第7讲乘法公式综合

知识模块 01 · 原讲小节

乘法公式复习

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

知识讲解定义、性质与方法

①平方差公式： $(a + b) (a - b) =$

②完全平方公式： ${(a + b)}^{2} =$

${(a - b)}^{2} =$

③立方和公式： $(a + b) (a^{2} - a b + b^{2}) =$

立方差公式： $(a - b) (a^{2} + a b + b^{2}) =$

④完全立方公式： ${(a + b)}^{3} =$

${(a - b)}^{3} =$

⑤三元完全平方公式： ${(a + b + c)}^{2} =$

⑥三元配方公式： $\frac{1}{2} [{(a - b)}^{2} + {(b - c)}^{2} + {(c - a)}^{2}] =$

题目SH-054-001难度 C · 综合

化简：

⑴ $(a + b + c) (a - b + c)$ ⑵ ${(5 a + 3 b)}^{2} - {(5 a - 3 b)}^{2}$

⑶ ${(2 y - x)}^{2} {(x + 2 y)}^{2}$ ⑷ $(a + b) (- a - b) (a - b) (- a + b)$

题目SH-054-002难度 B · 巩固

化简：

⑴ ${(a - 2 b - 3 c)}^{2}$ ⑵ ${(a - 5 b)}^{3}$

⑶ ${(x + 2 y)}^{2} {(x^{2} - 2 x y + 4 y^{2})}^{2}$ ⑷ $(a - b) (a^{2} + a b + b^{2}) (a^{6} + a^{3} b^{3} + b^{6})$

题目SH-054-003难度 C · 综合

计算：

⑴ $2^{2} - 4^{2} + 6^{2} - 8^{2} + 1 0^{2} - 1 2^{2} + \dots + 9 8^{2} - 10 0^{2}$

⑵ $(1 - \frac{1}{2^{2}}) (1 - \frac{1}{3^{2}}) (1 - \frac{1}{4^{2}}) \dots (1 - \frac{1}{202 0^{2}})$

⑶ $(2 + 1) (2^{2} + 1) (2^{4} + 1) \dots (2^{64} + 1) + 1$

题目SH-054-004难度 C · 综合

⑴已知 ${(t + 2020)}^{2} = 5201414$ ，求 $(t + 2010) (t + 2030)$ 的值.

⑵已知 $(2020 - x) (2018 - x) = 2019$ ，求 ${(2020 - x)}^{2} + {(2018 - x)}^{2}$ 的值.

题目SH-054-005难度 C · 综合

计算： $\frac{2 1^{2} + 2 2^{2} + 2 3^{2} + 2 4^{2} + 2 5^{2} + 2 6^{2} + 2 7^{2}}{2030}$ .

题目SH-054-006难度 B · 巩固

⑴已知 $a - b = 1$ ， $b - c = - 2$ ，则 $a^{2} + b^{2} + c^{2} - a b - b c - a c =$ （）

A. $0$ B. $2$ C. $3$ D. $6$

⑵已知 $a = 1 + 7 x$ ， $b = 1 - 7 x$ ， $c = 2 + 7 x$ ，则 $a^{2} + 4 b^{2} + c^{2} + 4 a b + 4 b c + 2 a c =$ （）

A. $1$ B. $5$ C. $16$ D. $25$

题目SH-054-007难度 C · 综合

⑴已知 $a - b = 2$ ， $b + c = 1$ ，求 $a^{3} + 3 a^{2} c + 3 a c^{2} + c^{3}$ 的值.

⑵已知 $x \neq y$ ，且 $x^{2} = x + 1$ ， $y^{2} = y + 1$ ，求 $x + y$ ， $x^{3} + y^{3}$ 的值.

知识模块 02 · 原讲小节

欧拉公式

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

知识讲解定义、性质与方法

欧拉公式： $(a + b + c) (a^{2} + b^{2} + c^{2} - a b - b c - c a) = a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3 a b c$

特别地： ①当 $a + b + c = 0$ 时，有 $a^{3} + b^{3} + c^{3} = 3 a b c$ .

②当 $a^{3} + b^{3} + c^{3} = 3 a b c$ ，有 $a + b + c = 0$ 或 $a = b = c$ .

题目SH-054-008难度 B · 巩固

化简与求值：

⑴ $(x + y + 1) (x^{2} + y^{2} - x y - x - y + 1)$

⑵ ${(x - y)}^{3} + {(y - z)}^{3} + {(z - x)}^{3} - 3 (x - y) (y - z) (z - x)$

题目SH-054-009难度 C · 综合

计算：

⑴ $201 8^{3} + 202 0^{3} - 403 8^{3} + 6 \times 2018 \times 2019 \times 2020$

⑵ $\frac{201 9^{3} - 202 0^{3} + 1}{2019 \times 2020}$

题目SH-054-010

计算：

⑴ ${(x + y)}^{2} {(x - y)}^{2}$

⑵ $(x^{2} + 2) (x^{2} - 2) (x^{4} + 4)$

题目SH-054-011

已知： $x + y = 4$ ， $x^{2} + y^{2} = 14$ ，求 ${(x - y)}^{2}$ 的值．

题目SH-054-012

计算： $(2 x + 3 - x^{2}) (2 x - 3 + x^{2})$

题目SH-054-013

计算： $(- 2 a + 3 b + c) (2 a - 3 b - c)$

题目SH-054-014

计算： $(a - 2 b) (a + 2 b) (a^{2} - 2 a b + 4 b^{2}) (a^{2} + 2 a b + 4 b^{2})$

题目SH-054-015

化简：

⑴ $(a + b - c) (a - b + c)$ ⑵ ${(3 a + 2 b)}^{2} - {(3 a - 2 b)}^{2}$

⑶ $(x - y + z) (x + y - z) - (y - x + z) (z + x - y)$ ⑷ $(a - b) (a + b) (a^{2} + b^{2}) (a^{4} + b^{4})$

题目SH-054-016

化简：

⑴ ${(x - \frac{1}{2} y + 3 z)}^{2}$

⑵ $(2 x - 3 y) (4 x^{2} + 6 x y + 9 y^{2})$

⑶ $(2 a - b) (16 a^{4} + 4 a^{2} b^{2} + b^{4}) (2 a + b)$

题目SH-054-017

计算：

⑴ $1^{2} - 2^{2} + 3^{2} - 4^{2} + 5^{2} - 6^{2} + \dots + 9 9^{2} - 10 0^{2}$

⑵ $(3 + 1) (3^{2} + 1) (3^{4} + 1) (3^{8} + 1) (3^{16} + 1)$

⑶ $51 3^{3} + 71 7^{3} - 123 0^{3} + 3 \times 513 \times 717 \times 1230$

已知 $(1997 - 2 a) (1999 - 2 a) = 1949$ ，求 ${(1999 - 2 a)}^{2} + {(1997 - 2 a)}^{2}$ 的值．
⑴已知 $a + 19 = b + 9 = c + 8$ ，求 $a^{2} + b^{2} + c^{2} - a b - b c - c a$ 的值.

⑵已知 $a = 3 - x$ ， $b - c = - x - 2$ ，求 $a^{2} + b^{2} + c^{2} - 2 a b - 2 b c + 2 c a$ 的值.

已知 $x + y = 2 z$ ，求 $x^{3} + y^{3} - 8 z^{3} + 6 x y z$ 的值.

题目SH-054-018

下列两个多项式相乘，哪些可用平方差公式，哪些不能？能用平方差公式的，

先把式子化成公式的标准形式，再计算结果 .

⑴ $(3 x + 4 y) (3 x - 4 y)$ ⑵ $(3 x - 4 y) (4 y - 3 x)$

⑶ $(- 3 x + 4 y) (3 x + 4 y)$ ⑷ $(- 3 x + 4 y) (- 3 x - 4 y)$

题目SH-054-019

计算下列各题：

⑴ $(\frac{2}{3} x + 7 y) (7 y - \frac{2}{3} x)$ ⑵ $(- \frac{1}{2} x - 2 y) (\frac{1}{2} x - 2 y)$

⑶ $(- 1 - 3 a^{2} b) (3 a^{2} b - 1)$ ⑷ $(x^{2} - 3 y^{3}) (3 y^{3} - x^{2})$

题目SH-054-020

计算下列各题：

⑴ ${(\frac{1}{2} a - 3 b)}^{2}$ ⑵ ${(\frac{1}{4} a + 2 b)}^{2}$

⑶ ${(- 2 x + 5 y)}^{2}$ ⑷ ${(- 3 x - 2 y)}^{2}$

题目SH-054-021

计算： $(a - b + c - d) (c - a - d - b)$
已知 $b - 3 = c - 4$ ，求 $b^{3} - 3 b^{2} c + 3 b c^{2} - c^{3}$ 的值.
已知 $x^{3} = x + 2$ ， $y^{3} = y + 2$ 且 $x \neq y$ ，求 $x^{2} + x y + y^{2}$ 的值.
已知 $a + b + c \neq 0$ ，且 $a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3 a b c = 0$ ，求以 $a 、 b 、 c$ 为三边的三角形形状.
已知 $a, b, c$ 满足 $a^{2} + 2 b c = 21$ ， $b^{2} + 2 a c = 14$ ， $c^{2} + 2 a b = 29$ ，求 $a + b + c$ 的值.
化简： ${(a + b)}^{2} (b + c - a) (c + a - b) + {(a - b)}^{2} (a + b + c) (a + b - c)$