几何4-相似与三角 · 第 133 讲

第5讲比例线段与相似三角形

20 道题10 个知识模块答案解析精校中

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知识模块 01 · 原讲小节

比例线段的定义及性质

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

知识讲解定义、性质与方法

如果 $a : b = c : d$ （或 $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ ），那么就说 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 、 $d$ 成比例．

对于四条线段 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 、 $d$ ，如果 $a : b = c : d$ （或表示为 $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ ），那么 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 、 $d$ 叫做成比例线段，简称比例线段．这时，线段 $a$ 、 $d$ 是比例外项，线段 $b$ 、 $c$ 是比例内项．

Tips①：表述比例线段时，要注意顺序；

Tips②：因为线段的长度是正量，所以 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 、 $d$ 都为正．

名称	文字叙述		举例
比例基本性质	$a : b = c : d$ $\Leftrightarrow$ $a d = b c$ $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ $\Leftrightarrow$ $a d = b c$		$1 : 2 = 4 : 8$ $\Leftrightarrow$ $1 \times 8 = 2 \times 4$
反比性质	如果 $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ ，那么 $\frac{b}{a} = \frac{d}{c}$ 或者 $\frac{d}{b} = \frac{c}{a}$		$\frac{1}{2} = \frac{4}{8}$ $\Leftrightarrow$ $\frac{2}{1} = \frac{8}{4}$ ， $\frac{8}{2} = \frac{4}{1}$
更比性质	如果 $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ ，那么 $\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$ 如果 $a : b = c : d$ ，那么 $a : c = b : d$		$\frac{1}{2} = \frac{4}{8}$ $\Leftrightarrow$ $\frac{1}{4} = \frac{2}{8}$ $1 : 2 = 4 : 8$ $\Leftrightarrow$ $1 : 4 = 2 : 8$
合（分）比性质	合比	如果 $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ ，那么 $\frac{a + b}{b} = \frac{c + d}{d}$	$\frac{1}{2} = \frac{4}{8}$ $\Leftrightarrow$ $\frac{1 + 2}{2} = \frac{4 + 8}{8}$
	分比	如果 $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ ，那么 $\frac{a - b}{b} = \frac{c - d}{d}$	$\frac{1}{2} = \frac{4}{8}$ $\Leftrightarrow$ $\frac{1 - 2}{2} = \frac{4 - 8}{8}$
	合分比	如果 $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ （且 $a \neq b$ ， $c \neq d$ ），那么 $\frac{a + b}{a - b} = \frac{c + d}{c - d}$	$\frac{1}{2} = \frac{4}{8}$ $\Leftrightarrow$ $\frac{1 + 2}{1 - 2} = \frac{4 + 8}{4 - 8}$
等比性质	如果 $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ $= \dots = \frac{m}{n} = k$ ，且 $b + d + \dots + n \neq 0$ 那么 $\frac{a + c + \dots + m}{b + d + \dots + n} = k$		$\frac{1}{2} = \frac{4}{8}$ $\Leftrightarrow$ $\frac{1 + 4}{2 + 8} = \frac{1}{2} = \frac{4}{8}$

注：使用比例性质时，务必保证分母不为零，若不确定，则分类讨论．

黄金分割

如果点 $P$ 把线段 $A B$ 分割成 $A P$ 和 $P B$ （ $A P > P B$ ）两段，其中 $A P$ 是 $A B$ 和 $P B$ 的比例中项（ $A P : A B = B P : A P$ ），那么称这种分割为黄金分割，点 $P$ 称为线段 $A B$ 的黄金分割点．

黄金矩形

黄金三角形（正五角星）

黄金梯形

$A D = D C = C B$ $A B = A C = B D$

\frac{宽}{长} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}

(

\frac{B C}{A B} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}

)

\frac{底 边}{腰} (\frac{腰}{底 边}) = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}

（

\frac{B C}{A B} (或 \frac{A B}{B C}) = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}

）

\frac{上 底}{下 底} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}

（

\frac{C D}{A B} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}

）

$A P$ 与 $A B$ 的比值 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2} (\approx 0.618)$ 称为黄金分割数（简称黄金数）．

注：延安自招考到黄金梯形．

TIPS①：一般来说，一条线段有两个黄金分割点；

TIPS②：黄金数： $\frac{A P}{A B} = \frac{P B}{A P} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ ，而 $\frac{P B}{A B} = {(\frac{\sqrt{5} - 1}{2})}^{2} = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$ ，这两个量要求记忆．

⑴下列各组线段中不能组成比例线段的是（）

$A .$ $a = 6$ ， $b = 8$ ， $c = 15$ ， $d = 10$ $B .$ $a = 7$ ， $b = 4$ ， $c = 0.7$ ， $d = 0.4$

$C .$ $a = c = 5$ ， $b = d = 3$ $D .$ $a = 0.3$ ， $b = 1.5$ ， $c = 0.6$ ， $d = 3$

⑵已知线段 $a = 2 c m$ ， $b = 4.1 c m$ ， $c = 4 c m$ ， $d = 8.2 c m$ ，下面成比例线段的是（）

$A .$ $d$ ， $b$ ， $a$ ， $c$ $B .$ $a$ ， $d$ ， $b$ ， $c$ $C .$ $a$ ， $c$ ， $b$ ， $d$ $D .$ $a$ ， $d$ ， $c$ ， $b$

知识模块 02 · 原讲小节

⑶下列各组线段能组成比例的是（）

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知识讲解定义、性质与方法

$A .$ $1 c m$ ， $3 c m$ ， $2 c m$ ， $4 c m$ $B .$ $1 m$ ， $20 c m$ ， $5 c m$ ， $25 c m$

$C .$ $\sqrt{3} c m$ ， $\sqrt{6} c m$ ， $\sqrt{2} c m$ ， $4 m$ $D .$ $4 c m$ ， $8 c m$ ， $6 m$ ， $12 c m$

⑴如果线段 $A B$ 的长为 $2$ ，点 $P$ 是线段 $A B$ 的黄金分割点，那么较短的线段 $A P =$ ________ .

题目SH-133-001

⑵古希腊艺术家发现当人的头顶至肚脐的长度（上半身的长度）与肚脐至足底的长度（下半身的长度）的比值为“黄金分割数”时，人体的身材是最优美的.一位女士身高为 $154 c m$ ，她上半身的长度为 $62 c m$ ，为了使自己的身材显得更为优美，计划选择一双合适的高跟鞋，使自己的下半身长度增加，你认为选择鞋跟高为多少厘米的高跟鞋最佳？（）

（A） $4 c m$ ；（B） $6 c m$ ；（C） $8 c m$ ；（D） $10 c m$ .

【 $2021$ 崇明】

我们约定：如果一个四边形存在一条对角线，使得这条对角线是四边形某两边的比例中项，那么就称这个四边形为“闪亮四边形”，这条对角线为“闪亮对角线，”相关两边为“闪亮边”．例如：图1中的四边形 $A B C D$ 中， $A B = A C = A D$ ，则 $A C^{2} = A B \cdot A D$ ，所以四边形 $A B C D$ 是闪亮四边形， $A C$ 是闪亮对角线， $A B$ 、 $A D$ 是对应的闪亮边．如图2，已知闪亮四边形 $A B C D$ 中， $A C$ 是闪亮对角线， $A D$ 、 $C D$ 是对应的闪亮边，且 $∠ A B C = 90 °$ ， $∠ D = 60 °$ ， $A B = 4$ ， $B C = 2$ ，那么线段 $A D$ 的长为________．

知识模块 03 · 原讲小节

平行线分线段成比例

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知识讲解定义、性质与方法

三角形一边的平行线

性质定理

如图，如果有 $D E ∥ B C$ ，

那么 $\frac{A D}{A B} = \frac{A E}{A C} = \frac{D E}{B C}$ ．

平行的判定定理

如图，如果有 $\frac{A D}{A B} = \frac{A E}{A C}$ ，

那么 $D E ∥ B C$ ．

平行线分线段

成比例定理

如图，如果有 $l_{1} ∥ l_{2} ∥ l_{3}$ ，

那么 $\frac{B C}{A B} = \frac{E F}{D E}$ ， $\frac{B C}{A C} = \frac{E F}{D F}$ ，

$\frac{A B}{D E} = \frac{A C}{D F}$ ．

注： $\frac{A D}{A B} = \frac{D E}{B C}$ 不可作为 $D E ∥ B C$ 的判定条件．

知识模块 04 · 原讲小节

三角形的重心

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知识讲解定义、性质与方法

定义：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心．

三角形重心定理

若 $G$ 为 $△ A B C$ 的重心，

那么 $\frac{A G}{G F} = \frac{B G}{G E} = \frac{C G}{D G} = \frac{2}{1}$ ．

TIPS：三角形的五心：内心，外心，重心，垂心，旁心．

⑴如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，点 $D$ 、 $E$ 分别在边 $B C$ 、 $A B$ 上， $C D = B D$ ， $C E = \frac{1}{2} A B$ ， $A D$ 与 $C E$ 交于点 $F$ ，如果 $A B = 6$ ，那么 $C F$ 的长等于________ .

题目SH-133-002

⑵如图，已知在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，点 $G$ 是 $△ A B C$ 的重心， $G E ⊥ A C$ ，垂足为 $E$ ，如果 $C B = 8$ ，则线段 $G E$ 的长为（）

（A） $\frac{5}{3}$ ；（B） $\frac{7}{3}$ ；（C） $\frac{8}{3}$ ；（D） $\frac{10}{3}$ .

题目SH-133-003

⑶如图，点 $G$ 为 $△ A B C$ 的重心，如果 $A G = C G$ ， $B G = 2$ ， $A C = 4$ ，那么 $A B$ 的长等于________ .

题目SH-133-004

⑴如图，已知直线 $l_{1}$ 、 $l_{2}$ 、 $l_{3}$ 分别交直线 $l_{4}$ 于点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ ，交直线 $l_{5}$ 于点 $D$ 、 $E$ 、 $F$ ，且 $l_{1} ∥ l_{2} ∥ l_{3}$ ， $A B = 4$ ， $A C = 6$ ， $D F = 10$ ，则 $D E =$ ________.

⑵如图， $A B ∥ C D ∥ E F$ ，如果 $A C = 2$ ， $C E = 3$ ， $B D = 1.5$ ，那么 $B F$ 的长是________.

题目SH-133-005

⑶如图，已知 $A C ∥ E F ∥ B D$ ，如果 $A E : E B = 2 : 3$ ， $C F = 6$ ，那么 $C D$ 的长等于________.

题目SH-133-006

⑴ 如图，在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 、 $E$ 分别为边 $A C$ 、 $B C$ 上靠近点 $C$ 的三等分点， $B D$ 、 $A E$ 交于点 $F$ ，求 $D F : B F$ 的值．

⑵ 如图，在 $△ A B C$ 中，边 $B C$ 上的两点 $E$ 、 $F$ 把 $B C$ 三等分， $B M$ 是 $A C$ 上的中线， $A E$ 、 $A F$ 分别交 $B M$ 于 $G$ 、 $H$ 两点．求证： $B G : G H : H M = 5 : 3 : 2$ ．

知识模块 05 · 原讲小节

相似三角形的定义

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知识讲解定义、性质与方法

相似三角形：如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，且它们各有的三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形．
相似比：两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比（或相似系数）．

特别的，当相似比为 $1$ 时，两个三角形全等．

知识模块 06 · 原讲小节

相似三角形的判定

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知识讲解定义、性质与方法

预备定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似；

全等三角形的判定	相似三角形的判定
两角及其夹边对应相等 $(A . S . A)$	两角对应相等，两个三角形相似
两角及其一角的对边对应相等 $(A . A . S)$	两角对应相等，两个三角形相似
两边及其夹角对应相等 $(S . A . S)$	两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似
三边对应相等 $(S . S . S)$	三边对应成比例，两个三角形相似
斜边和直角边对应相等 $(H . L)$	斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似

知识模块 07 · 原讲小节

相似三角形的性质

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知识讲解定义、性质与方法

性质定理①：相似三角形对应高线、中线、角平分线的比等于相似比；

性质定理②：相似三角形的周长的比等于相似比；

性质定理③：相似三角形的面积的比等于相似比的平方；

性质定理④：相似于同一个三角形的两个三角形相似．

⑴如果两个相似三角形的周长之比为 $1 : 4$ ．那么这两个三角形对应边上的高之比为________．

题目SH-133-007

⑵如图，在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 、 $E$ 分别在边 $A B$ 、 $A C$ 上， $D E ∥ B C$ ，如果 $A B = 12$ ， $B C = 9$ ， $A C = 6$ ，四边形 $B C E D$ 的周长为 $21$ ，那么 $D E$ 的长为________．

题目SH-133-008

⑶如图，点 $D$ 、 $E$ 、 $F$ 分别位于 $△ A B C$ 的三边上，且 $D E / / B C$ ， $E F / / A B$ ，如果 $△ A D E$ 的面积为 $2$ ， $△ C E F$ 的面积为 $8$ ，那么四边形 $B F E D$ 的面积是________．

【 $2021$ 宝山】

如图，点 $O$ 是菱形 $A B C D$ 的对角线 $B D$ 上一点，联结 $A O$ 并延长，交 $C D$ 于点 $E$ ，交 $B C$ 的延长线于点 $F$ ．

题目SH-133-009

⑴求证： $A B^{2} = D E \cdot B F$ ；

⑵如果 $O E = 1$ ， $E F = 2$ ，求 $\frac{C F}{B F}$ 的值．

题目SH-133-010

【 $2021$ 长宁】

如图，在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 在边 $A B$ 上，点 $E$ 、点 $F$ 在边 $A C$ 上，且 $D E ∥ B C$ ， $\frac{A F}{F E} = \frac{A E}{E C}$ .

⑴求证： $D F ∥ B E$ ；

⑵如果 $A F = 2$ ， $E F = 4$ ， $A B = 6 \sqrt{3}$ ，求 $\frac{D E}{B E}$ 的值.

题目SH-133-011

如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 90 °$ ，分别以 $A B$ 、 $A C$ 为边向形外作正方形 $A B D E$ 、 $A C F G$ ，设 $C D$ 交 $A B$ 于 $N$ ， $B F$ 交 $A C$ 于 $M$ ，求证： $A M = A N$ ．

题目SH-133-012

评定： $lALPDgQ9rN7UgP_M2s0Eaw_1131_218$

Com]

⑴已知线段 $a = 32 c m$ ， $b = 8 c m$ ，那么 $a$ 和 $b$ 的比例中项 $c$ 是________．

⑵点 $C$ 是线段 $A B$ 上的一个黄金分割点，且 $A C > B C$ ，若 $A B = 5 c m$ ，则 $A C =$ ________．

题目SH-133-013

⑶如图，点 $C$ 是线段 $A B$ 的黄金分割点（ $A C > B C$ ），如果分别以点 $A$ 、 $B$ 为圆心，以 $A C$ 的长为半径作弧相交于点 $D$ ，那么 $∠ D A B$ 的度数是________．

题目SH-133-014

梯形 $A B C D$ 中， $D C ∥ A B$ ， $D C = 3$ ， $A B = 5$ ， $E$ 是 $D A$ 的黄金分割点，且 $E F ∥ A B$ 交 $B C$ 于点 $F$ ，则 $E F =______$ ．

题目SH-133-015

⑴ 如图，在 $R t △ A B C$ 中，点 $D$ 是斜边 $A B$ 的中点，当 $G$ 是 $R t △ A B C$ 的重心， $G E ⊥ A C$ 于点 $E$ ，若 $B C = 6 c m$ ，则 $G E =$ ________ $c m$ ．

⑵ 如图， $△ A B C$ 中，中线 $A D$ 、 $B E$ 相交于点 $O$ ，若 $△ B O D$ 的面积等于 $5$ ，则 $S_{△ A B C} =$ ________．

题目SH-133-016

⑴如图， $A B ∥ C D ∥ E F$ ， $A C$ 与 $B D$ 相交于点 $E$ ，若 $C E = 5$ ， $C F = 4$ ， $A E = B C$ ，求 $\frac{C D}{A B}$ 的值．

⑵如图， $A B ∥ E F ∥ D C$ ， $D E = 2 A E$ ， $C F = 2 B F$ ，且 $D C = 5$ ， $A B = 8$ ，则 $E F =$ ________．

题目SH-133-017

⑴如图，将 $△ A B C$ 沿射线 $B C$ 方向平移得到 $△ D E F$ ，边 $D E$ 经过 $△ A B C$ 的重心 $G$ ， $A C$ 交 $D E$ 于点 $H$ ，已知 $△ H E C$ 的面积为 $4$ ，则四边形 $A B F D$ 的面积为________．

⑵下列五幅图均是由边长为 $1$ 的 $16$ 个小正方形组成的正方形网格，网格中的三角形的顶点都在小正方形的顶点上，那么在下列右边四幅图中的三角形，与左图中的 $△ A B C$ 相似的个数有（）

A． $1$ 个 B． $2$ 个 C． $3$ 个 D． $4$ 个

⑶ 已知 $△ A B C ∽ △ D E F$ ，若相似比是 $3$ ，两个三角形的周长之差为 $9$ ，则 $△ D E F$ 的周长是________．

题目SH-133-018

已知：如图， $M$ 是平行四边形 $A B C D$ 的对角线 $B D$ 上一点，射线 $A M$ 与 $B C$ 交于点 $F$ ，与 $D C$ 的延长线交于点 $H$ ，求证：⑴ $A M^{2} = M F \cdot M H$ ；⑵若 $B C^{2} = B D \cdot D M$ ，求证： $∠ A M B = ∠ A D C$ ．

知识模块 08 · 原讲小节

（黄金分割拓展）

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知识讲解定义、性质与方法

求证：边长为 $1$ 的正五边形对角线长为 $\frac{\sqrt{5} + 1}{2}$

题目SH-133-019

如图，在 $△ A B C$ 的边 $A B$ 上取一点 $D$ ，连 $C D$ ，过 $D$ 作 $D E ∥ B C$ 交 $A C$ 于 $E$ ，过 $E$ 作 $E F ∥ C D$ 交 $A B$ 于 $F$ ．求证： $A B \geq 4 D F$ ．

题目SH-133-020

（比例线段拓展）

已知梯形 $A B C D$ 中， $A D / / B C$ ， $E$ 、 $F$ 分别在 $A B$ 、 $C D$ 上，求证：若 $E D / / B F$ ，则 $A F / / C E$ ．

知识模块 09 · 原讲小节

（比例线段拓展）

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知识讲解定义、性质与方法

如图，已知 $△ A B C$ 中， $A D$ 、 $B E$ 、 $C F$ 交于 $G$ ， $F H / / A D$ ， $F H$ 延长后与 $E D$ 的延长线交于 $K$ ，求证： $F H = H K$ ．

知识模块 10 · 原讲小节

（比例线段拓展）

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知识讲解定义、性质与方法

已知 $D$ 、 $E$ 分别是 $△ A B C$ 的边 $B C$ 、 $A B$ 上的点， $A D$ 、 $C E$ 交于点 $F$ ， $B F$ 、 $D E$ 交于点 $G$ ，过点 $G$ 作 $B C$ 的平行线 $M N$ 分别交 $A B$ 、 $C E$ 、 $A C$ 于 $M$ 、 $H$ 、 $N$ ．求证： $G H = N H$ ．