第16讲含参不等式（组）

知识模块 01 · 原讲小节

含参不等式（组）

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

知识讲解定义、性质与方法

系数含参的不等式

在含参方程中我们已经初步领会了分类讨论这一数学思想，在含参不等式中我们将继续贯彻这一思想，需要对不等式的字母系数进行分类讨论．

对于一般的含参不等式，首先按照解一般不等式的解法，通过去分母、去括号、移项、合并同类项把不等式化为最简形式，到了最后一步系数化为“ $1$ ”时，需要对字母系数进行分类讨论．

一、几个简单的小问题：

⑴不等式 $0 \cdot x > 3$ 的解集为_______________．

⑵不等式 $0 \cdot x > 0$ 的解集为_______________．

⑶不等式 $0 \cdot x > - 3$ 的解集为_______________．

⑷不等式 $0 \cdot x \geq 0$ 的解集为_______________．

二、完成下列表格：

含参方程： $a x = b$		含参不等式： $a x > b$
$a \neq 0$	$x = \frac{b}{a}$	$a > 0$
		$a < 0$
$a = 0$	$0 \cdot x = b$	$a = 0$	$0 \cdot x > b$
	$b \neq 0$ ，原方程无解 $b = 0$ , $x$ 为任意实数		$b > 0$ ， $b = 0$ , $b < 0$ ，

若含参不等式变为 $a x \geq b$ ，则有何不同？

题目SH-021-001难度 B · 巩固

⑴解关于 $x$ 的不等式： $a x < b$ ．

⑵解关于 $x$ 的不等式： $a x \leq b$ ．

题目SH-021-002难度 B · 巩固

解关于 $x$ 的一次不等式： $k (k x + 1) < 1 - x$ ．

题目SH-021-003难度 B · 巩固

解关于 $x$ 的不等式：

⑴ $(a - 4) x - 1 < 3$ ； ⑵ $a x - 2 > x + 3$ ．

题目SH-021-004难度 D · 提升

解关于 $x$ 的不等式：

⑴ $\frac{a x - 2}{2} + \frac{x + 1}{3} < 2$ ； ⑵ $\frac{a x + 1}{3} - \frac{a x - 2}{5} > 3$ ．

题目SH-021-005难度 D · 提升

解关于 $x$ 的不等式： $(2 - a) x \leq 4 (x + a)$ ．

题目SH-021-006难度 D · 提升

解关于 $x$ 的不等式： $\frac{3 x - 3}{a^{2}} - 1 > \frac{1 - 2 x}{a}$ ．

题目SH-021-007难度 D · 提升

解关于 $x$ 的不等式组 ${\begin{matrix} \frac{x}{3} + 2 > 6 - x \\ 2 x - 5 > - 2 x + 2 a - 1 \end{matrix}$ ．

含参不等式相关题型

几个简单的小问题：

⑴已知 $a x > 3$ 的解集为 $x > \frac{3}{a}$ ，则 $a$ 的取值范围为_______________．

⑵已知 $(a + 2) x < 5$ 的解集为 $x > \frac{5}{a + 2}$ ，则 $a$ 的取值范围为_______________．

⑶已知 $a x > 3 b$ 的解集为 $x < 2$ ，则 $a$ 、 $b$ 满足的数量关系为_______________．

题目SH-021-008难度 C · 综合

若不等式 $\frac{a x - 3}{2} > 1 - \frac{x - 2}{3}$ 的解集为 $x > 2$ ，求 $a$ 的值．

⑵已知关于 $x$ 的不等式 $a (x - 2) + 6 < x + a^{2}$ 的解集为 $x > 2$ ，求 $a$ 的值．

题目SH-021-009难度 D · 提升

已知关于 $x$ 的不等式 $(3 a - 2 b) x + a > 0$ 的解集为 $x > \frac{3}{7}$ ，求关于 $x$ 的不等式 $a x > b$ 的解集．

题目SH-021-010

关于 $x$ 的不等式 $2 x - a \leq - 1$ 的解集如图所示，则 $a$ 的取值是（）．

A． $0$ B． $- 1$ C． $- 2$ D． $- 3$

题目SH-021-011

解关于 $x$ 的不等式： $a x - 2 > 2 - x$ ．

题目SH-021-012

解关于 $x$ 的不等式： $\frac{3 x + 3}{a^{2}} - 2 > \frac{1 - 2 x}{a}$ ．

题目SH-021-013

已知 $a$ 、 $b$ 为实数，若不等式 $(2 a - b) x + 3 a - 4 b < 0$ 的解为 $x > \frac{4}{9}$ ，求不等式 $(a - 4 b) x + 2 a - 3 b > 0$ 的解集．

题目SH-021-014

已知关于 $x$ 的不等式 $\frac{4 x + a}{3} > 1$ ……①和不等式 $- \frac{2 x + 1}{2} < 0$ ……②，解答下列问题：

⑴若上述两个不等式的解集相同，求 $a$ 的值；

⑵若不等式①的解都是不等式②的解，求 $a$ 的取值范围．

题目SH-021-015

下列说法正确的有（）个

①若 $a b = 0$ ，则关于 $x$ 的不等式 $a x > b$ 的解集为 $x > 0$

②若 $a \neq 0$ ， $b = 0$ ，则关于 $x$ 的不等式 $a x > b$ 的解集为 $x > 0$

③若 $a > 0$ ，则关于 $x$ 的不等式 $a x > b$ 的解集为 $x > \frac{b}{a}$

④若 $a < 0$ ，则关于 $x$ 的不等式 $a x \leq b$ 的解集为 $x \geq \frac{b}{a}$

A． $0$ B． $1$ C． $2$ D． $3$

题目SH-021-016

解关于 $x$ 的不等式： $a x > - a x$
解关于的不等式： $2 m x + 3 < 3 x + n$
⑴如果不等式的解集为，则的值为_________；

⑵若不等式的解集为，则不等式的解集为______．

题目SH-021-017

已知关于的不等式解集是，求不等式的解集．

题目SH-021-018

已知 $a \geq 0$ ，解关于 $x$ 的不等式 $(1 - a) x < 2 (x + a)$
解关于 $x$ 的不等式 $(a - 1) x > (a - 1) (a + 1)$ ．
已知关于 $x$ 的不等式 $(2 a + b) x - 3 a < 0$ 的解集为 $x > 2$ ，求不等式 $a x > b$ 的解集．
$a$ 、 $b$ 为有理数，不等式 $(a - 3 b) x + 2 a - b > 0$ 的解集为 $x < \frac{1}{3}$ ，求不等式 $(2 a - b) x + 2 a - 3 b > 0$ 的解集．
关于 $x$ 的不等式组 ${\begin{matrix} 2 x > x - 1 \\ x < 1 + a \end{matrix}$ ．