第4讲 二次根式

⑴当$a=\sqrt{2}$时，化简并求值：$\sqrt{a^2-4a+4}+\sqrt{4a^2+4a+1}$ ；

⑶当时，化简：$\sqrt{\frac{x^2+4}{2x}+2}+\sqrt{\frac{x^2+4}{2x}-2}$．

满足$0<x<y$及$\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{1088}$的整数解为________．

⑴已知$a+\frac{1}{a}=3$，求$\sqrt{a}+\frac{1}{\sqrt{a}}$的值．

⑵已知$x^{\frac{1}{2}}+x^{-\frac{1}{2}}=3$，求$\frac{x^{\frac{3}{2}}+x^{-\frac{3}{2}}+2}{x^2+x^{-2}+3}$的值．

⑶已知$x=\frac{4-\sqrt{7}}{3}$，求$\frac{x^2}{x^4+x^2+1}$的值．

已知$a=\frac{1}{\sqrt{2}-1}$，求下列代数式的值．

①求$4a^2-8a-1$的值；

②求$3a^3-12a^2+9a-12$的值．

整式中常见的很多解题方法可以移植到根式中来，比如基于完全平方公式的配方法，很容易知道

$a^2+2a+1={\left(a+1\right)}^2$.那么把$a\left(a\ge 0\right)$用$\sqrt{a}$代替之后，原公式可以写成$a+2\sqrt{a}+1=$ ;

利用这一原理可得$a+2\sqrt{a-1}=$ .

⑴已知$a+b+\left|\sqrt{c-1}-1\right|=4\sqrt{a-2}+2\sqrt{b+1}-4$，求$a+2b-3c$的值.

⑵已知$a+b+c+3=2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b+1}+\sqrt{c-1}\right)$，求$a^2+b^2+c^2$的值．

根式比大小

比较下列式子的大小：

⑴ $-\frac{1}{3}\sqrt{30}$和$-3\sqrt{\frac{3}{5}}$

⑵ $\sqrt{4}+\sqrt{7}$和$\sqrt{5}+\sqrt{6}$
⑶ $\sqrt{13}-\sqrt{11}$和$\sqrt{11}-3$

⑷ $\frac{7+7\sqrt{2}}{3+\sqrt{2}}$和$\frac{2+\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1}$

⑸ $\frac{2\sqrt{3}-\sqrt{11}}{3\sqrt{2}}$和$\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{17}}{2\sqrt{3}}$

⑴ $9+\sqrt{13}$与$9-\sqrt{13}$的小数部分分别是$a$和$b$，求$ab-3a+4b+8$的值．

⑵ 已知$x=\frac{3}{\sqrt{7}-2}$，$a$是$x$的整数部分，$b$是$x$的小数部分，求$\frac{a-b}{a+b}$的值．

已知$m$为$\sqrt{19}$的小数部分，求$m^5+6m^4-18m^3+7m^2-59m+57$的值．

满足等式$\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{275}$的整数对$\left(x,y\right)$的个数是（）

$A.$$1$个 $B.$$2$个 $C.$$3$个 $D.$多于$3$个

已知$a=4+\sqrt{3}$，$b=4-\sqrt{3}$，求$\frac{a}{a-\sqrt{ab}}-\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$的值．

⑴已知两个正数$a、b$，且$a^2>b^2$，判断$a$和$b$的大小，并简要说明理由

⑵利用第⑴题的结果，比较$\sqrt{5}+\sqrt{3}$与$\sqrt{6}+\sqrt{2}$的大小．

设$\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}-1}$的整数部分为$a$，小数部分为$b$，则$a^2+\frac{1}{2}ab+b^2$的值．

⑴若$x$，$y$为实数，且$y=\sqrt{1-4x}+\sqrt{4x-1}+\frac{1}{2}$．求$\sqrt{\frac{x}{y}+2+\frac{y}{x}}-\sqrt{\frac{x}{y}-2+\frac{y}{x}}$的值．

⑵已知$△ABC$的三边长为$a$，$b$，$c$，化简$\sqrt{{(a+b+c)}^2}+\sqrt{{(a-b-c)}^2}-\sqrt{{(c-a-b)}^2}$．

化简：

⑴$\frac{2}{3}\sqrt{9x}+6\sqrt{\frac{x}{4}}-2x\sqrt{\frac{1}{x}}$

⑵$2a\sqrt{\frac{b}{a}}-b\sqrt{\frac{a}{b}}+\frac{1}{a}\sqrt{a^{3}b}-\frac{2}{b}\sqrt{a{b}^3}\left(a>0,b>0\right)$

⑶$\frac{1}{a}\sqrt{\frac{a}{a^2-b^2}}÷\frac{b}{a}\sqrt{\frac{a+b}{a-b}}\cdot \frac{a+b}{a}\cdot \sqrt{\frac{1}{a}}\left(a>b>0\right)$

3. 已知$x=\sqrt{3}+1$，求下列代数式的值：⑴$x^2-2x+1$；⑵$x^3-x^2-4x+2$．

4. 已知$\sqrt{x}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-2}=\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)$，求$x,y,z$的值.

5. ⑴ 实数$-\sqrt{7}$，$-2\sqrt{2}$，$-3$的大小关系是________________（用“＞”连接）.
   ⑵ 比较$\sqrt{5}+\sqrt{6}$与$\sqrt{3}+\sqrt{8}$的大小．

⑶ 比较大小：$\sqrt{10}-\sqrt{11}$与$\sqrt{11}-2\sqrt{3}$．

设$x=\frac{1}{\sqrt{2}-1}$，$a$是$x$的整数部分，$b$是$x$的小数部分，则$a^3+b^2+3ab=$__________ ．

化简：

⑴$\sqrt{\frac{y}{8}}-\left[x\sqrt{\frac{y}{2x^2}}-\left(\frac{y}{2x}\sqrt{\frac{x^2}{2y}}+x{y}^2\sqrt{\frac{8}{x^2{y}^3}}\right)\right]$ $\left(x>0\right)$；

⑵$\frac{a-b}{a}\sqrt{\frac{a^2-ab}{a^3-2a^{2}b+a{b}^2}}$ $\left(a>b>0\right)$

2. 已知$\sqrt{x-2}+y^2-y+\frac{1}{4}=0$，求$\frac{1}{\sqrt{x}}+\sqrt{1-y}$的值．

3. 化简$\frac{a^2-a-6}{a+2}-\frac{\sqrt{a^2-2a+1}}{a^2-a}$，求当$a=\frac{1}{\sqrt{2}}$的值．

．

已知$a+b+c=2\sqrt{a+1}+4\sqrt{b+1}+6\sqrt{c-2}-14$，求代数式$a\left(b+c\right)+b\left(c+a\right)+c\left(a+b\right)$的

值．

．

已知$x=\frac{3+\sqrt{7}}{3-\sqrt{7}}$，$y=\frac{3-\sqrt{7}}{3+\sqrt{7}}$，求$3x^2+10xy+3y^2$的值.