代数4-整式、分式、因式分解 · 第 055 讲

第8讲因式分解基础（提因、公式）

15 道题2 个知识模块答案解析精校中

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知识模块 01 · 原讲小节

基本概念

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

知识讲解定义、性质与方法

提取公因式

一．基本概念：

⑴因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.

因式分解与整式乘法互为逆变形： $m (a + b + c) \overset{整式乘法}{\underset{因式分解}{⇌}} m a + m b + m c$

式中 $m$ 可以代表单项式，也可以代表多项式，它是多项式中各项都含有的因式，称为公因式.

（若不特别说明，分解因式的结果必须是每个因式在有理数范围内分解完全）

因式分解的注意事项：

①结果一定是整式乘积的形式；

②相同的因式的乘积要写成幂的形式；

③每个因式按降幂排列，最高次项（降幂排列后的第一项）的系数均为正数（如果为负数，将负号放到括号外）

④因式分解后的结果中一定不能含有大括号和中括号；

⑤一定要完全分解.

⑵公因式：一个多项式中每一项都含有的因式叫做这个多项式的公因式.

⑶提取公因式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么可以把该公因式提取出来作为多项式的一个因式，提出公因式后的式子放在括号里，作为另一个因式.（最容易被忽略的方法）

提出的公因式应是各项系数的最大公因数（系数都是整数时）与各项都含有的相同字母的最低次幂的积.

可以看出，提公因式法实际上就是逆用乘法分配律，即 $(m a + m b + m c) = m (a + b + c)$

题目SH-055-001难度 A · 基础

⑴下列选项中，是因式分解的选项是（）

A. $a b + a + b + 1 = a (b + 1) + b + 1$

B. $y^{3} + 3 y^{2} = y^{2} (y + 3)$

C. $x^{2 n + 1} - x^{2 n - 1} = x^{2 n} (x + \frac{1}{x})$ ，（ $n$ 为正整数）

D. $m (a + b - c) = m a + m b - m c$

⑵下列因式分解正确的是（）

A. $a m + b m - 1 = m (a + b) - 1$

B. $2 x^{2} + 4 x + 1 = 2 (x^{2} + x + \frac{1}{2})$

C. $x (a + b) + b x (a + b) = x (a + b) (b + 1)$

D. $x y^{3} + 4 x y^{2} - 2 y x = x (y^{3} + 4 y^{2} - 2 y)$

题目SH-055-002难度 A · 基础

因式分解：

⑴ $12 a^{3} x^{2} + 16 a^{2} b x^{2} y + 4 a^{2} x^{2}$ ⑵ $- 4 x^{3} y^{2} + 8 x^{2} y^{3} - 12 x^{3} y^{3}$

题目SH-055-003难度 A · 基础

在提取公因数法分解因式中，如果遇到整式某些项的系数为分数，往往将分数也同时进行提取，如 $\frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{4} x = \frac{1}{4} x (2 x + 1)$ ，请分解因式： $\frac{1}{3} x y - \frac{1}{2} x^{2} =$ .

题目SH-055-004难度 B · 巩固

因式分解：

⑴ $2 a^{2} b^{3} - \frac{4}{3} a b^{2} + \frac{1}{2} a^{3} b$ ⑵ $- \frac{8}{3} a^{n - 1} b^{3} + 4 a^{n} b^{2} + 8 a^{n + 1} b$ ，（ $n$ 为大于 $1$ 的正整数）

题目SH-055-005难度 A · 基础

提取公因式法，不仅仅可以提取单项式，有时候也可以是提取一个多项式，就是将题中的某式看成一个整体进行提取，请分解因式： ${(x + y)}^{2} + {(x + y)}^{3} =$ .

题目SH-055-006难度 C · 综合

因式分解：

⑴ $6 m {(x - 1)}^{3} - 8 m^{2} {(x - 1)}^{2} - 2 m {(1 - x)}^{2}$

⑵ $(4 m + 3 n) (3 m - 4 n) - (4 n - 3 m) (3 n - 4 m)$

知识模块 02 · 原讲小节

公式法

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

知识讲解定义、性质与方法

逆用乘法公式将一个多项式分解因式的方法叫做公式法.

①因式分解的平方差公式： $a^{2} - b^{2} =$

②因式分解的完全平方公式： $a^{2} + 2 a b + b^{2} =$

$a^{2} - 2 a b + b^{2} =$

③因式分解的立方和公式： $a^{3} + b^{3} =$

因式分解的立方差公式： $a^{3} - b^{3} =$

④因式分解的完全立方公式： $a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} =$

$a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3} =$

⑤因式分解的三元完全平方公式： $a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 a b + 2 b c + 2 c a =$

⑥因式分解的欧拉公式： $a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3 a b c =$

题目SH-055-007难度 B · 巩固

因式分解：

⑴ $121 x^{2} - 169 y^{2}$ ⑵ ${(x + y)}^{2} - {(x - z)}^{2}$

⑶ $48 x^{2} - 243$ ⑷ $\frac{2}{3} x^{2 n + 2} - \frac{3}{2} x^{2 n}$ ，（ $n$ 为正整数）

题目SH-055-008难度 C · 综合

因式分解：

⑴ ${(x - y)}^{2} {(x + y)}^{4} - {(x - y)}^{4} {(x + y)}^{2}$ ⑵ $x^{4} - 16 y^{4}$

⑶ ${(3 x^{2} + 2 y^{2})}^{2} - {(2 x^{2} + 3 y^{2})}^{2}$

题目SH-055-009难度 C · 综合

因式分解：

⑴ $4 y^{2} + 12 x y + 9 x^{2}$ ⑵ $x^{2} - x + \frac{1}{4}$

⑶ $x^{n + 1} - 4 x^{n} + 4 x^{n - 1}$ ，（ $n$ 为大于 $1$ 的正整数）⑷ $- \frac{2}{3} a x^{4} + 4 a x^{2} - 6 a$

题目SH-055-010难度 C · 综合

因式分解：

⑴ $a^{4} - 18 a^{2} b^{2} + 81 b^{4}$

⑵ ${(x + y)}^{2} + 4 (x^{2} - y^{2}) + 4 {(x - y)}^{2}$

题目SH-055-011难度 B · 巩固

因式分解：

⑴ $x^{3} + 64$ ⑵ $x^{3} - 8 y^{3} - 6 x^{2} y + 12 x y^{2}$

⑶ $a^{2} + 9 b^{2} + 4 c^{2} + 6 a b - 12 b c - 4 a c$ ⑷ $x^{3} + 8 y^{3} + z^{3} - 6 x y z$

题目SH-055-012难度 D · 提升

分解因式： ${(c^{2} - b^{2} + d^{2} - a^{2})}^{2} - 4 {(a b - c d)}^{2}$

题目SH-055-013

下列各等式中，从左到右的变形是因式分解的是（）

$A .$ ${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ $B .$ $2 a b = 2 a \cdot b$

$C .$ $(a - 4) (a + 4) = a^{2} - 16$ $D .$ $a b + b^{2} + 2 b = b (a + b + 2)$

题目SH-055-014

把多项式 $x^{3} + a x$ 分解因式得 $x (x - \frac{1}{2}) (x + b)$ ，则 $a$ ， $b$ 的值分别是（）

$A .$ $a = - \frac{1}{4}, b = \frac{1}{2}$ $B .$ $a = \frac{1}{8}, b = \frac{1}{4}$

$C .$ $a = \frac{1}{8}, b = - \frac{1}{4}$ $C .$ $a = - \frac{1}{4}, b = - \frac{1}{2}$

因式分解： $2 {(a - b)}^{2} - a + b$

因式分解： ${(x^{2} + y^{2})}^{2} - 4 x^{2} y^{2}$

因式分解： $- 2 x^{9 n - 1} + 4 x^{5 n - 1} y^{4} - 2 x^{n - 1} y^{8}$

因式分解：

⑴ $- 4 x^{2} y + 6 x y^{2} - 2 x y$ ；⑵ $66 a^{2} b c^{3} + 132 a b^{2} c^{2} - 44 a^{3} b^{2} c^{3} - 22 a b c^{2}$

因式分解：

⑴ $\frac{2}{5} a x^{2} - \frac{4}{3} a^{2} x^{3} + \frac{1}{5} a x$ ⑵ $x^{2} {(m - n)}^{5} - x y {(n - m)}^{4}$

因式分解：

⑴ $9 x^{2} - 4 y^{2}$ ⑵ $81 {(x + y)}^{2} - 16$

⑶ $\frac{1}{16} x^{2} - 25 y^{2}$ ⑷ $0.01 - x^{2}$

因式分解：

题目SH-055-015

⑴ $18 x^{3} y - 8 x y^{3}$ ⑵ $\frac{1}{2} a^{2 n + 4} - 8 a^{2 n} b^{4}$ （ $n$ 为正整数）

⑶ $9 {(x - 3 y)}^{3} + (3 y - x)$ ⑷ $x^{4} - y^{4}$

因式分解：

⑴ $x^{2} - 18 x + 81$ ⑵ $9 y^{2} + 6 y + 1$

⑶ ${(x + y)}^{2} - 10 (x + y) + 25$ ⑷ $\frac{2}{3} a b - \frac{1}{9} a - a b^{2}$

因式分解：

⑴ $8 x^{3} + 1$ ⑵ ${(x + y)}^{3} - {(x - y)}^{3}$

⑶ $a^{2} + b^{2} - 4 a + 2 a b - 4 b + 4$ ⑷ $x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27$

分解因式： $3 m n + 6 m n^{2} + 12 m^{2} n$
分解因式： $\frac{5}{6} x^{3} y a^{2} + \frac{15}{4} a x^{2} y^{3} - \frac{10}{3} a^{2} x^{2} y^{2}$
分解因式： $a (x - a) + b (a - x) - (x - a)$
分解因式： ${(2 a - b)}^{2} - {(a - 2 b)}^{2}$
分解因式： $x^{2} - \frac{1}{2} x y + \frac{1}{16} y^{2}$
分解因式： $16 {(x - y)}^{2} + 4 (x - y) + \frac{1}{4}$
分解因式： $x^{8} - y^{8}$
分解因式： $x^{9} - y^{9}$
分解因式： $x^{6} - y^{6}$
分解因式：

⑴ $x^{6} - 3 x^{4} + 3 x^{2} - 1$

⑵ ${(x^{2} + 4 y^{2} - 2 z^{2})}^{2} - {(3 x^{2} - 4 y^{2} - 2 z^{2})}^{2}$