第4讲 乘法公式一

计算：

⑴$\left(2x-3y\right)\left(2x+3y\right)$； ⑵$\left(5x-2y\right)\left(2y+5x\right)$；

⑶$\left(x^2-\frac{1}{2}\right)\left(x^2+\frac{1}{2}\right)$； ⑷$(-4a-1)(-4a+1)$．

⑴$\left(x-2y\right)\left(2y+x\right)$; ⑵$\left(x^{2}y-\frac{1}{2}\right)\left(x^{2}y+\frac{1}{2}\right)$；

⑶$(-4a-1)(-4a+1)$； ⑷$(a^{2m}+b^{3n})(a^{2m}-b^{3n})$．

计算：

⑴${\left(2x+y\right)}^2$； ⑵${(m-3n)}^2$；

⑶${\left(x^2-\frac{1}{2}\right)}^2$； ⑷${\left(-4y-\frac{1}{4}\right)}^2$．

⑴${(4m+n)}^2$； ⑵${\left(x^2-\frac{1}{2}\right)}^2$；

⑶${\left(-4y-\frac{1}{4}\right)}^2$； ⑷${\left[\left(a-2b\right)+c\right]}^2$．

计算：

⑴$\left(x+3\right)\left(x-3\right)\left(x^2+9\right)$； ⑵${\left(x-2\right)}^2{\left(x+2\right)}^2$；

⑶$\left(2x-y+2\right)\left(y-2x+2\right)$； ⑷$\left(2x-\frac{3}{5}y-\frac{1}{3}z\right)\left(\frac{3}{5}y-\frac{1}{3}z+2x\right)$．

阅读下面的材料并填空：

①$\left(1-\frac{1}{2}\right)\left(1+\frac{1}{2}\right)=1-\frac{1}{2^2}$，反过来，得$1-\frac{1}{2^2}=\left(1-\frac{1}{2}\right)\left(1+\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}\times \frac{3}{2}$

②$\left(1-\frac{1}{3}\right)\left(1+\frac{1}{3}\right)=1-\frac{1}{3^2}$，反过来，得$1-\frac{1}{3^2}=\left(1-\frac{1}{3}\right)\left(1+\frac{1}{3}\right)=\frac{2}{3}\times \frac{4}{3}$

③$\left(1-\frac{1}{4}\right)\left(1+\frac{1}{4}\right)=1-\frac{1}{4^2}$，反过来，得$1-\frac{1}{4^2}=\left(1-\frac{1}{4}\right)\left(1+\frac{1}{4}\right)=\frac{3}{4}\times \frac{5}{4}$

利用上面的材料中的方法和结论计算下题：

$\left(1-\frac{1}{2^2}\right)\left(1-\frac{1}{3^2}\right)\left(1-\frac{1}{4^2}\right)\cdots \left(1-\frac{1}{2019^2}\right)\left(1-\frac{1}{2020^2}\right)$

计算：

⑴$\left(2+1\right)\left(2^2+1\right)\left(2^4+1\right)\cdots \left(2^{1024}+1\right)+1=$ ．

⑵$1^2-2^2+3^2-4^2+5^2-6^2+\cdots +99^2-100^2=$ ．

⑴若多项式$x^2+kx+\frac{1}{9}$是一个完全平方式，则$k$的值为________．

⑵若多项式$4x^2-3\left(a-2\right)x+25$是一个完全平方式，则$a$的值为_____________．

若代数式$4x^2+Q+1$是一个整式的平方，请至少写出三个满足条件的单项式$Q$．

⑴${\left(2a+b-c\right)}^2=$ ．

⑵${(2x-y-\frac{1}{2}z)}^2=$ ．

⑶${\left(x-2y\right)}^4=$ ．

⑷$9a^2+16b^2+4c^2+24ab+16bc+12ca={\left(\right)}^2$

⑸$9a^2+16b^2+4c^2+12ab+8bc+6ca=\frac{1}{2}\left[{\left(\right)}^2+{\left(\right)}^2+{\left(\right)}^2\right]$

⑴已知$a=1+7x$，$b=1-7x$，$c=2+7x$，则$a^2+b^2+c^2+ab+bc-ac=$（）

A．$14$ B．$7$ C．$5.5$ D．$3$

⑵已知$a=1+7x$，$b=1-7x$，$c=2+7x$，则$a^2+4b^2+c^2+4ab+4bc+2ac=$（）

A．$1$ B．$5$ C．$16$ D．$25$

⑴若$a-b=b-c=\frac{3}{5}$，$a^2+b^2+c^2=1$，求$ab+bc+ca$的值．

⑵若$b-c=c-a=2$，$ab+bc+ca=5$，求$a^2+b^2+c^2$的值．

如图，在边长为$a$的正方形中剪掉边长为$b$的小正方形，并把不规则图形拼成如图的矩形，通过计算面积，验证了某个乘法公式，此公式是__________________．

计算：$\left(a+2b-c\right)\left(a-2b+c\right)=$___________________．

计算：$\left(1-4a+3c\right)\left(4a-1+3c\right)=$___________________．

计算：${\left(a+2b-c\right)}^2=$_______________________________．

若关于$x$的二次三项式$9x^2-mx+\frac{1}{16}$是一个完全平方式，则$m=$____________．

若$9x^2-\left(k-2\right)xy+16y^2$是完全平方式，则$k=$______________．

已知$x-y=3$，$y-z=-2$，求$x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx$的值．

填空：

⑴$(4x+y)(4x-y)=$ ；
⑵$(-m+n)(-m-n)=$ ；
⑶${(p+q)}^2(p-q){}^2=$ ；

⑷$\left(5a+\right)\left(5a-\right)=25a^2-16b^2$

⑸${(\frac{2}{3}x-\frac{3}{2}y)}^2=\frac{4}{9}{x}^2+\left(\right)-\left(\right)y^2$

⑴${(-8a+11b)}^2$； ⑵${(-2x-3y)}^2$；

⑶${\left(\frac{1}{2}x-\frac{3}{5}y\right)}^2$； ⑷${\left(-\frac{1}{4}x-\frac{7}{9}y\right)}^2$．

计算：

⑴$\left(a+b-c\right)\left(a-b+c\right)$； ⑵$(a-b)(a+b)(a^2+b^2)(a^4-b^4)$．

⑴如果多项式$x^2-kx+4$是一个完全平方式，那么常数$k=$ ．

⑵$x^2+2(m-3)x+16$为完全平方式，则常数$m=$ ．

5. 已知$x=2020$，$y=-1007$，$z=1023$求$x^2\text{+}{y}^2+z^2+2xy-2yz-2zx$的值．

6. ⑴已知$a+19=b+9=c+8$，求$a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca$的值．

⑵已知$a=3-x$，$b-c=-x-2$，求$a^2+b^2+c^2-2ab-2bc+2ca$的值．

计算：

⑴${\left(x+3\right)}^2{\left(x-3\right)}^2$； ⑵$(x+3)(x-3)(x^2+9)$；

⑶${(3a+2b)}^2-{(3a-2b)}^2$．

⑴已知$x+1005=y+105$，$y+15=z+105$，求$x^2\text{+}{y}^2+z^2-xy-yz-zx$的值．

⑵已知有理数$x，y$满足$x^2+y^2-xy+x+y+1=0$，则$2016x-2017y=$ ．

3. 已知$a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0$，求${\left(2019a-b-2018c\right)}^2$．

4. 若$x^2+2xy+y^2-a\left(x+y\right)+25$是完全平方式，则$a$的值为（）．

A．$\pm 10$ B．$\pm 5$ C．$\pm 25$ D．$0$

已知三角形三边长$a、b、c$，满足${\left(a^2+b^2\right)}^2+{\left(b^2-c^2\right)}^2+{\left(c^2-a^2\right)}^2=a^4+b^4+c^4$，则这个三角形是（）三角形．

A．等腰B．等边C．直角D．等腰直角

计算：

⑴$(3+1)(3^2+1)(3^4+1)(3^8+1)(3^{16}+1)$．

⑵$3\times 5\times 17\times \cdots \times \left(2^{2^{n-1}}+1\right)=$ ．