $2020$ 浦东】

在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A ＝ 90 °$ ， $A B ＝ 4$ ， $A C ＝ 3$ ， $D$ 为 $A B$ 边上一动点（点 $D$ 与点 $A 、 B$ 不重合），联结 $C D$ ，过点 $D$ 作 $D E ⊥ D C$ 交边 $B C$ 于点 $E$ ．

⑴如图，当 $E D ＝ E B$ 时，求 $A D$ 的长；

⑵设 $A D ＝ x$ ， $B E ＝ y$ ，求 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式并写出函数定义域；

⑶把 $△ B C D$ 沿直线 $C D$ 翻折得 $△ C D B'$ ，联结 $A B'$ ，当 $△ C A B'$ 是等腰三角形时，直接写出 $A D$ 的长．

题目SH-156-011

【 $2020$ 闵行】

已知：如图，在 $R t △ A B C$ 和 $R t △ A C D$ 中， $A C = B C$ ， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ A D C = 90 °$ ， $C D = 2$ ，（点 $A$ 、 $B$ 分别在直线 $C D$ 的左右两侧），射线 $C D$ 交边 $A B$ 于点 $E$ ，点 $G$ 是 $R t Δ A B C$ 的重心，射线 $C G$ 交边 $A B$ 于点 $F$ ， $A D = x$ ， $C E = y$ ．

⑴求证： $∠ D A B = ∠ D C F$ ；

⑵当点 $E$ 在边 $C D$ 上时，求 $y$ 关于 $x$ 的函数关系式，并写出 $x$ 的取值范围；

⑶如果 $△ C D G$ 是以 $C G$ 为腰的等腰三角形，试求 $A D$ 的长．