第5讲直角三角形的存在性问题

知识模块 01 · 原讲小节

直角三角形的存在性问题

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

知识讲解定义、性质与方法

直角三角形的存在性问题解题策略：

知识模块 02 · 原讲小节

三部曲

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题目SH-157-001难度 C · 综合

几何法（三部曲）：先分类，再画图，后计算；
代数法（三部曲）：先罗列三边，再分类列方程，后解方程、检验；
几何与代数相结合：几何法是确定目标、代数法是准确定位．两者相结合又快又好．

如上图，已知线段 $A B$ 和直线 $l$ ，在直线 $l$ 上找点 $P$ ，使 $△ A B P$ 为直角三角形．

上海一模和中考考点分布：一般直角三角形的存在性问题会出现在第24题和第25题．其中第24题是以二次函数为背景，第25题为动点问题．

如图，已知 $△ A B C$ 中， $A B = A C = \sqrt{3} c m$ ， $∠ B A C = 120 °$ ，点 $P$ 在 $B C$ 上从 $C$ 向 $B$ 运动，点 $Q$ 在 $A B$ 、 $A C$ 上沿 $B \to A \to C$ 运动，点 $P$ 、 $Q$ 分别从点 $C$ 、 $B$ 同时出发，速度均为 $1 c m / s$ ，当其中一点到达终点时两点同时停止运动，则当运动时间 $t =$ ________ $s$ 时， $△ P A Q$ 为直角三角形．

备用图

备用图备用图

如图，抛物线与 $x$ 轴交于点 $A (1, 0)$ ， $B (3, 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C (0, 3)$ ．

⑴求二次函数的表达式及顶点坐标；

⑵若点 $P$ 为抛物线上的一点，且 $S_{△ A B P} = 1$ ，求点 $P$ 的坐标；

⑶联结 $B C$ ，在抛物线的对称轴上是否存在一点 $E$ ，使 $△ B C E$ 是直角三角形？若存在，请直接写出点 $E$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

难度 C · 综合

已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴交于 $A (- 2, 0)$ 、 $B (6, 0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C (0, - 3)$ ．

⑴求抛物线的表达式；

⑵点 $P$ 在直线 $B C$ 下方的抛物线上，联结 $A P$ 交 $B C$ 于点 $M$ ，当 $\frac{P M}{A M}$ 最大时，求点 $P$ 的坐标及 $\frac{P M}{A M}$ 的最大值；

⑶在⑵的条件下，过点 $P$ 作 $x$ 轴的垂线 $l$ ，在 $l$ 上是否存在点 $D$ ，使 $△ B C D$ 是直角三角形，若存在，请直接写出点 $D$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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【 $2021$ 青浦】难度 D · 提升

在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 2$ ， $B C = 2 \sqrt{3}$ ，点 $D$ 为边 $A C$ 的中点（如图），点 $P$ 、 $Q$ 分别是射线 $B C$ 、 $B A$ 上的动点，且 $B Q = \frac{\sqrt{3}}{2} B P$ ，联结 $P Q$ 、 $Q D$ 、 $D P$ ．

⑴求证： $P Q ⊥ A B$ ；

⑵如果点 $P$ 在线段 $B C$ 上，当 $△ P Q D$ 是直角三角形时，求 $B P$ 的长；

⑶将 $△ P Q D$ 沿直线 $Q P$ 翻折，点 $D$ 的对应点为点 $D^{'}$ ，如果点 $D^{'}$ 位于 $△ A B C$ 内，请直接写出 $B P$ 的取值范围．

【 $2021$ 奉贤】难度 D · 提升

已知 $⊙ O$ 的直径 $A B = 4$ ，点 $P$ 为弧 $A B$ 上一点，联结 $P A$ 、 $P O$ ，点 $C$ 为劣弧 $A P$ 上一点（点 $C$ 不与点 $A$ 、 $P$ 重合），联结 $B C$ 交 $P A$ 、 $P O$ 于点 $D$ 、 $E$ ．

⑴如图，当 $c o s ∠ C B O = \frac{7}{8}$ 时，求 $B C$ 的长；

⑵当点 $C$ 为劣弧 $A P$ 的中点，且 $△ E D P$ 与 $△ A O P$ 相似时，求 $∠ A B C$ 的度数；

⑶当 $A D = 2 D P$ ，且 $△ B E O$ 为直角三角形时，求四边形 $A O E D$ 的面积．

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日期：2021/4/15 14:46:17；用户：大猫专家；邮箱：luoxiaohu@100tal.com；学号：20210921

如图，直角 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 6$ ， $B C = 8$ ， $P$ 、 $Q$ 分别为边 $B C$ 、 $A B$ 上的两个动点，若要使 $△ A P Q$ 是等腰三角形且 $△ B P Q$ 是直角三角形，则 $A Q =$ ________．

如图，二次函数 $y = x^{2} + b x + c$ 图像经过原点和点 $A (2, 0)$ ，直线 $A B$ 与抛物线交于点 $B$ ，且 $∠ B A O = 45 °$ ．

⑴求二次函数解析式及其顶点 $C$ 的坐标；

⑵在直线 $A B$ 上是否存在点 $D$ ，使得 $△ B C D$ 为直角三角形．若存在，求出点 $D$ 的坐标，若不存在，说明理由．

已知：如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 4$ ， $C B = 5$ ， $D$ 是 $B C$ 边上一点，且 $D B = 2$ ，点 $E$ 是 $A C$ 边上的一个动点，过点 $E$ 作 $E F ∥ C B$ 交 $A D$ 于点 $F$ ．

⑴当 $A E = \frac{8}{5}$ 时，联结 $D E$ ，求证： $△ D E F ∽ △ A B D$ ；

⑵过点 $F$ 作 $F G$ 垂直 $E F$ 交 $B C$ 于点 $G$ ，设 $A E = x$ ， $△ A F G$ 的面积为 $y$ ，求 $y$ 关于 $x$ 的函数关系式，并写出定义域；

⑶点 $P$ 在线段 $C D$ 上，且 $E F = P F$ ，在点 $E$ 移动的过程中，当 $△ F P D$ 是直角三角形时，求 $A E$ 的长度．

如图，直角梯形 $A B C D$ 中， $A B ∥ D C$ ， $∠ D A B = 90 °$ ， $A D = 2 D C = 4$ ， $A B = 6$ ．动点 $M$ 以每秒 $1$ 个单位长的速度，从点 $A$ 沿线段 $A B$ 向点 $B$ 运动；同时点 $P$ 以相同的速度，从点 $C$ 沿折线 $C - D - A$ 向点 $A$ 运动．当点 $M$ 到达点 $B$ 时，两点同时停止运动．过点 $M$ 作直线 $l ∥ A D$ ，与折线 $A - C - B$ 的交点为 $Q$ ．点 $M$ 运动的时间为 $t$ （秒）．

⑴当 $A M = 0.5$ 时，求线段 $Q M$ 的长；

⑵点 $M$ 在线段 $A B$ 上运动时，是否可以使得以 $C$ 、 $P$ 、 $Q$ 为顶点的三角形为直角三角形？若可以，请直接写出 $t$ 的值（不需解题步骤）；若不可以，请说明理由．

⑶若 $△ P C Q$ 的面积为 $y$ ，请求出 $y$ 关于 $t$ 的函数关系式及自变量的取值范围．

如图，已知在 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 5$ ， $c o s B = \frac{4}{5}$ ， $P$ 是边 $A B$ 上一点，以 $P$ 为圆心， $P B$ 为半径的 $⊙ P$ 与边 $B C$ 的另一个交点为 $D$ ．联结 $P D$ 、 $A D$ ．

⑴求 $△ A B C$ 的面积；

⑵如果 $△ A P D$ 是直角三角形，求 $P B$ 的长．

已知：在梯形 $A B C D$ 中， $A D / / B C$ ， $A C = B C = 10$ ， $c o s ∠ A C B = \frac{4}{5}$ ，点 $E$ 在对角线 $A C$ 上，且 $C E = A D$ ， $B E$ 的延长线与射线 $A D$ 、射线 $C D$ 分别相交于 $F$ 、 $G$ ．设 $A D = x$ ， $△ A E F$ 的面积为 $y$ ．

⑴ 求证： $∠ D C A = ∠ E B C$ ；

⑵ 如果 $△ D F G$ 是直角三角形，求 $△ A E F$ 的面积．