第13讲 直角三角形（二）

已知$△ABC$为直角三角形，$\angle BAC=90°$．求证：$A{B}^2+A{C}^2=B{C}^2$．

我国是最早了解和应用勾股定理的国家之一，古代印度、希腊、阿拉伯等许多

国家也都很重视对勾股定理的研究和应用，古希腊数学家毕达哥拉斯首先证明了勾股定理，在西方，勾股定理又称为“毕达哥拉斯定理”．

关于勾股定理的研究还有一个很重要的内容是勾股数组，我们把能够称为直角三角形三条边的三个正整数称为勾股数组， 以下是毕达哥拉斯学派研究出的确定勾股数组的两种方法：

方法$1$：若$m$是奇数$(m\ge 3)$，则$a=m,b=\frac{1}{2}(m^2-1),$和$c=\frac{1}{2}(m^2+1)$是勾股数．

方法$2$：若任取两个正整数$m$和$n(m>n)$，则$a=m^2-n^2$，$b=2mn$，$c=m^2+n^2$是勾股数．

⑴ 请证明以上两种方法是正确的；

⑵ 请根据方法$1$和方法$2$按规律填写下列表格：

1. 有一个角是直角；

2. 两锐角互余；

3. 一条边上的中线等于这条边的一半；

4. 如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，

第三边所对的角是直角（勾股定理的逆定理）．

⑴如图，在$△ABC$中，已知 $AB=8$，$BC=\text{7}$，$AC=5$，求$AC$边上的高．

⑶如图，$△ABC$中，$AB=AC=20$，$BC=32$，$AD\perp AC$，$AD$交$BC$于$D$，求$BD$的长．

⑴如图，在$△ABC$中，$AB=AC=4，$$P$是$BC$上异于$B,C$的一点，求 $A{P}^2+BP\cdot PC$的值.

⑵已知：在$△ABC$中，$AB=AC，$$\angle B=2\angle A$．求证：$A{B}^2-B{C}^2=AB\cdot BC$.

⑵如图，在四边形$ABCD$中，$\angle ABC=135°$，$\angle BCD=120°$，$AB=\sqrt{6}$，$BC=5-\sqrt{3}$，$CD=6$，求四边形$ABCD$的面积．

如图所示，在$△ABC$中，$AB=AC,\angle BAC=20°,D$是$AB$上一点，$\angle BDC=30°$,求证：$AD=BC$．

⑴若点$P\left(a,b\right)$到$x$轴的距离为$-a$，到$y$轴的距离为$b$,到原点的距离为$\sqrt{2}$，求点$P$坐标．

⑵设$A\left(0,-2\right),B\left(4,2\right)$是平面直角坐标系中的两点，$P$是线段$AB$垂直平分线上的点，如果点$P$与点$C\left(1,5\right)$的距离等于$2\sqrt{2}$，求点$P$的坐标．

在平面直角坐标系内，已知点$A(2,2)$、$B\left(2,-3\right)$，试在$y$轴上找一点$P$，使$△APB$为直角三角形，求点$P$的坐标．

若直角三角形的两条直角边长为$a、b$，斜边为$c$，斜边上的高为$h$，

求证：(1) $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{1}{h^2}$；(2)$a+b<c+h$．

已知$△ABC$和$△AEF$是以$A$为直角顶点的等腰直角三角形，$A$、$C$、$F$在同一条直线上．求证：$BF=CE$，$BF\perp CE$．

已知在$△ABC$中，$\angle BAC=90°$，$AB=AC$，$AD\perp BC$于$D$，$E$为$AC$上一点，$BE$交$AD$于$H$，$AF\perp BE$于$G$．求证：$DH=DF$,$FH\parallel AC$．

在$Rt△ABC$中，$\angle C=90°$，$D,E$分别为$BC$和$AC$的中点，$AD=5$，$BE=2\sqrt{10}$，求$AB$长．

在$Rt△ABC$中，$\angle C=90°$，$AM$是中线，$MN\perp AB$，垂足为$N$．求证：$A{N}^2-B{N}^2=A{C}^2$

在直角坐标平面上有$A\left(-2,4\right)$、$B\left(0,1\right)$、$C\left(3,3\right)$三点，判定$△ABC$的形状．

如图所示，$△ABC$三边的边长分别是$BC=17,CA=18,AB=19$,过$△ABC$内的点$P$向$△ABC$的三条边分别作垂线$PD,PE,PF$($D,E,F$为垂足)，且$BD+CE+AF=27$,求$BD+BF$的长．

如图所示，设$P$是四边形$ABCD$内一点，过点$P$分别作$AB,BC,CD,DA$的垂线，垂足分别为点$E,F,G,H$．已知$AH=3,$$HD=4,$$DG=1$，$GC=5$，$CF=6$，$FB=4$，且$BE-AE=1$,求该四边形的周长．