第14讲计算综合 · 章法数学

知识模块 01 · 原讲小节

解方程（组）与不等式（组）

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

知识讲解定义、性质与方法

题目SH-019-001难度 C · 综合

解下列方程与方程组：

⑴ $\frac{3 + 0.2 x}{0.2} - \frac{0.2 + 0.03 x}{0.01} = 0.75$ ；

⑵ ${\begin{matrix} \frac{x - 1}{6} - \frac{2 - y}{3} = 1 \\ 2 (x - 1) = 13 - (y + 2) \end{matrix}$ ．

题目SH-019-002难度 C · 综合

已知 $| 2 x - y + 2 |$ 与 ${(x + y - 3)}^{2}$ 互为相反数，求 $x y$ 的值．

题目SH-019-003难度 C · 综合

求解下列不等式组：

⑴ ${\begin{matrix} 4 (x - 0.3) < 0.5 x + 5.8 \\ \frac{1}{2} x + 1 \leq 3 + x \end{matrix}$ ； ⑵ ${\begin{matrix} \frac{2 x - 1}{3} - \frac{5 x + 1}{2} \leq 1 \\ 5 x - 1 < 3 (x + 1) \end{matrix}$ ．

知识模块 02 · 原讲小节

不定方程

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

知识讲解定义、性质与方法

不定方程，即未知数的个数多于方程个数的方程或方程组．

解决不定方程的常用思想——主元思想

常用技巧——分离正系数

主元思想

⑴解关于 $x$ 的方程： $2 x - y = 3$ ，解为 $x =$ ___________．

⑵解关于 $y$ 的方程： $2 x - y = 3$ ，解为 $y =$ ___________．

整数解题型中的常见形式

——分离整系数

已知 $x$ 、 $y$ 为整数，

⑴ $y = \frac{3}{x} \Rightarrow x | 3$ ， $x$ 为 $3$ 的因数（勿忘负因数）； $y = \frac{x}{3} \Rightarrow 3 | x$ ， $x$ 为 $3$ 的倍数．

⑵ $y = \frac{25 + 8 x}{7} = \frac{21 + 7 x + 4 + x}{7} = 3 + x + \frac{4 + x}{7} \Rightarrow 7 | x + 4$ ．

⑶ $y = \frac{2 x + 3}{x} = 2 + \frac{3}{x} \Rightarrow x | 3$ ．

$y = \frac{4 x + 5}{x + 2} = \frac{4 (x + 2) - 3}{x + 2} = 4 - \frac{3}{x + 2} \Rightarrow (x + 2) | 3$ ．

题目SH-019-004难度 C · 综合

已知关于 $x$ 的方程 $x - 1 = 2 (2 x - 1)$ 与 $\frac{x - m}{2} = x + \frac{m}{3}$ 的解互为倒数，求 $m$ 的值．

题目SH-019-005难度 D · 提升

已知 $x, y, z$ 满足方程组 ${\begin{matrix} 2 x + 3 y - 13 z = 0 \\ - x + 2 y - 4 z = 0 \end{matrix}$ ，且 $x y z \neq 0$ ，求 $\frac{x + 2 y + z}{x - y + 2 z}$ 的值．

题目SH-019-006难度 C · 综合

⑴求方程 $x + 3 y = 10$ 的所有正整数解．

⑵求方程 $7 x + 19 y = 213$ 的所有正整数解．

题目SH-019-007难度 C · 综合

已知关于 $x$ 的一元一次方程 $a x = a^{2} - 3 a + 2$ 有整数解，则满足条件的整数 $a$ 的值有_________．

题目SH-019-008难度 D · 提升

求不定方程 $2 (x + y) = x y + 7$ 的整数解．

题目SH-019-009难度 D · 提升

阅读材料：我们把多元方程（组 $)$ 的非负整数解叫做这个方程（组 $)$ 的“好解”；例如： ${\begin{matrix} x = 1 \\ y = 8 \end{matrix}$ 就是方程 $3 x + y = 11$ 的一组“好解”； ${\begin{matrix} x = 1 \\ y = 2 \\ z = 3 \end{matrix}$ 是方程组 ${\begin{matrix} 3 x + 2 y + z = 10 \\ x + y + z = 6 \end{matrix}$ 的一组“好解”．

⑴求方程 $x + 2 y = 5$ 的所有“好解”；

⑵关于 $x$ ， $y$ ， $k$ 的方程组 ${\begin{matrix} x + y + k = 15 \\ x + 5 y + 3 k = 27 \end{matrix}$ 有“好解”吗？若有，请求出对应的“好解”；若没有，请说明理由．

题目SH-019-010

解方程组： ${\begin{matrix} 4 (x - 0.123) + 7 (y + 3.45) = 1 \\ 5 (x - 0.123) - (y + 3.45) = 11 \end{matrix}$ ．

题目SH-019-011

方程 $2 - 3 (x + 2) = 0$ 的解与关于 $x$ 的方程 $\frac{k + x}{2} - 3 k - 2 = 2 x$ 的解互为倒数，求 $k$ 的值．

题目SH-019-012

已知： ${\begin{matrix} 2 a + b - 3 c = 0 \\ 4 a - b - 9 c = 0 \end{matrix}$ ，则 $a : b : c =$ ____________．

题目SH-019-013

写出方程： $4 x + 3 y = 28$ 的非负整数解_________________．

题目SH-019-014

若方程 $3 x - 5 = a x + 7$ 的解是正整数，则整数 $a$ 的值为_________________．

题目SH-019-015

解下列方程：

$\frac{1.2 - 2 x}{0.2} - \frac{1.5 - 2.5 x}{0.5} - \frac{x - 5}{4} = \frac{1}{2}$ ；

题目SH-019-016

解方程组：

${\begin{matrix} \frac{m - 1}{2} + \frac{n}{3} = 3 \\ \frac{m + 1}{3} - \frac{n - 1}{2} = 1 \end{matrix}$

题目SH-019-017

解不等式组：

⑴ ${\begin{matrix} \frac{x - 3}{2} + 3 ⩾ x + 1 \\ 1 + x < 8 + 3 (x - 1) \end{matrix}$ ； ⑵ $- 1 < \frac{2 x + 3}{3} ⩽ 5$ ．

题目SH-019-018

已知关于 $x$ 的方程 $3 x + a = 0$ 的解比方程 $2 (x - a) = x + 5$ 的解大 $2$ ，求 $a$ 值．
已知 $x$ 、 $y$ 、 $z$ 满足方程组 ${\begin{matrix} 3 x + y + 2 z = 0 \\ 5 x - 3 y + z = 0 \end{matrix}$ ，求 $\frac{2 x - y}{x + y + 2 z}$ ．
求方程 $5 x + 3 y = 22$ 的所有正整数解．

题目SH-019-019

求方程组 ${\begin{matrix} 3 x + y + 2 z = 28 \\ 5 x - 3 y + z = 7 \end{matrix}$ 的所有正整数解．
若 $x \leq 0$ ， $y \leq 5$ ，求不定方程 $3 x + 32 y = 75$ 的整数解．
已知 $4 x - 3 y - 6 z = 0$ ， $x + 2 y - 7 z = 0$ ，且 $x y z \neq 0$ ，求 $\frac{2 x^{2} + 3 y^{2} + 6 z^{2}}{x^{2} + 5 y^{2} + 7 z^{2}}$ 的值．
一天小光光同学与周鹏飞进行一个游戏，周鹏飞说：“将你的生日月份数乘以 $31$ ，生日的日期数乘以 $12$ ，相加后所得数告诉我，我便可算出小光光你的生日．”小光光不信，告诉周鹏飞相加的数为 $328$ ，周鹏飞果然答出来．问：小光光的生日为几月几号？